贵州省六盘水市2021届新高考第一次适应性考试数学试题含解析

1、贵州省六盘水市2021届新高考第一次适应性考试数学试题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的。1 .若1a+白）的展开式中二项式系数和为256,则二项式展开式中有理项系数之和为（）A. 85B. 84C. 57D. 56【答案】A【解析】【分析】先求，再确定展开式中的有理项，最后求系数之和.【详解】解：；'五十 ：的展开式中二项式系数和为256故 2" =256, = 8 8f8-4/。+1 = C；x 3 xr = C；x 3要求展开式中的有理项，则r = 2,5,8则二项式展开式中有理项系数之和为：C；+C：

2、+C卜85故选：A【点睛】考查二项式的二项式系数及展开式中有理项系数的确定，基础题.2 .已知，（1 一川）= 2 +初（i为虚数单位，a/eR）,则ab等于（）A. 2B. -2C. -D.-22【答案】A【解析】【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数相等的条件列式求解.【详解】i（-ai） = 2 + bi 9：.a + i = 2+hi,得。=2, b = T.:.ab = 2.故选：A.【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数相等的条件，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，是基础题.3 .已知若对任意"?0(0，+8),关于x的不等式(x l)e一一<

3、; 一ln(7 + l) - l (e为自然对 e数的底数)至少有2个正整数解，则实数a的取值范围是()【答案】B【解析】【分析】构造函数/(?)= Lln(?+l) - l (m>0),求导可得/(?)在0,+oo上单调递增，则(IXzi V=问题转化为(x l)e=一<1,即(x l)eY -1至少有2个正整数解，构造函数eez/vg(x) = (x-l)e'，Mx) = -1,通过导数研究单调性，由g(0) = /?(0)可知，要使得g(x)</?(')至少有 e2个正整数解，只需我 (2) < /?(2)即可，代人可求得结果.【详解】构造函数 f

4、 (7)= 7-11(?+1)-1 (m>0),则/1=- (m>0),所以/(?)在 m +1 m +10,+oo上单调递增，所以=故问题转化为至少存在两个正整数x,使得(x-l)e"竺一 1 成立，设g(x) = (x-l)e", /?(x) = -1,则短(x) = xe、，当x>0时/ x >0, eeg(x)单调递增；当x>0时，妆X)单调递增.g(2)</?(2),整理得“之胃. 2故选:B.【点睛】本题考查导数在判断函数单调性中的应用，考查不等式成立问题中求解参数问题，考查学生分析问题的能力和逻辑推理能力，难度较难.4 .从

5、5名学生中选出4名分别参加数学，物理，化学，生物四科竞赛，其中甲不能参加生物竞赛，则不同的参赛方案种数为A. 48B. 72C. 90D. 96【答案】D【解析】因甲不参加生物竞赛，则安排甲参加另外3场比赛或甲学生不参加任何比赛当甲参加另外3场比赛时，共有C；A/=72种选择方案；当甲学生不参加任何比赛时，共有A：=24 种选择方案.综上所述，所有参赛方案有72+24=96种故答案为：96点睛：本题以选择学生参加比赛为载体，考查了分类计数原理、排列数与组合数公式等知识，属于基础题.5 .设等差数列%的前项和为若4 =5,邑=81,则4。=()A. 23B. 25C. 28D. 29【答案】D【

6、解析】【分析】由邑=81可求弓=9,再求公差，再求解即可.【详解】解：4是等差数列S() = 9a5 = 81% =9,又 4=5,公差为，/ =4,/. 4()= % + 6d = 29 ,故选：D【点睛】考查等差数列的有关性质、运算求解能力和推理论证能力，是基础题.6 .下列几何体的三视图中，恰好有两个视图相同的几何体是()A.正方体B.球体C.圆锥D.长宽高互不相等的长方体【答案】C【解析】【分析】根据基本几何体的三视图确定.【详解】正方体的三个三视图都是相等的正方形，球的三个三视图都是相等的圆，圆锥的三个三视图有一个是圆， 另外两个是全等的等腰三角形，长宽高互不相等的长方体的三视图是三

7、个两两不全等的矩形.故选：C.【点睛】本题考查基本几何体的三视图，掌握基本几何体的三视图是解题关键.7 .设i是虚数单位，若复数" + Wy(“eR)是纯虚数，则a的值为()A. -3B. 3C. 1D. -1【答案】D【解析】【分析】整理复数为+ ci的形式，由复数为纯虚数可知实部为0,虚部不为0,即可求解.【详解】由题.“ + = “ + ,二"" = </ + 2/ +1 = (</ +1) + 2/, 出闻 2 + i (2 + /)(2-Z)I 7'因为纯虚数，所以。+ 1 = 0,则。=一1,故选:D【点睛】本题考查已知复数的类型求

8、参数范围，考查复数的除法运算.8 .已知 =5*,匕=logq= logs 2，则4，"，。的大小关系为()A. a >b>cB. a>c>b C. h>a>c D. c>b> a【答案】A【解析】【分析】根据指数函数的单调性，可得再利用对数函数的单调性，将Ac与1，!对比，即可求出结论.【详解】11由题知 a = 55 >50 = 1J > Z? = log4 y5 > log4 2 =,2c = log5 2 < log5 y/5 =,贝ij a > > c. 2故选:A.【点睛】本题考查利用函数

9、性质比较大小，注意与特殊数的对比，属于基础题.9 .设? = ln2, = lg2,则()A. nin>nvi>in+nB. mn >m+h>nviC. tn+n > mti > mnD. rn+n > m-n > nui【答案】D【解析】【分析】由不等式的性质及换底公式即可得解.【详解】 解:因为? = ln2, = lg2,则加>，且肛e(O,l),所以 m+n> nui, m + n > mn,J1_lg2-h?210=log210-log2 e = log2 一 > log2 2 = 1,rr "1 一

10、，r ,、即> 1 '贝山一 > 小，nin即 m+n > mn > nm ,故选：D.【点睛】本题考查了不等式的性质及换底公式，属基础题.10 .执行如图所示的程序框图，若输出的结果为3,则可输入的实数x值的个数为（）|开通怙姐一A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】C【解析】试题分析：根据题意，当x«2时，令/一1 = 3,得犬=±2；当x>2时，令瑛2户3,得x = 9,故输入的实数工值的个数为1.考点：程序框图.H. a?+ = 1 是asine+bcos6« 1 恒成立的（）A,充分不必要条件B,必要不充分条件C.

11、充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】【详解】a = cos a设=4sin6 + cose = sin6cosa + cos8sina = sin(6+c) K 1 成立；反之，4 = = 0满足b = sina-asinO+bcos0<, fflti2 +b2> 故选 A.12.函数f(x)=shi(wx+0)(w>O, M|V 1 )的最小正周期是凡若将该函数的图象向右平移楙个单位后得 到的函数图象关于直线x=对称，则函数f(x)的解析式为()2A. f(x)=sin(2x+B. f(x)=sin(2xy)JJC. f(x)=sin(2x+ -)D.

12、 f(x)=sin(2x)66【答案】D【解析】【分析】由函数的周期求得卬=2,再由平移后的函数图像关于直线、=£对称，得到2xg +。-3 =丘+三, 由此求得满足条件的。的值，即可求得答案.【详解】分析：由函数的周期求得co = 2,再由平移后的函数图像关于直线x=g对称，得到 22x； +(p g = k7r + g,由此求得满足条件的中的值，即可求得答案. 乙J乙详解：因为函数f(X)= sin(cox +(p)的最小正周期是兀，所以心=兀，解得=2,所以f(x) = sin(2x+(p), CD将该函数的图像向右平移5个单位后， 0"/X 1得到图像所对应的函数解

13、析式为y = sin 2 x-3+(p =sin 2x +(p-m,由此函数图像关于直线X = |对称，得：c 兀兀 1 兀- IT 1r2x + (p-= k;i + , 即(p = k7r -,k eZ, 2326取k = o,得<P = 一满足阿vg,/ 、所以函数f(x)的解析式为f(x) = sin 2x-：,故选D.k o /【点睛】本题主要考查了三角函数的图象变换，以及函数的解析式的求解，其中解答中根据三角函数的图象变换得 到)，= sin(2x + e-g),再根据三角函数的性质求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。1

14、3 .已知一个圆锥的底面积和侧面积分别为9和15乃，则该圆锥的体积为【答案】12几【解析】【分析】依据圆锥的底面积和侧面积公式，求出底面半径和母线长，再根据勾股定理求出圆锥的高，最后利用圆锥 的体积公式求出体积。【详解】设圆锥的底面半径为小 母线长为/,高为力，所以有7ir = 97trl -15zr解得.=5，*=J=>/52 -32 = 4故该圆锥的体积为v= - 7trh =4x32x4 = 12万。【点睛】本题主要考查圆锥的底面积、侧面积和体积公式的应用。/、r + 2x H . 2 < x < 0/、 I / I尸 +2x-l,x<-2,x>014 .已

15、知函数/3 = j ,4x2+8x，若函数g(x) = 4/(x)| + l有6个零点，则实数。的取值范围是.【答案】-t-【解析】【分析】由题意首先研究函数y = /(x)|的性质，然后结合函数的性质数形结合得到关于a的不等式，求解不等式 即可确定实数a的取值范围.【详解】当IvxvO时，函数«x) = W+2x在区间(-1,0)上单调递增，很明显/(x)£(1,0),且存在唯一的实数占满足%)=一：，-1,一彳上单调递减，在区间L /当一IW/CO时，由对勾函数的性质可知函数y=，+不在区间 单调递增, 结合复合函数的单调性可知函数y= Y + 2x+彳熹；在区间(-1

16、,内)上单调递减，在区间(,0)上单 调递增，且当X"时，），=+2x + e1I,考查函数y =尸+ 2x-l|在区间（0,+8）上的性质，由二次函数的性质可知函数），=尸+2.1|在区间（口企-1）上单调递减，在区间上单调递增，函数g（x） =+1有6个零点，即方程4/（X）| +1 = o有6个根，也就是!/'（X）1=有6个根，即y =1 f（x） |与y = - 1有6个不同交点，aa注意到函数y = x2+2x关于直线x =-1对称，则函数y =1 /（x）关于直线x = -1对称，绘制函数y =1 fM I的图像如图所示,综上可得，实数。的取值范围是4）故答案为

17、-1，一百【点睛】本题主要考查分段函数的应用，复合函数的单调性，数形结合的数学思想，等价转化的数学思想等知识， 意在考查学生的转化能力和计算求解能力.15.已知点4（0,-1）是抛物线/=2分，的准线上一点，F为抛物线的焦点，P为抛物线上的点，且PF = mPAt若双曲线C中心在原点，F是它的一个焦点，且过P点，当m取最小值时，双曲线C的 离心率为.【答案】V2 + 1【解析】【分析】由点A坐标可确定抛物线方程，由此得到月坐标和准线方程；过户作准线的垂线，垂足为N,根据抛物 线定义可得力不=，可知当直线F4与抛物线相切时，取得最小值；利用抛物线切线的求解方法可求得P点坐标，根据双曲线定义得到实

18、轴长，结合焦距可求得所求的离心率.【详解】: 4(0,1)是抛物线W = 2py准线上的一点二 = 2，抛物线方程为d=4y./()，准线方程为y = -l过P作准线的垂线，垂足为N,则|PN| = |PE|'.PF = mPA善=1 = m1111PA PA设直线PA的倾斜角为a ,则sin a = m当取得最小值时，sina最小，此时直线力与抛物线相切设直线P4的方程为)' =日-1,代入/ =4)、得：/一46+ 4 = 0. = 16公_16 = 0,解得：A=±l /(Zl)或(2,1)双曲线的实轴长为|产川一忙曰=2(72-1),焦距为|AF| = 2-双

19、曲线的离心率。= 必1故答案为：V2 + 1【点睛】本题考查双曲线离心率的求解问题，涉及到抛物线定义和标准方程的应用、双曲线定义的应用；关键是能 够确定当?取得最小值时，直线PA与抛物线相切，进而根据抛物线切线方程的求解方法求得P点坐标.16 .从甲、乙、丙、丁、戊五人中任选两名代表，甲被选中的概率为.【答案】I 【解析】【分析】甲被选中，只需从乙、丙、丁、戊中,再选一人即有C：种方法，从甲、乙、丙、丁、戊五人中任选两名共有 种方法，根据公式即可求得概率.【详解】甲被选中，只需从乙、丙、丁、戊中,再选一人即有C：种方法，从甲、乙、丙、丁、戊五人中任选两名共有种方法，尸=詈=彳C5 32故答案为

20、:【点睛】本题考查古典概型的概率的计算，考查学生分析问题的能力，难度容易.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17 .已知等差数列凡的前n项和为S“，g=8q + l,公差d>0,，、与、儿成等比数列，数列也 满足 log2 bn =(tzrt-l)log2 4x (D求数列口,也的通项公式；(2)已知=一，求数列q,+“的前n项和乙.a1【答案】(1) %=2-1, bn = A-"-1 (x>0)； (2) 八 +二.【解析】【分析】(1)根据卜4是等差数列，域=8q+l, S、名、$6成等比数列，列两个方程即可求出,",从而 求得

21、乙,代入化简即可求得乩；(2)化简g后求和为裂项相消求和，*“+”分组求和即可，注意讨论 公比是否为1.【详解】(1)由题意知 与=q, S4=4at+6d t $6 = 16q+120d,由 S；=SS|,得(4q +6") = q (16q + 120d),解得" = 20 >0.又片=(% + df = 8q +1,得 9”； =+1,解得4 =1或4=一：(舍)./. J = 2 , 4“ = 2 - 1.又 log2 bH =(2/?-2)log2 6 = log,/-1 (x>0),a blt =xd-' (x>0).11 if 1 I

22、 (2) c = - - "(2/1-1)(277 + 1) 21 2/7 -1 2n + )当I时，+ .T =(G +c2 + +c) + (4 + +勿) =2当KW1时，. 1 . 1 1一天4=- 1 一 +2l 2n + i) 1-x【点睛】此题等差数列的通项公式的求解，裂项相消求和等知识点，考查了化归和转化思想，属于一般性题目.fiY18.已知函数/(幻=下(。00).e(1)求函数f(x)的单调区间;(2)当4 = 1时，如果方程/(x)= f有两个不等实根不，占，求实数t的取值范围，并证明玉+&>2.【答案】(1)当。>0时，/(X)的单调递增区

23、间是(-8/)，单调递减区间是(1，+8)；当<。时，的单调递增区间是(1,+s),单调递减区间是(-8/)；(2)。，一,证明见解析. I eJ【解析】【分析】(1)求出/'*)，对。分类讨论，分别求出/'")>0,/'。)<。的解，即可得出结论；(2)由(1)得出/(x) = f有两解时，的范围，以及，小关系，将内+%>2,等价转化为证明+1) > 2 ,不妨设$ >x?,令加=玉一/，则"? >°，> 1.即证。-2)d" +? + 2 >0,L2构造函数g(x) = (

24、A- 2)ex + x + 2(x > 0),只要证明对于任意A > 0, g(x) > 0恒成立即可.【详解】(1)/“)的定义域为R，且广(幻=如:立. et x1 x由 >。，得 XV1；由一r<0,得.E>1 ee故当a >0时，函数f(x)的单调递增区间是(J),单调递减区间是(L+s);当“<0时，函数f(x)的单调递增区间是单调递减区间是(-8).(2)由(1)知当a=1 时，K/UU =/0)=-. ee当x<0时，/W<0,当x>o时，/(x)>0.,当o V r V,时，直线y =，与y = fW的图像

25、有两个交点, e( 二实数t的取值范围是。,一.< e，方程/(A)=，有两个不等实根$ , X,= =，M = tex' , x2 = te x-, e 1 e '.-.Xl-x2=t(ex'-eXi)t 即f = ex -要证+人>2,只需证/(e"+e")>2,即证包二必士£Q>2,不妨设 6一涉令7 = 为一公，则"7>0,>1,则要证>2,即证(加-2)-" + "7 + 2>0.一 1令 g(x) =(X - 2)ex + x+2(x> 0),则

26、 gx) = (x-l>' +1.令 A(x) = (x-l)cv + 1,则 '(x) = xex > 0 ,h(x) = (x1)/ + 1 在(0, +s)上单调递增,/*)> MO) = 0.g(x)>09,g(x)在(0,+s)上单调递增，g(x)> g(0) = 0,即(x-2)/ +x + 2>0 成立，即("7-2)/”+7 + 2>0成立玉+X2 >2.【点睛】本题考查函数与导数的综合应用，涉及到函数单调性、极值、零点、不等式证明，构造函数函数是解题的 关键，意在考查直观想象、逻辑推理、数学计算能力，属

27、于较难题.19.已知函数 y = f(x)的定义域为(0,4-00),且满足 f(xy) = /(X)+ /()，)，当 X e )时，有 /(X)> 0 ,且2) = 1.(1)求不等式/(4，)一/(1一。<2的解集；(2)对任意xe 0,g , f 2sin2 x + f5cos(x-f -5 + 2 知'(6-2a)恒成立，求实数。的L 2I 4j 4J J取值范围.1 >5【答案】(D 0，彳;(2)3【解析】【分析】(1)利用定义法求出函数y = /(x)在(0，+。)上单调递增，由/(邛)= /'*)+/(>)和/'(2) = 1,

28、求出 /(4),求出/(4，)</4(1一»,运用单调性求出不等式的解集;(2)由于/ 2sin2 x + - -2x/2cos x- 5。+ 2 匆(6-2a)恒成立，由(1)得出 y = /(x)在 . kk 4；2sin2 x + 2四cos x- -5a + 2>6-2a (0,+s)上单调递增，4j 4 J恒成立，设6 2。> 0g(x) = 2sin2(x + ?J 2V?cosx ?)-5 + 2,利用三角恒等变换化简g(x),结合恒成立的条件,构造新函数，利用单调性和最值，求出实数。的取值范围.【详解】(1)设玉 f/ / ,/(X1)-/(X2)=

29、 / >X2 -f(X2)= f +/(X2)-/(X2)= / >°，X27X2 X2 7所以函数y = /*)在(o,+s)上单调递增，又因为/(")="X)+ /(V)和/=1,贝!)/(4) = "2x2) =/(2) +"2) = 2,所以 /(40 </(1-0 + 2 = /(1-0 + /(4) = /4(1-04f <4(1 一/)”0解得 /<1 ,即1 t<-21 A 故，的取值范围为0,-；(2)由于/ 2sin21 x+ 2cosL V 4；(万、2sin2 x + i-2-/2co

30、s x Oj I 4；4)6 2。> 0设g(x) = 2sin2 fx + - -2>/2cos x-4 JI则 g(x) = 2sin2 x +工-2>/2cos x-V 4 J1=l-cos2x + y-2>/2 -cosx + -=3 + 2 sin x cos x - 2(cos x + sin x) - 5a/ 令，= cosx + sinx = VJsin x + ,'I 4 J所以 Mf) =产 _2f_5a + 2 = (f_l)2_5,所以(f)min =-5)+ 1,"-5。+ 22/(6-2)恒成立, V 4 J.一5。+ 26

31、 2。'恒成立，I 5(1 + 2 , 4J-5a + 2/2 , 1 sinx - 5。+22Z9则VI,/+1在区间1、点上单调递增，'41 >0得人一>05所以足一,.【点睛】本题考查利用定义法求函数的单调性和利用单调性求不等式的解集，考查不等式恒成立问题，还运用降器 公式、两角和与差的余弦公式、辅助角公式，考查转化思想和解题能力.20.已知函数/（工）=|4、一1|一卜+ 2|.（1）解不等式/（人）2；（2）记函数y = /（x） + 5|x+2|的最小值为k,正实数。、b满足a + 6b =',求证：行”之2G.【答案】（1） （y，一|）uG，

32、+sj；（2）见解析.【解析】【分析】（D分工这-2、-2x；、xN；三种情况解不等式/（力2,综合可得出原不等式的的解集；（2）利用绝对值三角不等式可求得函数），=/（可+ 5卜+2的最小值为 =9,进而可得出。+劭=1,再将代数式：与。+劭相乘，利用基本不等式求得& + I的最小值，进而可证得结论成立.a ba b【详解】（1）当X这一2时，由/（工）2,得 14x + x+22,即 1 3x0,解得xv；,此时xW2；133当一2cxv 时，由/。）2,得l4xx22,即5x+30,解得工一二，此时一2cxe-三；当时，由/（x）2,得4xl1一22,即3天一50,解得v2,此时

33、433综上所述，不等式仆）2的解集为-oo,-1u|,+oo（2） y = /（A-） + 5|x+2| = |4A-l| + 4|x+2| = |4.v-l| + |4x + 8|4x-l-（4x + 8）| = 9,当且仅当（4工1）（4X+8）0时取等号，所以攵=9, . + 6/2 = 1.所以 3 + 9C + , + 636 + 9 +/6之12 + 21 = 24,当且仅当.=；,即 =，b 时等号成立，所以2 + ?224.a b 212a b所以后。2粕，即后尹之2"【点睛】本题考查含绝对值不等式的求解，同时也考查了利用基本不等式证明不等式成立，涉及绝对值三角不等式

34、 的应用，考查运算求解能力，属于中等题.21 .已知公比为正数的等比数列%的前项和为工，且，4 =2, S3=1.(1)求数列%的通项公式；(2)设=("%,求数列也的前项和rn.n-2【答案】a” =(2)=6-(2 + 3)己 2 >【解析】【分析】(1)判断公比q不为1,运用等比数列的求和公式，解方程可得公比彘 进而得到所求通项公式;(1Y-1=(2/7-1)-111 ,运用数列的错位相减法求和，以及等比数列的求和公式,计算可得所求和.【详解】 解：(1)设公比q为正数的等比数列q的前项和为S“，且4=2,邑=(， 可得* = 1时，S3 = 3%=6手;,不成立；2(1

35、)13解得“二(-产),则0(=(277 1)12前项和+ 31<2+ 5-两式相减可得2;一(21)也伊一击)fiY=1 + 2；-弓，1-'2,2/ 、一1化简可得7；=6 (2 + 3)-.、2，【点睛】本题考查等比数列的通项公式和求和公式的运用，考查数列的错位相减法求和，考查方程思想和运算能力, 属于中档题.22 .已知抛物线C: )3= 4x的焦点为尸，点4(。,3),点夕为抛物线C上的动点.(1)若|尸山+ |尸产|的最小值为5,求实数。的值；(2)设线段0P的中点为M,其中。为坐标原点，若NM04 = NM4O = N4O产，求AOP4的面积.【答案】(1)。的值为一3或4. (2)他