力矩与力偶的一些练习题

1、力矩与力偶2.1 力对点的矩如图 2.1所示。手加从实践中知道，力对物体的作用效果除了能使物体移动外，还能使物体转动，力矩就 是度量力使物体转动效果的物理量。力使物体产生转动效应与哪些因素有关呢 在扳手上的力F，使扳手带动螺帽绕中心 O转动。力F 越大，转动越快；力的作用线离转动中心越远，转动也越快；如果力的作用线与力的彳用点到转动中心。点的连线不垂直，则转动的效果就差；当力的作用线通过转 动中心。时，无论力F多大也不能扳动螺帽， 只有当力 的作用线垂直于转动中心与力的作用点的连线时，转动 效果最好。另外，当力的大小和作用线不变而指向相反 时，将使物体向相反的方向转动。在建筑工地上使用撬 杠抬

2、起重物，使用滑轮组起吊重物等等也是实际的例子。 通过大量的实践总结出以下的规律：力使物体绕某点转 动的效果，与力的大小成正比，与转动中心到力的作用线的垂直距离 d也成正比。这个垂直距离称为力臂，转动中心称为力矩中心(简称矩心)。力的大小与力臂的乘积称为力F对点。之矩(简称力矩)，记作mo(F)。计算公式可写为m0(F)F d(2.1)式中的正负号表示力矩的转向。在平面内规定：力使物体绕矩心作逆时针方向转动时,力矩为正；力使物体作顺时针方向转动时，力矩为负。因此，力矩是个代数量。力矩的单位是N m或kN m。由力矩的定义可以得到如下力矩的性质:(1)力F对点O的矩，不仅决定于力的大小，同时与矩心

3、的位置有关。矩心的位置不 同，力矩随之不同；(2)当力的大小为零或力臂为零时，则力矩为零；(3)力沿其作用线移动时，因为力的大小、方向和力臂均没有改变，所以，力矩不变。(4)相互平衡的两个力对同一点的矩的代数和等于零。例2.1分别计算图2.2中F1、F2 x。点的力矩。解 从图2-2中可知力 已和52对。点的力臂是h和12。故 m°(F)= ± Fi 11= Fil1 sin300=49 X X，一 一 A=O.lm |_/；=( 15m _mo(F)= ±F2 12 = F2 12X4-*必须注意：一般情况下力臂并不等于矩心与- 二'力的作用点的距离，如

4、F1的力臂是h,不是11。网、 /5=iLn图2.22.2合力矩定理在计算力对点的力矩时，有些问题往往力臂不易求出，因而直接按定义求力矩难以计算。此时，通常采用的方法是将这个力分解为两个或两个以上便于求出力臂的分力，在由 多个分力力矩的代数和求出合力的力矩。这一有效方法的理论根据是合力矩定理，即：如果有n个平面汇交力作用于 A点，则平面汇交力系的合力对平面内任一点之矩，等 于力系中各分力对同一点力矩的代数和：即mo(FR)=mo(F1)+ mo(F2)+ + mo(Fn) =E mo(F)(2.2)称为合力矩定理。合力矩定理一方面常常可以用来确定物体的重心位置；另一方面也可以用来简化力矩的计算

5、。这样就使力矩的计算有两种方法：在力臂已知或方便求解时，按力矩定义进行计算;在计算力对某点之矩，力臂不易求出时，按合力矩定理求解，可以将此力分解为相互垂直 的分力，如两分力对该点的力臂已知，即可方便地求出两分力对该点的力矩的代数和，从 而求出已知力对该点矩。例2.2计算图2.3中F对。点之矩。解 F。点取矩时力臂不易找出。 将F分解 成互相垂直的两个分力 Fx、Fy,它们对。点的矩分 别为mo(Fx)=Fxb=Fbsinmo(FY)= Fya=Facos由合力矩定理mo(F)= mo(Fx)+ mo(FY)= Fbsin + Facos例2.3槽形杆用螺钉固定于点 O,如图2.4 (a)所示。

6、在杆端点 A作用一力F ,其 大小为400N，试求力F对点O的矩。):本题中力解方法1(按力矩定义计算F的大小和方向均已知,要计算力F对点O的矩，关键是找出力臂的长度。为此，自矩心。作力F作用线的垂线 OC ,线段OC就是力臂d ,如图2.4 (b)所示。由图2.4 (b)中的 ABO可得tan 臂 0.33318.43：BO 4AO 12.65cmsin0.3162而在ACO中,d60； 18.43； 41.57：,所以AO sin 12.65sin 41.57- 8.39cm于是力F对点O的矩为mo(F)=Fd= 400X 83.9=33560Nmm“一”号表示力F将使槽形杆绕点O有顺时针

7、方向转动的趋势。方法2(按合力矩定理计算)：将力F分解为水平力Fx和铅直力Fy,如图2.4 (c)所示。 由合力矩定理知，力F对点。的矩就等于分力 Fx、Fy对同一点。的矩的代数和，即mo(F)= m o(Fx)+ mo(FY) =-Fx X 120+FyX 40= -400sin600x 120+400cos600X 40= 41560+8000= 33560Nmm可见两种方法结果完全一样。但在方法1中，求力Fp对点。的矩需要通过几何关系才能找出力臂，计算比较麻烦；而方法2用合力矩定理计算则比较简便。在实际计算中，常用合力矩定理来求力矩或合力作用线的位置。2.42.3力偶及其基本性质阉

8、63; 5圈上G力偶和力偶矩在生产实践和日常生活中，为了使物体发生转动，常常在物体上施加两个大小相等、方向相反、不共线的平行力。例如钳工用丝锥攻丝时两手加力在丝杠上（图2.5所示）。当大小相等、方向相反、不共线的两个平行力F和F/作用在同一物体时，它们的合力Fr 0,即F和F/没有合力。但因二力不共线，所以也不能平衡。它们的作用效果是 使物体发生转动。力学上把这样大小相等、方向相反、不共线的两个平行力叫力偶。用符 号（F ,F/）表示。两个相反力之间垂直距离d叫力偶臂（如图2.6所示），两个力的作用线所在的平面称为力偶作用面。力偶不能再简化成比力更简单的形式，所以力偶与力一样被看 成是组成力系

9、的基本元素。如何度量力偶对物体的作用效果呢 ？由实践可知，组成力偶的力越大，或力偶臂越大， 则力偶使物体转动的效应越强；反之，就越弱。这说明力偶的转动效应不仅与两个力的大 小有关，而且还与力偶臂的大小有关。与力矩类似，用力偶中一个力大小和力偶臂的乘积 并冠以适当正负号（以示转向）来度量力偶对物体的转动效应，称为力偶矩，用 m表示。即m Fd（2.3）使物体逆时针方向转动时，力偶矩为正；反之为负。如图 2.6所示。所以力偶矩是代 数量。力偶矩的单位与力矩的单位相同，常用 牛顿米（N m）o通过大量实践证明，度量力偶对物体转动效应的三要素是：力偶矩的大小、力偶的转向、力偶的作用面。不同的力偶只要它

10、们的三要素相同，对物体的转动效应就是一样的。2.4.1力偶的基本性质性质1力偶没有合力，所以力偶不能用一个力来代替，也不能与一个力来平衡。从力偶的定义和力的合力投影定理可知，力偶中的二力在其作用面内的任意坐标轴上 的投影的代数和恒为零，所以力偶没有合力，力偶对物体只能有转动效应，而一个力在一般情况下对物体有移动和转动两种效应。因此，力偶与力对物体的作用效应不同，所以其 不能与一个力等效，也不能用一个力代替，也就是说力偶不能和一个力平衡，力偶只能和 转向相反的力偶平衡。性质2力偶对其作用面内任一点之矩恒等于力偶矩，且与矩心位置无关。图2.7所示力偶（F , F/）,其力偶臂为d ,逆时针转向，其

11、力偶矩为 m Fd ,在其所 在的平面内任选一点 O为矩心，与离F/的垂直距离？为x ,则它到F的垂直距离为x d。显然，力偶对OI点的力矩是力F与F分别对O点的力矩的代数和。xd其值为：°广mO（F, F ） F（d x） Fx Fd m c 由于。点是任意选取的，所以性质 2已得证。图2.7性质3在同一平面内的两个力偶，如果它们的力偶矩大小相等，转向相同，则这两个力偶等效。称为力偶的等效条件。从以上性质可以得到两个推论。推论1力偶可在其作用面内任意转移，而不改变它对物体的转动效应，即力偶对物 体的转动效应与它在作用面内的位置无关。例如图2.8（a）作用在方向盘上的两上力偶 （F1

12、, F）与（F2, F）只要它们的力偶矩 大小相等，转向相同，作用位置虽不同，转动效应是相同的。推论2 在力偶矩大小不变的条件下，可以改变力偶中的力的大小和力偶臂的长短;而不改变它对物体的转动效应。例如图2.8（b）所示，工人在利用丝锥攻螺纹时，作用在螺纹杠上的（F1, F ）或（F2, F ）, 虽然di和d2不相等，但只要调整力的大小，使 力偶矩Fidi F2d2,则两力偶的作用效果是相同 的。从上面两个推论可知，在研究与力偶有关的问题时，不必考虑力偶在平面内的作用位置，也不必考虑力偶中力的大小和力偶臂的长短，只需考虑力偶的大小和转向。所以常用 带箭头的弧线表示力偶，箭头方向表示力偶的转向

13、，弧线旁的字母 m或者数值表示力偶矩的大小，如图2.9所示。2.5平面力偶系的合成与平衡2.5.1平面力偶系的合成作用在物体上的一群力偶或一组力偶，称为力偶系。作用面均在同一平面内的力偶系 称为平面力偶系。因为力偶对物体的作用效果是转动，所以同一平面上的多个力偶对物体的作用效果也 是转动，作用在同一物体上的多个力偶的合成的结果必然也应该是一个力偶，并且这个力 偶的力偶矩等于各个分力偶的力偶矩之和。即作用在同一平面上的若干力偶，可以合成为 一个合力偶，其合力偶矩等于各分力偶矩的代数和：即Mmim2Imnm(2.4)作用在原力偶系的平面内。例2.4如图2.10所示，在物体的某平面内受到三个力偶的作

14、用，设F1 200N ,F2 600N , m 300N m,求它们的合力偶矩。 解各力偶矩分别为m1F1d200 1200N m0.25m2 F2d600 300N msin30'，m1m 300 N m由(2 4)式可得合力矩为M m m1m2 m3200 300 300200N m即合力偶矩的大小为 200N m,顺时针转向,平面力偶系的平衡条件平面力偶系可以合成为一个合力偶，当合力偶矩等于零时， 物体处于平衡状态； 反之,力偶矩不为零，则物体必产生转动效应而不平衡。这样可得到平面力偶系平衡的必要和充分条件是：力偶系中所有各力偶的力偶矩的代数和等于零。即：(2.5)上式称为平面力

15、偶系的平衡方程。应用式(2.5)解决平面力偶系的平衡问题，只能求出一个未知量。例2.5梁AB上作用有一力偶，其转向如图 2.11(a),力偶矩 m 15kN m。梁长l 3m,梁的自重不计，求 A、B处支座反力。解梁的B端是可动较支座，其支座反力FB的方向是沿垂直方向的；梁的 A端是固定较支座，其反力的 方向本来是未定的，但因梁上只受一个力偶的作用，根 据力偶只能与力偶平衡的性质，FA必须与FB组成一个力偶。这样Fa的方向也只能是沿垂直方向的，假设Ra与Fb的指向如图2.11(b)所示，由平面力偶系的平衡条 件得m 0, m RAl 0Far m 15 5KN (T)l 3Fbr 5KN (J

16、 )本章小结1 .力矩是力使物体绕某一点转动效应的度量。力矩的大小等于力与矩心到力的作用线的垂直距离的乘积，力矩的转向用正、负号来表示；因而在平面问题中，力矩可看成是代 数量。2 .力偶是由大小相等、方向相反、作用线平行但不重合的两个力所组成的一个特殊力系。力和力偶是力学中两个最基本的机械作用量。力对刚体作用一般都有移动和转动两种 效应；而力偶对刚体却只有转动效应，没有移动效应。力偶既不能用一个力代替，也不能 与一个力平衡，力偶只能用力偶来平衡。力偶使刚体转动的效应用力偶矩来度量。力偶矩的大小等于力偶中任一力的大小与两 力之间的垂直距离的乘积，力偶矩的转向用正、负号来表示，因而在平面问题中，力

17、偶矩 可看成是代数量。力矩是力使物体绕某点转动效应的度量，而力偶是最基本的机械作用量，力矩与力偶 是两种不同的概念，不能混淆。3 .力偶在任一轴上的投影恒等于零；力偶对其作用面内任一点的矩恒等于力偶矩，而与矩心的位置无关；力偶可以在其刚体的作用面内任意移动，也可以在力偶矩保持不变的条件下同时改变力偶中力的大小和力偶臂的长短，而不改变它对刚体的效应。但必须注意,所谓任意移动是指在所作用的刚体内移动，而不能将它移动到另外的刚体上。掌握力偶的 这些性质，无论对于力系简化的理论或解决有关力偶作用下物体的平衡问题，都是非常重 要的。4 .平面力偶系合成的结果是一个合力偶；合力偶的力偶矩等于力偶系中各分力

18、偶的力偶矩的代数和。平面力偶系平衡的必要和充分条件是合力偶矩等于零，即力偶系中各力偶 的力偶矩的代数和等于零。思考试2.1 什么是力矩？什么是力偶？有何异同？举例说明。2.2 力偶有哪几条性质？2.3 力偶的三要素是什么？2.4 怎样的力偶才是等效力偶？习题2.1 计算下列各图中F力对。点之矩。2.2 分别求图题2.2所示三个力偶的合力偶矩，已知；F1F1 80N ,F2 F2 130N , F3 F3 100N ; d1 70cm, d2 60cm, d3 50cm。2.3 各梁受荷载情况如图题 2.3所示，试求各力偶分别对 A、B点的矩。（2）各力偶中二个力在 x、y轴上的投影。2.4 求

19、图题2.4示各梁的支座反力2.5 如图题 2.5所示，已 知皮带轮 上作用力 偶矩m 80N m ,皮带轮的半径 d 0.2m,皮带紧拉边力 Fti 500N ,求平衡时皮带松边的拉力Ft2。周勒图例2,5第一节力基础知识1 .物理学中，力是 物体对物体的作用。2 .当物体的形状发生改变或运动状态发生改变时,就可以判断物体受到力的作用。3 .力的作用效果与力的大小和 作用点 有关,称为力的三要素。4 .用手拍打课桌，手是 施力 物体，课桌是 受力 物体;同时手感到疼痛，说明手受到了桌面 对它施加的力的作用，由此说明力的作用是相互而5 .暴风雨来临前，狂风把小树吹弯了腰，把落叶吹得漫天飞舞。从力

20、的作用效果分析，风力使小树发生了 > 变,使落叶的运动状态 发生了改变。6 .如图所示，用扳手拧螺母时，按通常经验，沿 顺时针（“顺时针或逆时针”）方向可使螺母拧紧,沿 逆时针 方向 可使螺母拧松，这表明力的作用效果与力的方向 有关；若用同样大的力拧螺母 ，则把力作用到A 点更容易将螺母拧紧或拧开,这表明力的作用效果与力的作用点 旦有关.小七7 .物体运动及阪化反映在：物体由静止变为运动 或由运动 变为静止；丽体运动义段&少由快变慢或由慢变快；物体运动状态改变。曳课堂练习物体 对 物体 的作用,力不能脱离物体 而存在,物体间力的作用是相互 的。2 .运动员举起杠铃时,对杠铃有方向

21、 竖直向上的作用力，以杠铃为研究对象,杠铃 是受力物体，运动员是施力物体；以运动员为研究对象，运动员是受力物体,杠铃 是施力物体。3 .溜旱冰时，用力推墙，人反而被墙推开，这说明人 也受到 墙的作用力。此时若以人为研究对象，人是 受力 物体,墙是 施力 物体，此现象说明物体间力的作用是相互的。4 .如图（A）所示表示：是足球运动员开出角球，队友上来冲顶，球被对方守门员鱼跃接住。三个运动员对球都有力的作用，这些力的作用效果是使足球运动状态 发生变化。如图（B）所示，力可以使物体发生形变。第4题图5 .国际单位制中，力的单位是牛顿:陆号 y 表示。6 .关于力的概念，下列说法中错误的是（B ）A、

22、物体间力的作用是相互的B 、物体只有直接接触才能发生力的作用C、只有一个物体是不会发生力的作用的D、受力物体同时也是施力物体7 .下列现象中运动状态没有发生改变的是（C ）A、飞机的起飞过程B、在圆形轨道上的物体做快慢不变的运动C、在水中匀速下沉的石块D 、汽车在公路上慢慢地停下来8 .用绳系着水桶，手拉绳从井中提起水桶，手受到竖直向下的拉力，施力物体是（D ）A、地球B、水桶 C、手口绳能力提升1 .手提水桶，施力物体是手 ，受力物体是 水桶 ；手也会感到疼是因为水桶 对毛施力的结果。这一现象表明物体间力的作用是相互的。2 .穿着溜冰鞋的小孩用力推墙，会感到墙在推地，这表明物体间力的作用是相

23、互的;同时他由静止向后运动，这又表明力可以改变物体的运动状态。当人坐在沙发上时，发现沙发陷了下去，这一现象表明力可以使物体发生形变。3 .用脚踢足球，球飞走了是由于脚 对 球施力的结果;脚感到疼是球 对脚 施力的结果。这一现象说明物体间力的作用是相互的。4 .风吹草动，施力物体是 奉 ，受力物体是。5 .如图所示，（a） （b）表示力的作用效果。其中（a）主要表示了力可以使物体发生形变;（b）主要表示了力可以使物体运动状态 发生改变。6 .在跳板跳水这一运动项目中，运动员对跳板施力的同时，也受到跳板对他的作用力，但这两个力的作用效果 却不同，前者主要改变了跳板的形状 ，后者主要改变了运动员的运

24、动状态 。4中A、B、C、D所示7 . 29、如图3所示，让一条薄钢条的一端固定，现分别用不同的力去推它，使它发生如图 的性变，如果力 F1=F3=F4>F2,那么（每空1分，共6分）（1）能说明力的作用效果与力的大小有关的图是图（2）能说明力的作用效果与力的方向有关的图是图（3）能说明力的作用效果与力的作用点有关的是图A和图C。A和图D。和图ABo8 .竖直抛出的物体，被地球吸引而下落，在下落的过程中，物体和地球并没有接触，这说明作用。9 .如图所示，将一根弹簧挂在天花板上，某人用方向相同的两个力作用于弹簧，已知Fi<F2o观察比较（甲）、（乙）、（丙）三图，可知力的作用效果与力

25、的大小 相关。10 .在下面图（a）、 所示的三个情景中，其中图a主要表示力能使物体的运动状态发生改变选填“（a） ”、或"（b） ” ;图b主要表示力能使物体发生形变；而图（c）则表示力的作用效果还与力的作用点有关。中考习题1、以下是我们生活中常见的几种现象：用力揉面团，面团形状发生变化；篮球撞击在篮板上被弹回；用也能发生力的力握小皮球，皮球瘪了；一阵风把地面上的灰尘吹得满天飞扬.在这些现象中，物体由于受力而改变运动状态 的是A、 B. C、 D.（ B ）2、 以下是我们生活中常见的几种现象： 用力揉面团，面团形状发生变化；篮球撞击在篮板上被弹回； 用力捏小皮球，球变瘪了； 一阵

26、风把地面上的灰尘吹得漫天飞舞。在这些现象中，物体因为受力而改变形状的是（A ）A.B.C.D.3、游泳运动员用手和脚向后划水，人就前进，下列说法正确的是（B ）A.运动员是受力物体，不是施力物体B.运动员是受力物体，同时也是施力物体C.水是施力物体，不是受力物体D.运动员给水一个推力，水也给运动员一个向前的力，这两个力的作用效果抵消4、下列各图中反映力的作用效果是用来改变物体运动状态的是5、铅笔盒放在水平桌面上静止时，在下列各对力中属于相互作用力的是（A ）A.桌面对铅笔盒的支持力与铅笔盒对桌面的压力8 .桌子受到铅笔盒的压力与铅笔，盒受到的重力C.铅笔盒受到的重力与桌面对铅笔盒的支持力D.铅

27、笔盒对桌面的压力与地面对桌子的支持力 6、如图4所示，其中与其它三个力所产生的作用效果不同的与（送幼量就弓弦的拄力 A汽车对地面的压力答头对木柴的方Crw. .下落小球爰到重方fl7、下列过程中，有一个力的作用效果与其他三个不同类，它是（A ）A.把橡皮泥捏成不同造型B .进站的火车受阻力缓缓停下C.苹果受重力竖直下落D.用力把铅球推出8、如图，分别用大小相等的力拉和压同一弹簧。该实验表明，弹簧受力产生的效果（B ）A.与力的大小有关B.与力的方向有关C.与力的作用点有关D.与受力面积有关9、下列说法中正确的是（D ）A.两个物体互相接触就一定有力的作用B.两个物体不接触就一定没有力的作用C.

28、两个物体相互作用，一定有一个物体受力，另一个物体不一定受力D.两个物体互相作用，这两个物体同时是受力物体，也同时是施力物体10、划艇比赛的运动员随着有节奏的号子声，大家齐心合力划动木桨使船快速前进 的力是（D ）A.水对船的作用力B.人对木桨的作用力C.木桨对水的作用力D.水对木桨的作用力11、观察图中的四个情境，找出它们的共同特征，可以归纳得出的结论是（A ）A.力可以改变物体的形状C.力可以改变物体运动速度的大小B.力可以改变物体运动的方向D .力的作用效果与力的作用点有关手用力捏气球手压缩弹瞽熊猫拉附于竹子弯T12、我们常用“鸡蛋碰石头”来形容对立双方的势力悬殊非常大, 石头（强者）却完

29、好无损，对此现象的正确解释是（ C A.鸡蛋受到力的作用，而石头没有受到力的作用B.鸡蛋受到较大的力的作用，石头受到较小力的作用C.它们相互作用力大小一样，只是石头比鸡蛋硬D.以上说法都不对13、质量相等的甲、乙两同学站在滑板上，在旱冰场上相对而立, 正确的是：（D ）A.同时，乙对甲的推力小于 60N;B.甲静止不动，乙向后退；C.乙后退的过程中，始终受到60N推力的作用；D.乙由静止变为后退，说明力可以改变物体的运动状态.c课下作业鸡蛋（弱者）很容易被碰的“头破血流”，而 ）如果甲用60N的力推乙，如图所示。以下分析1 .物理学巾，力的单位是牛顿：简称二J2 .下列关于力的作用效果的讨论，不正确的是A力的作用效果就是使物体从静止变为运动C.力可以改变物体的形状，使物体发生形变,符号是_N(A )B使物体从静止变为运动是力的作用效果D.力的作用效果之一是可以改变物体的运动方向3 .公路上一辆高速行驶的小汽车突然撞到石墩上，汽车车头被撞瘪了，汽车也停下