1.点与圆的位置关系

1、课题1 点与圆的位置关系授课人教 学 目 标知识技能理解并掌握点和圆的三种位程关系及数量关系，探求过点画圆 的过程，掌握过不在同一直线上的三点画圆的方法，能画出三角形 的外接圆.数学思考经历探索点与圆的位置关系的过程，理解不在同一直线上的三 个点确定一个圆.问题解决熟练掌握点与圆的位置关系，了解三角形的外接圆和三角形外 心的槪念.情感态度通过本节知识的学习，体验点和圆的位置关系与生活中的射击、 投掷等活动紧密相连，感知数学就在身边，从而更加热爱生活，激 发学生学习数学的兴趣.教学重点理解和掌握点和圆的三种位置关系及三角形的外接圆和外心等概念.教学难点能用不同的方法判断点和圆的位置关系，会用外心

2、的性质解决有关问题.授课类型新授课课时教具多媒体课件教学步骤师生活动设计意图回顾活动创设 情境 导入 新课问题：1. 什么是圆？请举例说明圆是如何形成的？2. 画岀圆后，观察圆上各点到圆心的距离有什么关系？3. 思考：到圆心的距离大于半径的点在什么位宜？小 于半径的点呢？师生活动：学生自主回答问题，教师鼓励学生积极思考, 同时进行强调和总结.【课堂引入】我国射击运动员在奥运会等运动 会上屡次取得佳绩，被称为“梦 之队”.如图27-2-5是射击靶 的示意图，它是由许多同心圆组 成的，你知道击中靶上不同位置通过复习圆的定艾和形成过程，使学生能够明确圆上各点到圆心的距离都相等，都等于半径，为学习点和

3、圆的位置关系做好知识储备和铺垫.的成绩如何计算吗？这一现象体图27-2-5现了平而上的点与圆的位置关系，那么如何判断点与圆 的位置关系呢？师生活动：教师演示课件和图片，展示射击靶，指导学生说岀各个 成绩，继而引岀点与靶心的距离，从而得到点与圆的位 置关系.从实际问题导入新课，学生根据已有的经验易于解答问题，从而激发学生的求知欲和学习兴趣.教学活动【探究1 点与圆的位置关系厂7问题1：观察图27-2-6,说出点A, B, C与f a 、 00的位置关系？（0问题2：设OO的半径为r,说出点A, B, C与圆心0之间的距离d与半径r的关系；图27-2-6问题3：反过来，已知点P与圆心O之间的距离d

4、和圆的半径r, 能否判断点和圆的位置关系？师生活动：学生进行口答，阐述自己的想法，教师引导全班同学 发现、探究规律，继而进行总结归纳.教师板书： 点与圆的三种位置关系：点在圆上、点在圆外、点在圆内. 点到圆心的距离d与半径r之间的数量关系有三种：d>r、d= r、d<r. d>ro点在圆外：d=ro点在圆上：d<ro点在圆内.【探究2】不在同一直线上的三点确泄一个圆问题1：经过已知点A作圆，这样的圆能作出多少个？活动实践 探究 交流 新知问题2：经过已知点A, B作圆，这样的圆能作出多少个？圆心分 布有什么特点？图 27-2-7师生活动：学生动手操作，教师进行指导、帮助

5、，讨论交流后统一结论：经过平而内一个点可以作无数个圆：经过平而内两个点 可以作无数个圆，圆心都在线段的垂直平分线上.教师提岀问题：经过不在同一条直线上的三点做一个圆，如何确1 通过观察得到点 与圆的位置关系.从而能够总结出怎样经过点作圆，由实际操作到总结归纳，学生的思维得到提升.2.通过总结得出 当三个点不在同 一直线上时，可以 且只能作一个圆， 使学生进行分类 讨论，让学生亲历 知识的探究过程.立这个圆的圆心？ 师生活动：教师引导学生进行分析.如图27-2-7, A, B, C三 点不在同一条直线上，因为所求作的圆要经过A, B, C三点，所 以圆心到这三点的距离相等，因此这个点既要在线段A

6、B的垂直 平分线上，又要在线段BC的垂直平分线上.学生说明作图步骤：1 连结AB，BC； 2分别作出线段AB, BC的 垂直平分线厶和b交于点0： 3.以点0为圆心，04为半径作圆, 便可以作出经过A，B, C三点的圆.教师引导学生总结结论，从而根据图形进行讲解与拓展，并板书. 左理：不在同一条直线上的三点确左一个圆.概念：（1）经过三角形的三个顶点可以作一个圆.这个圆叫做三角 形的外接圆；(续表)(2)外接圆的圆心是三角形三条边的垂直平分线的交 点，叫做三角形的外心.思考：经过同一直线上的三点能作一个圆吗？师生活动：学生在得到结论的同时，进行证明，教师设疑， 点拨.活动 三： 开放 训练体现

7、 应用【应用举例】例 1 在 RtHABC 中，ZC=90° , BC=3cim AC=4cm, 以B为圆心，BC为半径作圆，请问点A, C与圆有什么样 的位置关系？C图 27-2-9答案：点A在圆外，点C在圆上变式训练1. 关于半径为5的圆，下列说法正确的是(C)A. 若有一点到圆心的距离为5,则该点在圆外B. 若有一点在圆外，则该点到圆心的距离不小于5C. 圆上任意两点之间的线段长度不大于10D. 圆上任意两点之间的部分可以大于102. 已知0O的直径为3 cm,点P到圆心0的距离OP=2 cm, 则点P(A)A.在00外B.在00上C.在00内D.不能确泄例2如图27-2-10

8、,某公园有一个三角形花坛，三角形 的顶点A, B, C处各有一棵古树.现决泄把原来的花坛扩 建成一个圆形花坛，要求二棵古树不能移动，且二棵古树位 于圆周上，请你只用直尺和圆规在原图上画出你所设计的圆 形花坛示意图，不写作法但保留作图痕迹.A BBCX图 27-2-10图 27-2-11解：如图27-2-11师生活动：学生自主思考、画图，并尝试写出解题过程，教 师进行指导并演示解答过程.例题将本节所学内容 与以前的知识紧密结 合，使学生很好地进 行知识的迁移，在练 习中加深对本节知识 的理解.(续表)活动 三：开放 训练 体现 应用【拓展提升】 例3 如图27-2-12,等腰三角形ABC中，AB

9、=AC=10cm, BC =12cm,求ABC的外接圆的半径.A A S 图 27-2-12图 27-2-13解：如图27-2-13,过点A作AD丄BC,垂足为D,则圆心0 定在 AD 上，BD=CD=6,所以 AD=>/02-62=&设 OA=r9 在25 RtAOBD 中，0B? = OD2+BD即 r2=(8-r)2+62,解得=丁故25 ABC外接圆的半径为亍.例4如图27-2-14,已知AD既是AABC的中线，又是角平分 线，请判断：(1) AAFC的形状，并证明你的结论：(2) AD是否过ABC外接圆的圆心0,00是否是AAFC的外接圆？A图 27-2-14解：(l)

10、zMBC是等腰三角形.证明：过点D作DE丄AB于点E, DF丄AC于点F.VAD是角平分线,:.DE=DF.又TAD是厶ABC的 中线.BD=CD在 RtABDE 与 RtACDF 中，BD=CD、DE=DF, ：RfABDE竺RrACDF, :. ZB=ZC9 :.AB=AC9 即厶ABC 是等 腰三角形.(2)AD过AABC的外接圆的圆心O, 00是AABC的外接圆. 师生活动：教师引导学生思考，求三角形的外接圆的半径，首先要 确定外接圆的圆心，即三角形的外心指导学生找出圆心，然后再运 用勾股定理进行计算.及时获知学生 对所学知识的 掌握情况，落 实本课的学习 目标.分层设 计可让不同程

11、度的同学最大 限度地发挥他 们的潜力，树 立学好教学的 信心.活动 四： 课堂 总结 反思【达标测评】1. 若0A的半径是5,圆心A的坐标是(3, 4),点P的坐标是(5,8),则点 P(A)A.在04内 B.在04上 C.在0A外D.无法确泄2. 下列图形中四个顶点在同一个圆上的是(D)A.矩形、平行四边形B.菱形、正方形C.正方形、平行四边形D.矩形、等腰梯形3. 正方形ABCD的边长为2 cm,以A为圆心，2 cm为半径作OA, 则点B在OA上；点C在0A外：点D在04上一.(续表)4如图 27-2-15.矩形 ABCD 的边 AB=3cm, aDAD=4 cm.(1) 以点A为圆心，4

12、cm为半径作OA.求点，bcG D与OA的位宜关系：图27-2-15若以点A为圆心作O儿使乩C,。三点至少有一个在圆内，至 少有一个在圆外，则OA的半径r的取值范囤.解：(1)点在圆内，点C在圆外点D在圆上(2) 3<r<55.广东一模如图 27-2-16,在梯形 ABCD 中,AD/BC. AB=AD=CD=2. ZA = ZADC, ZC=*ZA求BC的长=利用尺规作图画出BCR的外接圆，并求出外接圆的半径匚(不写作法.保留作图痕迹)解：(1)过点D作DE/AB交BC于点E . : ADBC、：四边形ABED是平行四边形, ：AD=BE=2, AB=DE/： ZA=ZADC9图

13、 27-2-16设覺达标测评的目的是使学生加深对所学知识的理解和运用，在问题的选择上以基础为主.疑难点突出，增加开放型.探究型问題，使学生思维得到拓展.能力得以提升.ZC=*ZA, /. ZC=|zADC. V ZADC+活动 四： 课堂 总结 反思ZC= 180° , AZC=60° .9：AB=DE. AB=DC9DE=DC,DEC 是等边三角形.VCD=2, :.EC=29 :.CB=4,(2)如图 27-2-17 所示DE=CE=BE=2. A0£是BCD的外接圆.且半径为2.师生活动：学生完成达标测评后，教师进行个 别提问，并指导学生解释做题理由和做题方

14、法，使学生在各自思考解答的基础上，共同交流、形成共识.确定答 案.图 27217【课堂小结】(1) 谈一谈你在本节课中有哪些收获？哪些进步？(2) 学习木节课后，还存在哪些困惑？教师总结木课时主要学习内容：点与圆的位宜关系：不在同一直线上的三个点确定一个圆布迓作业：教材刊8练习第1, 2题.【知识网络】外心三角形三条边的垂宜 平分线的交点.到三 个顶点的距离相等点与圆的位置关丞径是斜边的一半巩固、梳理所学知识.对学 生进行鼓励.进行思想教育.提纲竽领,重点突出.(续表)活动 四： 课堂 总结 反思【教学反思】 授课流程反思在创设情境环节中，通过射击这种学生常见且富有自豪感的情境 导入，使学生学

15、习的积极性大大增强，内容理解透彻，效果较好. 讲授效果反思引导学生注意以下几点：(1)对于在同一直线上的三个点不能确定 圆的解析：(2)三角形外心的位置. 师生互动反思本节课通过观察、操作、思考、解释等教学环节和活动，使学生 从中体会到了创造的乐趣和成功的喜悦. 习题反思1好题题号反思教学过程 和教师表现，进一步提升操作 流程和自身素 质.错题题号典案二 导学设计【学习目标】1. 知识技能(1) 理解点与圆的位豊关系.(2) 探索点与圆的位豊关系和点到圆心的距离与半径的数量关系，探究二者间的关系.2. 数学思考(1) 通过对具体情景的思考，得到数屋与位置的相互关系.发展初步的空间观念.(2)

16、通过学习点与圆的位置关系，发展数形结合及抽象思维能力.3. 解决问题(1) 通过寻找点和圆的位置关系的实际背景，发展学生的应用意识.(2) 让学生感受到可以用数量表示图形位巻，几何问题可以转化为代数问题，代数问题也 可以转化为几何问题，形成数形结合的意识.(3) 通过对解决问题的反思，获得对解决问题的经验.4. 情感态度(1) 通过点与圆的位程关系的探求，培养学生的合作交流意识和探索精神，让学生在探索 的学习活动中感受成功的喜悦，建立自信.(2) 经历探索点与圆的位置关系的过程，体验数学学习活动充满着探索与创造，并在学习 活动中学会与同学交流.【教学重难点】1. 重点：(1)探索并了解点与圆的

17、位宜关系.(2)掌握识别点与圆的位置关系的方法.2. 难点：(1)对点与圆的位置关系的理解.(2)灵活运用点与圆的位置关系及其判左方法.课前延伸【情境导入】我国射击运动员杜丽在雅典奥运会上获得首枚金牌，为我国贏得荣誉.你知道射击靶是 如何构成的吗？你知道击中靶上不同位置的成绩是如何计算的吗？图 27-2-18课内探究一、学生练习1. 请你在练习本上画一个圆，然后任意画一些点，观察这些点与圆的位置关系.2. 量一量这些点到圆心的距离.你发现了什么？二、探索新知点和圆的位置关系及其判泄方法：已知圆的半径为r,点到圆心的距离为d,则(1)点P在圆外o: (2)点P在圆上o: (3)点P在圆内o.三、

18、巩固新知尝试练习：已知圆的半径等于5厘米，点到圆心的距离是：8厘米：4厘米；5厘 米.请你分别说出点与圆的位置关系.四、例题精练例 1 如图 27-2-19,已知在AABC 中，ZACB=90° , AC=12, AB=13, CD丄AB 于点D,以点C为圆心，5为半径作0C,试判断A, D, B三点与0C的位置关系.例 2 如图 27-2-20,直角梯形 ABCD 中，AD/BC, AD=9, BC=15, M 为 AB 的中 点，以CD为直径画OP，当CP的长分别为何值时，(1)M在OP夕卜；(2)M在OP上；(3)M 在OP内.图 27-2-19 图 27-2-20 图 27-

19、2-21五、课堂反馈训练1. 如图 27-2-21,已知矩形 ABCD 的边 AB=3cm, AD=4 cm.(1) 以点A为圆心，4 cm为半径作OA,则点B, C, D与0A的位置关系如何？(2) 若以点A为圆心作0A,使B, C, D三点中至少有一点在圆内且至少有一点在圆外， 则0A的半径r的取值范围是什么？2. 已知00的半径为1,点P到O的距离为d,若方程H2r+d=0有实数根，试判 定点P与。0的位置关系？六、新知探究问题：圆的定义是什么？什么是圆的内部？什么是圆的外部？归纳：平而上的一个圆，把平面上的点分成三类：圆上的点，圆内的点和圆外的点.练习1.画岀由所有到已知点0的距离大于或等于2 cm并且小于或等于3 cm的点组成的 图形.练习2在00中，点M到。0的最小距离为3,最大距离是19,求0O的半径.图 27-2-22【能力提升】小组合作探究题：已知菱形ABCD的对角线为AC和BD, E, F, G, H分别是AB, BC. CD. DA的中点， 求证：E, F, G, H四个点在同一个圆上.图 27-2-23【课堂测试】1.已知00的半径为5, M为ON