陕西省西安市临潼区高三数学第四次自主命题理

1、华清中学 20152016 学年度第 4 次自主命题数学（理）试题说明：测试时间：120 分钟总分： 150 分一选择题 : 本大题共12 小题，每小题5 分，共 60 分 .1. 设集合 M=，N=，则=()A . （1,1 ）B. （-1,1 ），（1,1 ）C.D.2. 设为虚数单位，则=（）A.B.C.D.3. 已知甲、乙两组数据如茎叶图所示，若它们的中位数相同，平均数也相同，则图中的的比值A.1B.C.D.4. 下列函数中，既是奇函数，又在定义域内为减函数的是（）A.B.C.D.5. 已知，满足约束条件，若的最大值为4，则的取值范围是（）A.B.C.D.6如图水平放置的正方形，在直角

2、坐标系中，点的坐标为(2,2)，则由斜二测画法画出的正方形的直观图中，顶点到轴的距离为()AB1CD27 4 位外省游客来临潼旅游，若每人只能从兵马俑、华清池、骊山中选择一处游览，则每个景点都有人去游览的概率为（）-1- / 11A.B.C.D.8.若为等差数列的前n 项和，则与的等比中项为（）A.B.C.D.9直线的倾斜角是（）A.B.C.D.10已知函数在时的切线和x 轴交于，若，则数列的前 n 项和为（）A.B.C.D.11.已知双曲线的两条渐近线与抛物线的准线分别交于点、，O为坐标原点 . 若双曲线的离心率为2，三角形 AOB的面积为，则=（）A1BC.2D.312设函数，其中为正实数

3、，若在上无最小值，且在上是单调递增函数， 则曲线与曲线在上的交点个数为（）ABC.D.二. 填空题 : 本大题共 4 小题 , 每小题 5分,共 20分 , 把答案填在答卷纸的相应位置上.13.在的展开式中含项的系数是 _. ( 用数字填写答案 )14.由曲线，直线及 y 轴所围成的封闭图形的面积为.15.已知是内一点，且. 若的面积分别是，则的最小值为.16. 公元前世纪，古希腊欧几里得在几何原本里提出：“球的体积 () 与它的直径 ()-2- / 11的立方成正比” ，此即，欧几里得未给出的值世纪日本数学家们对求球的体积的方法还不了解，他们将体积公式中的常数称为“立圆率”或“玉积率”类似地

4、，对于等边圆柱（轴截面是正方形的圆柱）、正方体也可利用公式求体积（在等边圆柱中，表示底面圆的直径；在正方体中，表示棱长）假设运用此体积公式求得球（直径为）、等边圆柱（底面圆的直径为）、正方体（棱长为）的“玉积率”分别为、，那么.三、解答题 : 共 6 小题，共70 分 .解答应写出必要的文字说明，演算步骤或证明过程.17. （本小题满分 12 分）已知向量，设函数.(1)求函数的单调递增区间；(2)在中，角的对边分别为，且满足，, 求的值 .（本小题满分12 分）为了开展全民健身运动，市体育馆面向市民全面开放，实行收费优惠，具体收费标准如下：锻炼时间不超过1 小时，免费；锻炼时间为1 小时以上

5、且不超过2 小时，收费2 元；锻炼时间为2 小时以上且不超过3 小时，收费3 元；锻炼时间超过3 小时的时段，按每小时3 元收费（不足1 小时的部分按1 小时计算） .已知甲、乙两人独立到体育馆锻炼一次，两人锻炼时间都不会超过3 小时，设甲、乙锻炼时间不超过1 小时的概率分别是0.4 和 0.5 ，锻炼时间为1 小时以上且不超过2 小时的概率分别是 0.5 和 0.3.(1) 求甲、乙两人所付费用相同的概率；(2) 设甲、乙两人所付费用之和为随机变量，求 的分布列和数学期望.，,-3- / 11（本小题满分12 分）已知椭圆经过点，离心率为，左右焦点分别为.(1) 求椭圆的方程；(2) 若直线

6、与椭圆交于两点，与以为直径的圆交于两点，且满足，求直线的方程.（本小题满分12 分）已知函数( 为自然对数的底数) ，(1)若，求证：当时，；(2)若在区间上单调递增，试求的取值范围；(3) 求证：请考生在第 (22)(23)(24)题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一个题目计分（本小题满分10 分）选修4 1：几何证明选讲如图，已知是的直径，,交于点，垂足为E，连接交于点. 求证：(1)是的切线；(2).（本小题满分10 分）选修4-4 ：坐标系与参数方程已知极坐标的极点在平面直角坐标系的原点处，极轴与轴的正半轴重合，且长度单位相同直线的极坐标方程为：，点，参数-4- / 11(1)

7、求点轨迹的直角坐标方程；(2) 求点 到直线 距离的最大值（本小题满分10 分）选修45：不等式选讲已知函数.(1)求使为常数函数的的范围；(2)当时，证明：.-5- / 11华清中学第四次自主命题理科数学参考答案一、选择题题号123456789101112答案DBDABADCBDCD二、填空题13、 -960 14、15、6 16、三、解答题17 、解： (1)单调增区间：(2).18、解：设”甲、乙付费0 元， 2 元， 3 元“分别为事件，则(1)设”甲、乙两人所付费用相同“为事件，则(2)的可能取值为0,2,3,4,5,6的分布列为023456-6- / 11P0.20.370.130

8、.150.130.0219、解： (1) 证明：设PA中点为 G，连结 EG，DG， PABE，且 PA=6， BE=3， BEAG，且 BE=AG，四边形 BEGA是平行四边形， EGAB，且 EG=AB，正方形 ABCD， CD AB， CD=AB， EGCD，且 EG=CD，四边形CDGE是平行四边形，CE DG， DG? 平面 PAD，CE?平面 PAD， CE平面 PAD(2) 如图，以 A为原点， AB为 x 轴， AD为 y 轴， AP为 z 轴，建立空间直角坐标系，则 C（ 6， 6， 0）， E（ 6，0， 3）， P（ 0， 0，6）， D（ 0， 6， 0），=（ 0，

9、6， 6），=（6， 6， 6），=（ 6， 0， 3），设平面 PCE的一个法向量为=（ x， y， z），取 z=1，得 =（ 1， 1， 2），设 PD与平面 PCE所成有为，则 sin =|cos |=， PD与平面 PCE所成角的正弦值为(3) .20、解： (1)由题设解得，-7- / 11椭圆的方程为.(2)由题设，以为直径的圆的方程为，圆心到直线的距离，由得.(*). 设，由得，.由得，解得，满足 (*).直线的方程为或.21. 解： (1) f ( x) ex1x2，记 h( x) f ( x) ex x， 2则 h ( x) ex 10( x 0) f ( x) 在(0 ，

10、 ) 上递增， f ( x) f (0) 1 0.f ( x) 在 (0 ， ) 上单调递增，故f ( x) f (0) 1.(2)( 方法 1) f ( x) ex 2kx，下面求使 f ( x) 0( x 0) 恒成立的 k 的取值范围若 k 0，显然 f ( x) 0， f ( x) 在区间 (0 ， ) 上单调递增；-8- / 11记 ( x) ex 2kx，则 ( x) ex2k，1 x0当 0 k 2时， e e 1， 2k 1， ( x) 0，则 ( x) 在 (0 ， ) 上单调递增，于是 f ( x) ( x) (0) 1 0， f ( x) 在(0 ， ) 上单调递增；1当

11、 k 2时，( x) 在 (0 ， ln 2 k) 上单调递减，在 (ln2 k， ) 上单调递增，于是 f ( x) ( x) (ln 2 k) eln 2 k 2kln 2k，ln 2 k1e由 e 2kln 2 k0得 2k 2kln 2 k0，则 2k 2.e综上， k 的取值范围为 ， 2 .x( 方法 2) f ( x) e 2kx，ex下面求使 f ( x) 0( x 0) 恒成立的 k 的取值范围即k 2x( x 0) 恒成立，ex1 ex·xex·1 1 ex（x1）记 ( x) 2x( x 0) ，则 ( x) 2·x22·x2( x

12、 0) ，() 在 (0 ， 1) 上单调递减，在 (1 ， ) 上单调递增x( x) (1) eeemin2，则 k2( x 0) k 的取值范围为，2 .x1 2(3) 由 (1) 知，对于 x (0 ， ) ，有 e 2x 1，2 x2则 ln(2 x2 2x， e 2x 1. 1)22*从而 lnn41 n2( nN ) ，于是 ln2 1 ln 2 1 ln2 1 ln2 1142434n42222 12 22 32 n22222 12 1×2 2×3 （n1）×n11111 22(1 22 3 n1 n)2 4n 4，故 1421 2421 3421

13、n421 e4( n N* ) 22 、(1) 连接 OD.-9- / 11OB=ODOBD=ODBAB=ACABC=ACBODB=ACBODAC又 DE AC ODDE既 DE是 O的切线 .(2) 连接 AD， DE AC又 AB是 O的直径， AD DC，而 DE 切 O于点 D ，=EF·BE AE· EC=EF·BE23、解：（ 1）设点 P（ x，y）， P（2cos ， 2sin +2），且参数，所以点 P 的轨迹的直角坐标方程为22x +（ y 2） =4.（ 2） =，=5，即直线 l 的直角坐标方程为由（ 1）知点 P 的轨迹方程为x2+（ y2） 2=4，是圆心为（ 0， 2），半径为2 的圆圆心到直线的距离d=4，点 P 所在的圆与直线l 相离，点 P 到直线 l 距离的最大值4+2=6. 2x， x 1，24、 (1) f(x) |x 1| |x 1