三角形重心、外心、垂心、内心的向量表示及其性质-三角形中心矢量

1、-1 -三角形“四心”向量形式的充要条件应用知识点总结一1. O是AABCAABC的重心 v5A+aB+5C=6；1若O是ABC的重心，JBO=AO=AO=亍S&BC故5A+5B + 5C=6；PG= 孕(PA + PB + PC ) u G为AABC的重心.32.O是AABC的垂心 uAA AB =AB AC = AC AA；若O是AABCAABC(非直角三角形)的垂心，贝u SBOC :S部OC :S部OB= tan A : tanB:tan C故tan AOA tan BOB tanCOCM3.O是AABC的外心 u|OA|=|OB|=|OC|=|OB|=|OC|(或AAAAOB

2、AQ2)若O是AABCAABC的外心则S囱OC：S/OC：S&OB=siEBOC：sinAOC：siMAOB =sin2A : sin2B: sin2C故sin2AOA sin2BOB sin2COC =0-ABAS BABC CA CBOA () =OB ()=OC ()=04. O是内心AABCAABC的充要条件是|AB I ACIBA| |BC|ICA| |CB|引进单位向量，使条件变得更简洁。如果记AB,BC,CAAB,BC,CA的单位向量为。1,。2,。3，则刚才。是AABCAABC内心的充要条件可以写成OA (ei+ e3)= OB (e e?) =OC (e? +e)=

3、0。是AABCAABC内心的充要条件也可以是aOA + bOB + cOC = 0。若O是AABCAABC的内心，则Sgc :S心OC :S&OB =a:b:c故aOA bOB cOC=诚sinAOA sinBOB sinCOC =0；| AB|PC+|BC |PA+|CA|PB =0u P是AABC的内心;向量A A（中+亳小） （舄孝0）所在直线过MBC的内心（是NBAC的角平|AB|AC|分线所在直线）；范 例（一）将平面向量与三角形内心结合考查例1 . O是平面上的一定点，A,B,C是平面上不共线的三个点，动点P满足一 一AB ACOP =OA + +户，提b,E）则P点的轨迹

4、一定通过AABC的（-2 -AB AC（A）外心（B）内心（C）重心（D）垂心-3 -解析：因为TAB是向量 晶 的单位向量设AB与XC方向上的单位向量分别为1和e2,乂OP-OA=AP，则原式可化为APuHe+e?），由菱形的基本性质知AP平分NBAC,那么在MBC中，AP平分NBAC，则知选B.（二）将平面向量与三角形垂心结合考查“垂心定理”例2.H是ABC所在平面内任一点，HA HB=HB HC =HCHA-点H是/ABC的垂心.由HA HB =HB HC ：二HB （HC_HA）=0：=HBAC =0：= HB _ AC,同理H _L AB , H _LBC.故H是ABC的垂心.（反之

5、亦然（证略）例3.（湖南）？是左ABC所在平面上一点，若PA P = PB P = PC PA，贝U P是/ABC的（D）A.外心B.内心C.重心D.垂心解析:由PAPB =PBPC得PAPB PBPC=O.即PB（PA PC）=O,即PBCA =O则PB _LCA，同理PA _L BC,PC _L AB所以P为AABC的垂心.故选D.（三）将平面向量与三角形重心结合考查“重心定理”例4.6是左ABC所在平面内一点，GA+GB +GC=0U点G是ABC的重心.证明 作图如右，图中GB+GC=GE连结BE和CE, WJ CE=GB , BE=GCuBGCE为平行四边形nD是BC的中点，AD为BC

6、边上的中线.将GB +GC =GE代入GA KB +GC=0,得GA+EG=0nGA=GE=-2GD，故G是AABC的重心.（反之亦然（证略）例5.?是左ABC所在平面内任一点.G是AABC的重心 uPG=】（PA+PB +PC）.证明PG =PA AG =PB BG =PC CG = 3PG = (AG BG CG) (PA PB PC),/ G MA ABC的重心 . .GA +GB +GC=0nAG +BGtG =0,即3PG =PA +PB +PC由此可得PG=【(PA+PB+PC).(反之亦然(证略)AB-4 -例6若O为AABC内一点，OA+OB+OC=0，则O是AABC的 解析：

7、由O?+R+OC=0得Oe+OC=_OA，如图以OB OC为相邻两边构作平行四边形，则OB+OC=OD,由平行四边形性质知OL1OD, OA=2OE ,同理可证其它两边上的这个性 质，所以是重心，选D。（四）将平面向量与三角形外心结合考查，例7若O为AABC内一点，OAOB=|OC,则O是AABC的（）A.内心B.外心C.垂心D.重心解析：由向量模的定义知O到AABC的三顶点距离相等。故O是AABC的外心，选B。（五）将平面向量与三角形四心结合考查例8.已知向量O P： ,OP；,OP；满足条件O P：+OP；+OP3=0, |OP；|=|OP2|=|OP；| = 1, P1P2P3是正三角形

8、.（数学第一册（下），复习参考题五B组第6题）1由已知OPi+OP2=-OP；，两边平万得OPi -OP；=一；，1OP2- OP3=OP3- OP1=一一2 |而|=|虱|=|PK|=后，从而P1P2P3是正三角形.反之，若点。是正三角形P1P2P3的中心，则显然有OP1+瓦+范=0且|OP1|=|O瓦|=|O可|.即。是ABC所在平面内一点，商+ 范 +两=0且|商|=|O可|=|O瓦|=点O是正P1P2P3的中心.例9.在AABC，已知Q G H分别是三角形的外心、重心、垂心。求证：Q G H三点共线，且QG:GH=1:：【证明】：以A为原点，AB所在的直线为x轴，建立如图所示的直角坐标

9、系C（x2,y2） , E、F分别为AB BC AC的中点，则有：D（&,0）、（尘着,暨）、F（W约 由题设可设Q（x12222 2xx2G、7 AH _BCAH *BC =x2（x2-x）y2y4=0_ *2（x2-x） y4:QF ACQF AC=乂2（套-勺）y2（五 小）=。A.内心B.夕卜心C.垂心D.重心求证证明同理设A（0,0）、BX1,0）、x2x1,LAH=（X2,y4）QF=（三一；BC =g -X1，y2）V2o2y2、-5 -222x2（x2-x） y2y3 =- - -2 y22-6 -,Xi2x2-X1QH =（X2- 方,y4 -y3）=（ -22X2-

10、Xi3X2（X2-Xi） y2i 2X2-X3X2（X2-X） y26一6_甘）=3（2一 瓦项i -f= _QH 3例i0.若O、H分别是ABC的外心和垂心.求证OH =OA OB OC.证明 若/ABC的垂心为H,夕卜心为O,如图.连BO并延长交外接圆丁D,连结AD, CD. AD _LAB , CD_LBC.乂垂心为H ,AH_LBC , CH _L AB , AH / CD, CH / AD,四边形AHCD为平行四边形，AH =DC =DO -+OC，故OH =OA+AH =OA+OB+OC.著名的“欧拉定理”讲的是锐角三角形的“三心”一一外心、重心、垂心的位置关系：(1)三角形的外心

11、、重心、垂心三点共线一一“欧拉线”；(2)三角形的重心在“欧拉线”上，且为外一一垂连线的第一个三分点，即重心到垂心的距 离是重心到外心距离的2倍。“欧拉定理”的向量形式显得特别简单，可简化成如下的向量问题.例ii.设O、G、H分别是锐角ABC的外心、重心、垂心.求证O=-OH3证明 按重心定理G是ABC的重心 uOG =： (OA +OB +OC)按垂心定理OH =OA +OB应由此可得OG=】OH.3补充练习i.已知A、B、C是平面上不共线的三点，。是三角形ABC的重心，动点P满足OP =i(OA+OB+2OC),则点P一定为三角形ABC的(B )3 22A.AB边中线的中点B.AB边中线的

12、三等分点(非重心)C.重心D.AB边的中点i.B取AB边的中点M,WJOA+OB= 20M，由OP=】(】OA+OB+2OC)可得3223OP=3OM +2MC, .MP“=2MC，即点P为三角形中AB边上的中线的一个三等分点，且3点P不过重心，故选B.3X2（X2-Xi）火瓦2X9Xf*Xiy、r2X2-Xi :r -y3）= * -2 36V 2X2（X2-Xi）火3一2y2- 2即QH =3QG，故QG H三点共线，且QG GhM： 2-7 -（ C）A外心B内心C重心D垂心3.已知。是平面上一 定点，AB、C是平面上不共线的三个点，动点P满足:OP=OA + 7AB+AC), M P的

13、轨迹一定通过ABC的(C )A外心B内心C重心D垂心4.已知ABC , P为三角形所在平面上的动点，且动点P满足：PA*P + PA *P + P*P=0，贝U P点为三角形的（D）A外心B内心C重心D垂心-、，一一一-、一 T 一 T 一5.已知zABC ,P为二角形所在平面上的一点，且点P满足：a，PA+b，PB+c,PC =0，贝UP点为三角形的（BA外心B内心C重心D垂心6.在三角形ABC中，动点P满足：-2CA =一2=CB -2AB,CP，贝U P点轨迹一正通过ABC的(B )A外心B内心C重心D垂心7.已知非零向量扇与AC满足(停+竺)-BC=0且兽-空=2 ,则ABC为() |

14、A B| |A C|A B|A C|2A.三边均不相等的三角形B.直角三角形C.等腰非等边三角形T T解析：非零向量与满足（缉+上靠）=0,即角A的平分线垂直丁T Tco* = 3|务=2，弋，所以ABC为等边三角形，选D.8. AABC的外接圆的圆心为。，两条边上的高的交点为H, OH =m（OA + OB + OC），则实数m=J9.点O是MBC所在平面内的一点，满足OA OB =OB OC =OC OA，则点。是AABC的（B ）（A）三个内角的角平分线的交点（B）三条边的垂直平分线的交点（C）三条中线的交点（D）三条高的交点10.如图1,已知点G是AABC的重心，过G作直线与A己AC两

15、边分别交丁M N两点，且 E =xAB ,A =yAC，贝U 1+1=3。x y证点G是AABC的重心，知BA+CB十配=0,得一AG+（AB _AG）+（AC_AG）=。，有AG=1（AB+C）。乂M N,G三点共2.在同一个平面上有MBC及一点O满足关系式：，则O为AABC的（ D ）A外心B内心C重心D垂心2.已知ABC的三个顶点A、B、C及平面内一点疏+靛=初+K0?+P满足：PA+PB+PC=0，贝U P为AABC的D.等边三角形BC, . AB=AC ,乂-8 -线（A不在直线MN3上），丁是存在 槌，使得AG=?AM+PAN（且九+卜=1）,有AG = zxAB +”状=!（对+

16、E）,3-1,一11得！1 ,丁是得+=3。! ,tx =y = x y3例讲三角形中与向量有关的问题教学目标：1、三角形重心、内心、垂心、外心的概念及简单的三角形形状判断方法2、向量的加法、数量积等性质3、利用向量处理三角形中与向量有关的问题4、数形结合教学重点：灵活应用向量性质处理三角形中与有关向量的问题教学难点：针对性地运用向量性质来处理三角形中与向量有关的问题教学过程：1、课前练习1.1已知0是ABC内的一点，若OA2=0B2=0C2，贝U0是ABC勺A、重心B、垂心C、外心D、内心1.2在/ABC,有命题ABAC = BC:AB+BC+CA = 0；若（AB十ACb（AB只C）=0,

17、则AB0等腰三角形；若AB，ACA0，则ABC为锐角三角形，上述命题中正确的是A、B、C、D、2、知识回顾2.1三角形的重心、内心、垂心、外心及简单的三角形形状判断方法2.2向量的有关性质2.3上述两者间的关联3、利用向量基本概念解与三角形有关的向量问题例1、已知ABE,有IA+IAC,BC=0和肖，芸=】，试判断AABC的形状 忡网） 网网2练习1、已知ABC,AB=a , BC=b ,8是/ABC的最大角，若a，bAABC的A、重心B、垂心C、外心D、内心D、内心例3、已知？是左ABC所在平面内的一动点，且点ABACP满足OP = OA+君十一孑，也JAB| |ACbw(0F，一 一 一1

18、 OP =OA+丸AB十一BC2九在(0,*c ),则动点P的轨迹一定通过ABC勺A、重心例4、B、垂心C、外心D、内心已知O是ABC所在平面内的一点动点P满足OP =OAAC(0,*c),则动点P一定过ABC勺AB cosBAC cosCA、重心B练习3、 已知、垂心C、外心D、内心O是ABC所在平面内的一点，动点POP=OC 2AB-十AB cosBAC(0,危)，则动点P一定过ABC的AC cosCA、重心例5、已知点B、垂心G是的重心，-10 -4、已知？是/ABC在平面内与A不重合的一点，满足AB + AC =3AP，则？是/ABCH-11 -A、重心B、垂心C、外心D、内心5、平面

19、上的三个向量OA、OB、旋满足OA+OB+OC=0 , OA =|OB| =|OC| =1,求证:ABg正三角形6、在ABE, O为中线AM上的一个动点，若A阵2,求OA(OB+OC)三角形四心与向量的典型问题分析向量是数形结合的载体，有方向，大小，双重性，不能比较大小。在高中数学“平面向量”(必 修4第二章)的学习中，一方面通过数形结合来研究向量的概念和运算；另一方面，我们乂以向 量为工具，运用数形结合的思想解决数学问题和物理的相关问题。在平面向量的应用中， 用平面向量解决平面几何问题时， 首先将几何问题中的几何元素和几 何关系用向量表示，然后选择适当的基底向量，将相关向量表示为基向量的线性

20、组合，把问题转 化为基向量的运算问题，最后将运算的结果再还原为几何关系。下面就以三角形的四心为出发点，应用向量相关知识，巧妙的解决了三角形四心所具备的一 些特定的性质。既学习了三角形四心的一些特定性质， 乂体会了向量带来的巧妙独特的数学美感。一、重心”的向量风采【命题1】G是ABC所在平面上的一点，若GA+GB+GC=0，则G是ABC的重心.如图.O图【命题2】已知。是平面上一定点，& B, C是平面上不共线的三个点，动点P满足T OP =OA+MAB+AC)，九弋(0,+8)，贝U P的轨迹一定通过 ABC的重心.【解析】 由题意AP = ?i(AB+AC),当乳在(0,+x)时，由

21、于Z(A + AC)表示BC边上的中线所在直线的向量，所以动点P的轨迹一定通过 ABC的重心，如图.二、垂心”的向量风采【命题3】P是ABC所在平面上一点，若PA P = PB P=PC，PA, WJ P是ABC的垂心.AGABPBMACPBMAC-12 -TtTT rTTTm十【解析】 由PA，PB =PB PC，得PB (PA-PC) =0，即PB CA =0，所以PB CA .同理可证-13 -P MA ABC的垂心.如图PC AB,依 BCAB, C是平面上不共线的三个点，动点P满足OP = OAAB_ACAB |cos B cos C(0, +司，则动点P的轨迹一定通过 ABC的垂心.【解析】BC即AB cos BAC_ BI AB|cosBAC cosCABACI- +-AC cosCAB cosBBC=0AC cosC=BCCB|=0,所以AP表示垂直丁BC的向量，即P点在过点A且垂直丁BC