2017高考一轮复习教案函数的单调性与最值

1、2017高考一轮复习教案-函数的 单调性与最值第二节函数的单调性与最值1 .函数的单调性理解函数的单调性及其几何意义.2 .函数的最值理解函数的最大值、最小值及其几何意义.mtZhHMMJinU,知识回欧知识点一函数的单调性1.单调函数的定义增函数减函数定义一般地，设函数f(x)的定义域为I.如果对 于定义域I内某个区间A上的任意两个自 变量的值X1, X2当X1<X2时,都有 f(xi)<f(X2),那么 就说函数f(x)在 区间A上是增加 的当X1<X2时,都有自左向右看图象是逐渐上升的自左向右看图象是逐渐下降的f(X1)>f(X2),那么就说函 数f(X)在区间A

2、上是减 少的2.单调区间的定义如果函数y=f(x)在区间A上是增加的或是 减少的,那么称A为单调区间.易误提醒求函数单调区间的两个注意(1)单调区间是定义域的子集，故求单调区间应树立“定义域优先”的原则.(2)单调区间只能用区间表示，不能用集合或 不等式表示；如有多个单调区间应分别写，不能 用并集符号联结，也不能用“或”联结.必记结论1.单调函数的定义有以下若干等价形式：设 xi)x2 qa, b)那么f X1 f X2>0? f(x)在a, b上是增函数；X1 X2f X1 f X2<0? f(X)在a, b上是减函数.X1 X2(Xi X2)f(Xi) f(X2)>0?

3、f(X)在a, b上是增函数;(xi X2)f(xi) f(X2)<0? f(x)在a, b上是减函数.2 .复合函数y=fg(x)的单调性规律是“同 则增，异则减"，即y= f(u)与u = g(x)若具有相 同的单调性，则y=fg(x)为增函数，若具有不 同的单调性，则y=fg(x)必为减函数.自测练习1 .下列函数中，在区间(0, +8)上单调递 减的是()A. f(x) = ： B. f(x) = (x1)2 xC. f(x) = exD. f(x)=ln(x+1)2.函数f(x)=log5(2x+1)的单调增区间是x2 ax 5,x w 13.已知函数f(x) =xx

4、>1A. (0,1)B. (0,1在R上为增函数，则a的取值范围是()A. -3,0) B. 3, 2C ( oo, 2 D . (00 , 0)知识点二函数的最值tw设函数y= f(x)的定义域为I,如果存在 实数M满足条件对于任意x G I ,都有 f(x)WM存在x0G I ,使得3)=M对于任意x G I , 都由f(x)AM 存在xoG I,使 得 f(xo)=M结论M为最大值M为最小值易误提醒在求函数的值域或最值时，易忽视定义域的限制性.必备方法求函数最值的五个常用方法(1)单调性法：先确定函数的单调性，再由单 调性求最值.(2)图象法：先作出函数的图象，再观察其最 高点、最

5、低点，求出最值.(3)换元法：对比较复杂的函数可通过换元转 化为熟悉的函数，再用相应的方法求最值.(4)基本不等式法：先对解析式变形，使之具 备“一正二定三相等”的条件后用基本不等式 求出最值.(5)导数法：先求导，然后求出在给定区间上 的极值，最后结合端点值，求出最值.自测练习一、“，1，4 .函数f(x) = Tl(x W R)的值域是()1十xC. 0,1)D. 0,15 .已知函数 f(x) = x2 + 2x( -2&x&1 且 xW Z),则f(x)的值域是()A.0,3B. -1,3C. 0,1,3 D. 1,0,3”考点研究0强考点一函数单调性的判断脑卷需题组训

6、练1 .下列四个函数中，在(0, +8)上为增函 数的是()A. f(x) = 3 x B. f(x) = x23x1C. f(x)= 一不 D. f(x)=|x| x I 1 n*里aair, it h-Biair 一'一 f, t «!) 一a:f m给出解析式函数单调性的两种判定方法i1.定义法（基本步骤为取值、作差或作商、iI;III变形、判断）.i ii: :III2.导数法（基本步骤为求定义域、求导、变|形、判断）.|考点二函数的单调区间的求法网睛累典题格法*«求下列函数的单调区间：（i）y= x2+ 2|x|+1 ；y=log2（x2-3x+2）.函数

7、单调区间的四种求法I (1)利用已知函数的单调性，即转化为已知函iiiI数的和、差或复合函数，求单调区间.I!： ； !(2)定义法：先求定义域，再利用单调性定义.IJ:1 ! 1 IIi(3)图象法：如果f(x)是以图象形式给出的，: :ii! !III或者f(x)的图象易作出，可由图象的直观性写出|ii: :iiI它的单调区间.IIIIIII! :iiI1|(4)导数法：利用导数取值的正负确定函数的|: : II! !I单调区间,I演练冲关函数y=|x|(1x)在区间A上是增函数，那B. 0, 2么区间庆是()A.（一巴 0）1C. 0, +8)D.2, +00考点三函数单调性的应用酎砂函

8、数单调性的应用比较广泛，是每年高考的 重点和热点内容.归纳起来，常见的命题探究角 度有：1 .求函数的值域或最值.2 .比较两个函数值或两个自变量的大小.3 .解函数不等式.4 .求参数的取值范围或值.探究一求函数的值域或最值1 . (2015高考浙江卷)已知函数f(x) =2 -x+ 3, x>1,x贝U f(f(-3) =, f(x)lg x2 + 1 , x<1,的最小值是.探究二比较两个函数值或两自变量的大2. 已知函数 f(x)= log2x + 1-x)若 Xi G (1,2)X2G(2, +3,则()A. f(xi)<0, f(X2)<0 B. f(xi)

9、<0, f(X2)>0C. f(xi)>0, f(X2)<0 D. f(xi)>0, f(X2)>0探究三解函数不等式3. （20i5西安一模）已知函数f（x） =x3)xW0)In x+ i)x>0)若f(2 x2)>f(x),则实数x的取值范围是（）A.(一巴一i)U(25 +00)B.(一巴2)U(i5 +00)C(T,2)D(一2,i)探究四利用单调性求参数的取值范围4. (2015江西新余期末质检)已知f(x) =2 a x+ 1 x<1 ) ax x> 1满足对任意Xi # X2)都有,那么a的取值范围是(f X1 f X

10、2 I、X1 X2 >0 成立3cc 3A. 2)2B. 1 , 2C. (1,2)D(1, +oo)函数单调性应用问题的四种类型及解题策i !略I:I(1)比较大小.比较函数值的大小，应将自变Ii I 量转化到同一个单调区间内，然后利用函数的单I调性解决.IIII(2)解不等式.在求解与抽象函数有关的不等|I式时，往往是利用函数的单调性将 f”符号脱掉，I iiI使其转化为具体的不等式求解.此时应特别注意I! I函数的定义域.I: :IIIIIIj(3)利用单调性求参数.|!B视参数为已知数，依据函数的图象或单调!II!I： ； iiI性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间IIII

11、II比较求参数；Iii! ： |需注意若函数在区间a,b上是单调的，|!Ii:I则该函数在此区间的任意子集上也是单调的. I: :!j： ： |(4)利用单调性求最值.应先确定函数的单调|iii性，然后再由单调性求出最值.III|_ ID品楞得I1.确定抽象函数的单调性以及解含f”的不等式【典例】(12分)函数f(x)对任意a, bG R, 都有 f(a+b)=f(a) + f(b)1,且当 x>0 时，有 f(x)>1.(1)求证：f(x)是R上的增函数；(2)若 f(4) = 5)解不等式 f(2t-1)-f(1+1)<2.思路点拨(1)用单调性的定义证明抽象函数的单调性

12、；(2)结合题意，将含f”的不等式 f(2t-1)-f(1 + t)<2 转化为 f(m)<f(n)的形式,再 依据单调性转化为常规不等式求解.模板形成利用函及单调性0-?定义与斯抽1两盘的单调性I根鹤条件叫一南致不等式变形或/7加八用叫.隹|T根标而叫嗝条后布面奉汨昶珞百丽道天/（演h 一川转化为常不等指二或"】”I好不等式m , H辑所求结果HapMGUMZOHG，2C1Ed画一跟踪检费？A组考点能力演练1. （2015吉林二模）下列函数中，定义域是R且为增函数的是（）A. y= e x x< 0 ) y=x2+2x10;丫:1 x>0 .B. y=xC.

13、 y= ln xD . y= |x|2. （2015河南信阳期末调研）下列四个函数：_1y=3x;y=x21 ；其中值域为R的函数有()A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 3,若函数 f(x)= x2+2ax 与函数 g(x) =2在区间1,2上都是减函数，则实数a的取值范围为()A. (0,1)U(0,1) B. (0,1)U(0,1C.(0,1) D.(0,14 ,已知函数f(x) =x2 4x+3,xW0x22x+3)x>0)不等式f(a24)>f(3a)的解集为()A. (2,6)B. (-1,4)C. (1,4)D. (-3,5)15. (2016浦东一模)如

14、果函数y=f(x)在区间I上是增函数，且函数y=曜在区间I上 x是减函数，那么称函数y=f(x)是区间I上的“缓增函数”，区间I叫作“缓增区间”.若函数f(x) = 1x2- x + 3是区间I上的“缓增函数”，则“缓 增区间” I为()A. 1, +oo) B. 0, V3C. 0,1 6.已知f(x)是定义在R上的偶函数，若对x2xi任意的 xi, x2G0, +oo)(xi#x2),有 <0,则f(3), f( 2), f(1)的大小关系为 .1, x>0,7.设函数 f(x)= 0)x=0)g(x) = x2f(x1, x<0,-1),则函数g(x)的递减区间是.8

15、. (2015长春二模)已知函数f(x)=|x + a|在 (巴1)上是单调函数，则 a的取值范围是 x9 .已知 f(x) =(x#a). x a(1)若 a= 2,试证 f(x)在(一8, 2)上单调递增；(2)若a>0且f(x)在(1, +8)上单调递减，求 a的取值范围.110 .已知函数 g(x) = Vx+ 1 5 h(x)= x I 3G( 3)a,其中a为常数且a>0)令函数f(x)= g(x) h(x)(1)求函数f(x)的表达式，并求其定义域;1-(2)当a= 1时，求函数f(x)的值域.B组高考题型专练1. (2014高考北京卷)下列函数中，在区间 (0, +

16、8)上为增函数的是()A. y= <x+ 1 B. y=(x-1)2C. y= 2 x D. y= logo.5(x+1)2.(2013高考安徽卷)“aw0”是“函数f(x) = |(ax1)x|在区间(0, +8)内单调递增”的 ()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件3. (2015高考福建卷)若函数f(x) =x + 6x w 23+logax)x>2(a>0)且a#1)的值域是4)+ 8),则实数a的取值范围是.4. (2015高考湖北卷)a为实数，函数f(x) =|x2 ax|在区间0,1上的最大值记为g(a).当a =时)g

17、(a)的值最小.1 ,1 .解析：根据函数的图象知，函数f(x) = 7在 x(0, +oo)上单调递减，故选A.答案：A2 .解析:要使y=log5(2x+1)有意义，则2x一 1+ 1>0）即 x> 5）而 y= log5u 为（0）+ 0°）上的 1 t增函数，当x> 2时，u = 2x+1也为R上的增函数，故原函数的单调增区间是1 g2 + OO .答案._1 +OO23 .解析：要使函数在R上是增函数,六1，贝第a<0,-1 - a1 50a,解得一3WaW2,即a的取值范围是 3,-2.答案：B14 .解析：因为1+x2A1,0<+ 尸1)所

18、以函数值域是(0,1,选B.答案：B5 .解析：依题意，f(-2) = f(0) = 0, f(-1)= -1, f(1)=3,因此 f(x)的值域是1,0,3,选 D.答案：D1.解析：当x>0时，f(x)=3 x为减函数;3 .当xG0)2时)f(x) = x23x为减函数)3当x7,十°°时)f(x) = x23x为增函数；-1 、当xG(0, +oo)时，f(x)= 为增函数；x+1当xq0, +-)时，f(x)= |x|为减函数.故选C.答案：C2x ,、，2.判断函数g(x) =一；在(1, +8)上的单 x 1调性.2.解：法一：定义法任取 xi, x2

19、qi, +°°),且 xi<x2,- 2xi- 2x2则 g(xi) g(x2)="；=xi 1x2i2 xi x2xi i x2 i '因为 i<xi<x2)所以 xi x2<0)(xi i)(x2i)>0)因此 g(xi) g(X2)<0,即 g(X1)<g(X2).故g(x)在(1)+ 00 )上是增函数.法二：导数法2 x 1 + 2x 2(X)= X-12= j>0'g(x)在(1, +8)上是增函数.1.解(1)由于y二片a错误!-y-2-l 0 1 2V? X即y =/ '错误!

20、画出函数图象如图所示，单调递增区间为( 8, 1和0,1,单调递减区间为1,0和1+°°).2.(2)令u = x23x + 2,则原函数可以看作y1=log2u与u = x2 3x+ 2的复合函数.令 u = x23x + 2>0)贝U x<1 或 x>2.一 1 。，函数y=log2(x23x+2)的定乂域为( 8) 1)U2, +oo).一 c一 一. 3 一一，又u = x2 3x + 2的对称轴x=2,且开口向 上.l = x2 3x+2在(8,1)上是单调减函数， 在(2, +8)上是单调增函数._1，而y= log2"在(0)+ 0

21、°)上是单调减函数)1 .y=log2(x2 3x + 2)的单调递减区间为(2,+ °°）,单调递增区间为（一°°, 1）.演练冲关口解析：y=|x|(1 v x).0 ：；1、x 1x x>0 ,12_CIx 1x x<0x2 + x x>0 )x2x x<01 o 1x 2 + 4 x>0 ,=12 1x 2 4 x<0 .画出函数的草图，如图.I，一 一 ,1由图易知原函数在0, 2上单调递增.答案：B1.解析：由题知，f(3)=1,f(1)=0,即 f(f(3)=0.又吃)在(00, 0)上单调递减

22、，在(0,1)上单调递增，在(1,也)上单调递减，在(血，+00) 上单调递增，所以 f(x)min = minf(0),f(，2) = 2V2 3.答案：0 2也3一 一1 ，2 .解析：.函数f(x)=log2x+1一在(1,+8)上为增函数，且f(2)=0,当xiqi,2)时，f(xi)<f(2) = 0,当 X242, +8)时,f(X2)>f(2)=0,即 f(X1)<0, f(X2)>0.答案：B3 .解析：,当x=0时，两个表达式对应的函数值都为零，函数的图象是一条连续的曲线., 当XW0时，函数f(x)=x3为增函数，当x>0时， f(x)= ln

23、(x+1)也是增函数)且当xi<0)X2>0时) f(xi)<f(X2),.函数f(x)是定义在R上的增函数.因 此，不等式f(2 x2)>f(x)等价于2 x2>x,即x2 + x 2<0,解得2<x<1,故选 D.答案：D4 .解析：依题意，f(x)是在R上的增函数，2 a>0,.3于是有a>1,解得3wa<2,故选2 a x 1 + Ka1.A.答案：ADSSSSSJe I 规范解答(i)证明:设xi)X2G R 且 X1<X2)则 X2 xi>0)，f(X2 Xi)>1.(2 分)根据条件等式有f(X2

24、) f(X1) = f(X2 Xi + Xi) f(X1) = f(X2 Xi) + f(Xl) 1 f(X1)=f(X2Xi) 1>0)，f(Xi)<f(X2),，f(X)是R上的增函数,(6分)(2)由 f(a+b)=f(a) + f(b)1,得 f(a+b) f(a)= f(b)T,/.f(2t-1)-f(1+t) = f(t-2)-15 (8 分) f(2t1)f(1+t)<2,即 f(t 2)1<2, f(t 2)<3.又 f(2 + 2) = f(2)+f(2)1 = 5,，f(2)=3, ，f(t 2)<3=f(2). (10 分) f（x）是

25、R上的增函数，：t2<2,，t<4,故不等式的解集为（一8,4）. （12 分）1 .解析：因为定义域是R,排除C,又是增 函数，排除A、D,所以选B.答案：B2 .解析：依题意，注意到y=3x与函数yx x< 0 ）=1的值域均是 R,函数y =xx2+ 1的值域是(0,1,函数 y=x2 + 2x-10=(x +1)2 11的值域是11, +8),因此选B.答案：B3 .解析：注意到f(x)= (xa)2+a2;依题aW 1 )意得即0<aw 1,故选D.a>0)答案：D4 .解析：作出函数f(x)的图象，如图所示， 则函数f(x)在R上是单调递减的.由f(a

26、2 4)>f(3a),可得 a2 4<3a,整理得 a2-3a-4<0, 即(a+1)(a4)<0,解得一1<a<4,所以不等式的 解集为(一1,4).答案：B1c 3一一5 .解析：因为函数f(x)=2x2 x + 2的对称轴为x=1,所以函数y=f(x)在区间1, +oo)上是增函数，又当xR1时，*=1x1+：3,令g(x) x 2 2x 13-，13x23=2x1+北1)，则 g (x)=2友=2，L f x 1由 g (x)W0 得 1WxW43,即函数二="1 x 2+自在区间1,血上单调递减，故“缓增区间” I2x 、.为1, 同答案

27、：Df x2 x16.解析：由 乂1»240)+°°)时)<0)x2x1f(x)在(0, +8)上为减函数.又 f( 2) = f(2), 1<2<3, .f(1)>f( 2)>f(3).即 f(1)>f(2)>f(3).答案：f(1)>f( 2)>f(3)7.解析x2,x>1)g(x)0, x=1,如图所示，其递减区间x2,x<1.是0,1).答案：0,1)8 .解析：因为函数f(x)在(一8, a)上是单 调函数，所以一a>-1,解得a<1.答案：( 8) 19 .解：(1)证明：任设 x<x2< 2)则 f(xi)f(X2)=X1X2一xi + 2X2+22 xi X2一.xi+ 2 X2+2.(Xl +2)(X2+2)>0)X1 X2<0)f(X1)<f(X2)f(x)在(一8, 2)上单调递增.(2)f(x)=»=xa+a = 1+-a-, xa xa xa当 a>0 时)f(x)在(一a), (a, +°°)上是减函数，又f(x)在(1)+°°)上