函数的连续性的例题与习题

1、函数的连续性的例题与习题函数连续性这个内容所涉及到的练习与考试题目，大致有3 大类。第一类是计算或证明连续性；第二类是对间断点(或区间)的判断，包括间断点的类型；第三类是利用闭区间上的连续函数的几个性质(最值性质，零点存在性质) ，进行理论分析。下面就这三大类问题，提供若干例题和习题。还是那句老话：看到题目不要看解答，而是先思考先试着做 ！这是与看文学小说的最大区别。要提醒的是， 例题里有不少是 函数连续性 (一) (二) 中没有给出解答的例题， 你事先独立做了吗？如果没有做，是不会做好是根本不想做，还是没有时间？一函数的连续例 1.1 (例 1.20 (一) ，这个序号值的是函数连续性(一)

2、中的例题号，请对照)设f(x)满足f(x y) f(x) f(y),且f(x)在x 0连续。证明：f(x)在任意点x处连续。分析：证明题是我们很多同学的软肋，不知道从何下手。其实，如果你的基本概念比较清晰，证明题要比计算题号做，因为它有明确的方向，不像计算题，不知道正确的答案是什么在本题里，要证的是“ f(x)在任意点x处连续"，那么我们就先固定一个点x ,用函数连续的定义来证? 这要看已知条件，哪个容易用，就f (x y) f(x) f(y) ， 你的脑海明在x处连续。你可能要问：函数连续的定义有好几个，用哪一个用那一个。 在本题中， 提供了条件f (x y) f (x) f(y)

3、 ， 也就是里就要想到， 如果设 y x ， 那么就有yf (x x) f (x)f ( x) ； 这个时候， 你应该立即 “闪过” ，要用题目给的第二个条件了：f(x) 在 x0 连续！它意味着：lim f(0 x) f(0) 。x0证明的思路就此产生！证明：因为 f (x y) f (x)f(y) ，取 y0，则有f (x)f (x) f (0) ，所以 f (0) 0 。(#)对于固定的 x (任意的！ ) ，y x ，有y f(xx) f (x)f( x) ，+)在(+)式两边取x 0 的极限，那么limx0y lim( f(xx) f (x)limx0f( x) ，&)f(x

4、) 在 x0 连续，所以所以limx0f (0 x)f (0) ，代入(# )，的结果，就有lixm0f(0x)lim f( x) f (0) 0，x0但从(&)知，lixm0ylixm0f( x) ，所以lixm00。根据函数连续的定义 E, f(x)在任意点X处连续。你看，证明题并不难吧，但有个前提，必须有清晰的概念。很多同学的数学只会“代公式套题型”所以做计算题还可能对付一下。其实计算也并不轻松。例 1.2 (例 1.21 (一)设常数 a 0, f (x) lim n2n 1nx一0 (a 1)x一1 ,求f(x)的分段表达式，欲 2n nx ax 1使f(x)连续，试确定a的

5、值。分析：首先要注意，函数f (x)不是平常的形式，用一个明显的解析式表达出来，本题用一个极限形式来表示一个函数。所以它要求先写出f (x)的分段表达式，这是本题的第一个任务；第二，要确定参数a的数值，怎么确定呢？利用函数的连续性。这里需要计算极限的基本功。f (x)中出现了几个哥函数 xn, x2n, x2n根本性的影响，所以要分为|x| 1,|x| 1,x数的认识与理解。1,根据募函数的性质，x的大小对募函数的变化趋势有1,X1进行讨论。所以本题的第一层考核的是对哥函(1) |x| 1：xn,x2n,x2n 1都趋于零(当n时)，所以f(x)(2) |X| 1 :n 2n 2n此时x ,x

6、 , x11都将趋于无穷大。为此，要从分子，分母中提出最大项，约去相应的部分，来简化函数 f(x)：(3)f(x)f(x)limn2nx(a 1)n 1xanx12n 1x x。12nx(4)f(x)limn1 (a1 a(1)(1)n1)n 11limn2 (a 1)( 1)na( 1)n极限不存在。故得f(x)欲使x,1a1,|x|x,f(x)连续,即使f (x)在 x1连续,等价于例1.3 (例1.22 (一)证明连续函数的局部保号性：设f (x)在 x%处连续，且f(x0) 0,那么存在 0,当 |x X0 | 时，f (x) 0。分析：这个性质公式我们一个事实，若连续函数在某点的函数

7、值为正，那么在这个点附近的点的函数值也是正的，不会取负值。这就是说，连续函数的函数值有“惯性” 。证明的过程很容易很简单，其实我们 在证明极限的保号性时就已经用过。证明：因为f (x)在x xo处连续，所以对任给的0,总存在 0,使得当|x xo |时，恒有|f(x) f(x0)|，也就是f(x) f(x0)。(+)若取f (x0) 0,在(+)式中取左边的那个不等式，就有 f (x) 0；1 1 . .右取 一f (%) 0，那么就有 f (x) - f (xO)。(不过，此时的|x x0 |中的 要变小)2 2当然，你也可以取不同的0,当然 要变。如果我们只需要证实 f(x)的值为正，那么

8、取f(x0) 0就已经够了。一 ,， 一 、一 1, ，一例1.4 (例1.23 (一)设f(x)在区间a,b上连续并大于零，证明在a,b也连续。f(x)分析：我们需要证明的是：在a,b上任取点x0，对任给白00,存在一个0,使当|x x0| 时,有。f (x) f(x0)直接做下去，是有困难的，所以我们需要对上述不等式做点放大(这是一个基本功！)：11|f(x0) f(x)| 2| f(x) f(x0)|- 2f(x) f(x。)f(x)f(x。)f (x。)1注意，上面第一个不等号是因为我们在例1.3中，已经证明了在 x0的一个邻域中有f (x) 1 f (x0) !至此，一个完整的证明思

9、路就形成了。证明：X任一 x0 a,b, f(x°) 0, x°是f(x)的连续点。由局部保号性，存在x0的邻域N(x0, 1),1 使得f (x) 一 f(x0)。所以在这个邻域中，211|f(x0) f(x)| 21f(x) f(x0)|2，f(x) f(x0)f(x)f(x°)f (x°)由f (x)在区间a,b上的连续性知，对于任给0,存在2 0,使得当|x x01 2时，有|f(x)f(x0)|f2(x°)2我们取min( 1, 2),那么在这个更小的邻域中，(即|x x0| )有11|f(Xo) f(x)| 21f (x) f(Xo

10、)|f(x)f(Xo)f(X)f(Xo)f2(Xo)'11则有函数的连续的定义知，X0是函数的连续点；又由X0的任意性，得在区间a,b也连续。f(X)f(X)1"X2例1.5确定a,b之值，使函数f(X) e ， X 0在(，)内连续。sin(aX b), x 0解：在x 0和x 0两个区间里，对应的函数均为初等函数，它们都是连续函数。所以，要使f(x)在整个实数域中连续，只需确定在x 0的连续性条件。f (x)在x 0有定义，所以我们只需考虑它在x 0的极限。lim f (x) lim sin(ax b) sin b x 0x 0上511lim f (x) lim e li

11、mp 0；X 0X 0X 022ex lim exx 0由此得方程sinb 0,容易解彳导:b k , k 0, 1, 2,L ,而对参数a,连续性条件对它没有任何限制，所以a可取任何实数。ex. x 0例 1.6 设 f (x)，a x, x 0g(x)b, x 1,求a,b之值，使f (x) g(x)在实数-1 X3 , X 1f (x) g(x)这个新函数的定义域需要加以明确。显然，需域上连续。解：两个函数的定义域不同，所以它们之和 要考虑3个区间：X 0,0 x 1,x 1：exb,x 0f(X) g(x)a xb,0x1。1x3a x, x 1现在可以对2个分界点X 0,X 1处的连

12、续性条件做研究了(定义问题已经解决)lim( f (x) g(x) x 0lim( ex b) 1 b,limj( f(x) g(x)lim( a x b) a b,故有方程a b 1 b,(1)叫 f(x) g(x)lim( a x b)X 1lim( f (x) g(x) lim( v1 x3 a x) >/2-a 1 ,(2)又有方程 a 1 b J2 1 a , 联立(1) (2),解得 a 1,b 盘。练习题1设f (x)满足条件:在整个实数域连续。x1，x2，有 f (x1 x2)f(x1)f(x2),且 f(x)在 x 0 处连续。求证 f(x)练习题2设f (x)x, x

13、 1a, x 1' g(x)b, xx 1, x0,求a,b之值，使f (x)0g(x)在实数域上连二.函数的间断点这里的基本概念是间断点的类型和分类。请自己整理整理的内容。例2.1考察函数 f (x)1arctan -, x 0x0, x 0的间断点，判别其类型解：函数在x 0有定义，但是f (0 ) arctan( ) , f (0 ) arctan(2的左，右极限虽然存在，但不相等，故属于跳跃间断点(第一类)例2.2考察函数f (x)exsin1,0,0的间断点，判别其类型。0解：函数在x 0有定义,但 f(0 )lime.sin1不存在，这是因为xn1一,n n1,2,L 时，

14、xn0 ,sin 不存在; xn又 f(0 )11lim ex sin 一1 ,0 ,这是因为sin 在极限过程中是有界量,xlimx 01exlim eu0 。u所以x 0是函数的第二类间断点。例2.3求下列函数的间断点，确定其类型，瑞为可去间断点，则请补充定义，使它连续。cos x(1)y 2； x (x 1)xV1no1解：（1） x 0, x 1都是使函数y没有定义的点,故是间断点。由于lxm0cos x 2x2(x1)lim 3 limx 0 x2 x 0cos x2(x1),所以x 0是函数的无穷间断点（第二类）cos - x又 lim f2 x 1 x (x 1)limsin (

15、1 x)2x2(1 x)limx 12(1 x)(1 x)是个确定的值，极限存在,所以 x1是可移去间断点，加以补充定义:后函数在x 1连续。但是要注意的是,（2）显然，xlim f (x)x 1f(x)lim1f(x)可见x 1cos-x2x2(x 1)0仍然是函数的无穷间断点（第二类），函数在x 0仍然间断。1,0, 1是使函数没有定义的点，所以是间断点。lim x 11是无穷间断点lxm0-x(x 1) (x 1)lim -lim ，x 1 x(x 1) x 1(x 1)（第二类）x(x 1) lim -x 0 x(x 1)0是可去间断点（第一类）limx MS x 1 x(x 1) x

16、 1 (x 1)也是可去间断点（第一类）lim -x 0 (x补充定义1)f （0）1后，函数在x 0连续。f （1） 0后，函数在x 1连续。例2.4讨论下列函数的间断点:(1) y解：(1) x使函数无定义(对1 、,无定义，故函数本身也无定义)1 x,故为间断点。3 x2, y sin3xlimx 1limx 1士 11 e1 x1(因为 lim e1 x e 0)x 1左，右极限存在，却不相等，故1是跳跃型间断点(第一类)0处没有定义，故为间断点。limx 02lim(3 x2)x 03,sin3x lim x 0 xsin 3x lim x 0 3x3 3,1(因为 lim e1 x

17、 )x 1可见,例2.5根据的不同数值，讨论f (x)在 x0处的连续性，若间断，判别属于何种间断点:解:lim f (x)x 0limx 0f(x)f(0)所以，当f(x)limx 0lim(0.1 sin 一x0,不存在,(请你讲出理由)1时,f(x)在x 0的左，有极限存在且相等，并等于函数值，故函数在x 00处函数的左，右极限都存在，且相等，故 x 0是可去间断点(第一类)连续;0,1时,f (x)在x 0间断，左，右极限存在但不相等，故属于跳跃间断点;0时，f (x)在x 0左连续，右间断，故 x 0属于第二类间断点。x例2.6tan(x )(1998年考研题数二)求函数 f(x)

18、(1 x) 4在区间(0,2 )内的间断点，并判别其类型。解：当x使 tan(x丁)成为无穷大，没有定义，故是f(x)的间断点;因为lim所以,又因当x 彳 tan(x )lim f(x) i；3x _lim0,x 丁 tan(x在间断点x0,4定义，因此xlim7)函数时，tan(x也是函数x 4 tan(x )limx T tan(x4)所以，间断点xlim f(x) 1,x 一4f(x)的极限存在，是第一类间断点。x0 ,使得没有7E乂，从而函数tan(x -)f (x)在这些点没有(x)的间断点。5一,属于第二类间断点。4 4例2.7(2001年考研题数二)求极限指出其间断点的类型。lim f (x)；x 4lim f(x)x 一sint lim t x sin xxsin t sin x,记此极限为f (x),求出f (x)的间断点，并分析：本题不是单纯讨论间断问题，首先要计算一个极限，得出函数f(x)。sint sint斛： lim 一 t x sin xxsin xxsint / sint sinxlim 1 1t x sin xlim 1 t xxsint sinx sint sinx sin x至此，可以看出这是一个型的极限。这是我们已经很熟悉的问题了，做下去j sin t sin xlim 1 t x sin xxsin t sin