《平面向量》测试题及答案

1、学大教育平面向量测试题一、选择题B (x9)共线，则(1.若三点 P (1 , 1), A (2, -4),11A.x=-1B.x=32.与向量a=(-5,4)平行的向量是(A. (-5k,4k)b.(-、C.x=92)D.x=51?C.(-10,2)KD.(5k,4k)3,若点P分AB所成的比为则A分BP所成的比是(A. 374 ,已知向量A.60 °B.7C7Q .33b, a b=-同=10,|b|=8 ,则向量a与b的夹角为(40'C.120 °D.-120B.-60 °5.右 |a-b|= ,4120.3 ,|a|=4,|b|=5,则向量 b=(

2、A.10 3B.-10 ,3C.10.2D.106.(浙江)已知向量2= (1,2)7 .已知向量 a=(3,4),b=(2,-1)A垄B.-323,b= (2 , 3),若向量 c 满足(c + a) / b, c±(a + b),则 c=(7-7 n 77,-3,如果向量a+x)b与b垂直，则x的值为()C.2D.-58.设点P分有向线段RP2的比是入，且点P在有向线段PP2的延长线上，则入的取值范围是(9.设四边形ABCD中,A.平行四边形C.( g ,0) D.(- g，-)2有DC=-AB,且|庆口|二|8。，则这个四边形是( 2B.矩形C ,等腰梯形 D.菱形10 .将y

3、=x+2的图像C按a=(6,-2)平移后得C的解析式为(A.y=x+10B.y=x-6C.y=x+6D.y=x-10y=x2的图像，贝Ua等于()D.(2,1)，则它的第4个顶点D的坐标是(D.(a-b,b-a)11 .将函数y=x2+4x+5的图像按向量a经过一次平移后，得到A.(2,-1)B.(-2,1)C.(-2,-1)12 .已知平行四边形的3个顶点为A(a,b),B(-b,a),C(0,0)A.(2a,b)B.(a-b,a+b)C.(a+b,b-a)二、填空题13 .设向量a=(2,-1)，向量b与a共线且b与a同向， b的模为25,贝U b=14 .已知：|a|=2,|b|=.2,

4、a与b的夹角为45° ,要使入ba垂直，则入15 .已知 |a|=3,|b|=5,如果 a ZZb,贝 Uab=16 .在菱形 ABCD 中，(AB+AD) ( AB-AD) =三、解答题17 .如图，ABCD是一个梯形，ABCD且AB=2CDMN分别是DC AB的中点，已知AB =a,AD=b，试用 a、b 分别表示 DC、BC、MN1&设 a= (- 1,1), b= (4,3), c= (5, - 2),(1)求证a与b不共线，并求a与b的夹角的余弦值：(2)求c在a方向上的投影;(3)求入1和入2,使c=X£+入2b.19.设8与e?是两个单位向量，其夹角为

5、 60° ,试求向量a=2a+e2,b=3e计2e2的夹角B。20.以原点0和A (4, 2)为两个顶点作等腰直角三角形OAB / B=90，求点B的坐标和ABO21 ,已知|a| 2 ru r |b 3, a与b的夹角为60 ,u c 5a 3b：； 0 3a kb，当当实数k为何值时, (i)c/ d (2)c d22.已知 ABC顶点A (0, 0) , B (4, 8), C ( 6,4 ),点M内分AB所成的比为3, N是AC边上的一点, 且° AMN的面积等于Z.ABC面积的一半，求N点的坐标。文科数学平面向量单元练习题、选择题1.（全国I）设非零向量 输b、c

6、、满足| a| 二 | b| 二 | c|, a+ b= c,A- 150 B, 120 C则-60 D. 30r2,（四川高考）设平面向a= （3,5）, b= （- 2,1）,贝Ua- 2b等于（a, b>=(A.量3.如图,B. (7,7) C .(1,7)D. (1,3)已知AB= a , XC= BD= 3DC用b表示AD则AD等于(1A.4.b，3a+；4b B. a+ b44i A r 71931b D. a+; b443),若向量D.5.（启东）已知向量产（2, xu1)，q=3)（x,-则实数a构成的集合是（2)c满足(c+ a) b, c± (a+ b),贝

7、:U c= y73,且p _L q,若由x的值构成的集合A满足A? x| ax= 2,A. (0) B . C.6.在 ABC中，b, c分别为角A、BC的对边,3如果2b = a+ c, B= 30。J ABC的面积为？，贝U b等AB . 1+ 3C.-aD. 2-3灯塔7.（银川模拟）已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离都等于a km灯塔A在观察站C的北偏东20。，B在观察站C的南偏东40。，则灯塔A与B的距离为（2a kmA. 2a km B . a km C. 3a km D.&在4 ABC 中，若 BC= XB-BC+ SB-CA+ BC- BA WO A ABC 是(A

8、.锐角三角形9.已知等腰3 A.亍 B.B.直角三角形ABC的腰为底的2倍,C 钝角三角形D 等边三角形则顶角A的正切值是（.3 C, 8.15710.已知DABQ的边BC的中点，在a ABC所在平面内有一点P,满足PA+ BP-H 0,设里=入,|PD入的值为（A. 1)1B. 2C.2二、填空题11.设向量a= (1,2), b= (2,3),若向量入12 .（皖南八校联考）已知向量a与b的夹角为13 .已知向量 a= (tan a , 1) , b= (-J 3, 1), 14.a+ b与向量c=(-4,- 7)共线，则入_ |a|120 ,若向量c= a + b,且c _L a,则洽

9、a (0,n),且a /b,贝Va的值为（烟台模拟）轮船120。，两船的航行 n mile. （江苏高考）满足 .三、解答题A和轮船B在中午12时同时离开海港。，两船航行方向的夹角为 速度分别为25 n mile/h、15 n mile/h ,则下午2时两船之间的距离是 15.条件AB=2, AC=72BC的三角形ABC的面积的最大值是 16.设 a= （ - 1,1） , b= （4,3） , c= （5, - 2）,（1）求证a与b不共线，并求a与b的夹角的余弦值：（2）求c在a方向上的投影：17如图，已知A(2,3), W 0,1),C(3,0),点 D, E 分别在 AB, ACJt?

10、DEBC，且 DE 平分 ABQ 的面积，求点D的坐标.18. (原门模拟)已知A、B、C三点的坐标分别为A(3,0)、B(0,3)、C(cosa, sin a ), 亍，“冗若| AC = | Bq,求角a的件> >2sin a + sin2 a若AC- BC=- 1,求分的值.1 + tan an119. (南充模拟)在A ABC中，已知内角,边BC=2 3,设内角B=x,周长为y.(1)求函数y= f(x)的解析式和定义域：(2)求y的最大值及取得最大值时 ABC的形状.20. (福建高考)已知向量 m= (sin A, cos A), n= (. 3, - 1), mrn=

11、 1,且 A 为锐角.(1)求角A的大小： 求函数 f (x) = cos2x+ 4cosAsin x(x R)的值域.21 .在 ABC 中，a、b、c 分别为角 AB、C 的对边,且(a2+ b2)sin( A-B) = (aHsin C (1)若 a= 3, b= 4,求 |3落CB的值:(2)若g才, ABO的面积是.3,求BC+ BC-CA+ CAAB勺值.平面向量测试题参考答案1.B2.A 3.C4.C 5.A6.D7.D8.A9.C10.B 11.A 12.C13.(4,-2) 14.2 15.± 15 16.017.解1DC =连结AC1 /ab= AC - AD +

12、 DC k 水b+2BC = AC - AB = b+1 1 a-a= b- a- 1NM =ND + DM =NA+AD + DM = b- a,41MN =- NM = - a-bo418 .【解析】(1)- a= (- 1,1), b= (4,3),且一 1X3 工 1X4,二 a 与 b 不共线.又a b = - 1X4 + 1x3=1, |a|= '2, |b|=5,a b 110.二 <a> b> |a|b|=5： 2a *c 7(2)V a - c= 1 x 5+ 1x( 2)= 7c在a方向上的投影为 |a|-： 2(3)t c二入 ia+入 2b,2

13、3Xi=-7 (5, 2) = X 1,1) + 入 2(4,3) = (4 入 2入 1,入什 3 入 2), 4入2入1= 5入 i+ 3X2= - 2 ，解得 3 X2= 719.解/ a=2ei+e2t |a| =a=(2ei+e2)=4ei +4e - 62+62=7, > |a|= . 7。同理得|b|=- 7。又 a - b= (2ei+e2)-(3e 计 2e2,)=6e/+e l e2+2e/=-7,27cos 0 =a_b=2=- 1,八0 二120。|a |-|b| 罚V72O.解如图 8,设 B(x,y),则 OB =(x,y). AB =(x-4,y-2)o/

14、B=90 ,a OB JL AB , x(x-4)+y(y-2)=0 ,即 x2+y2=4x+2y« 设 OA的中点为 C,贝 UC(2,1), OC= (2, 1), CB =(x-2,y-1)/ ABC 为等腰直角三角形， OC JL CB, 2(x-2)+y-1=0 ,即 2x+y=5。x. 1x2 3解得、得或V 3y21 B(1,3)或 B(3"),从而 AB=(-3,1)或 AB = (-1,-3)21(1)若c/ d得k9若cd得k 522. MJ 如图 10,2914AN I .* QinBAC|AMHAN|!| AB|-| AC|-sin BAC 吩-ia

15、ci/M分AB的比为3,.1lAM I - 3 ,则由题设条件得 | AB| 41_4|AN|. |AN| 1二22 3 | AC T |AC| 3|AN |N © |AC|Xn由定比分点公式得Yn N(4,- 8)o30261 24o 2(4)文科数学平面向量单兀练习题答案一、选择题1- b【解析】T(a+b) = c,.a-b = -,学大教育cos ( a,A【解析】a >bi2,(a. b>= 120。.故选 B.a- 2b = (3.5) - 2(- 2,1)= (7,3)11.13. B【解析】AD= AB+ BD= a+3 TT31=a+ ； (AC AB

16、= a+ ； ( b a) =； a+二 b. 44441)4. D【解析】设 c = (x, y),贝 Uc+ a= (x +1, y + 2), a+ b= (3 ,/( c + a) / b, c±(a+ b), 2( y + 2) = - 3( x + 1),3 x - y= 0. 77±- x=- 9, y =- 3,故选 D.5. D【解析】/ p_L q,-2x 3(xT)= 0,即 x = 3, r. A=(3).又x|ax= 2? A x| ax= 2 = ?或3 ax= 2= 3, 2 a= 0 或 a= 3,2 实数a构成的集合为0, 3.136. B

17、 解析】 由qac sin 30 ° 得ac= 6,由余弦定理得b2= a2 + c2 - 2accosB2=(a + c) 2ac 2accos30 , 即 b2= 4 + 2 3, b= .3 + 1.7. C'【解析】如图， ABC中，加小AC= BC= a,Z ACB= 120 .： l由余弦定理，y i得 aB=aC+bC-2AC-Bos120°c( 22c2 1 02I=a + a 一 2a x ( _) = 3a , AB= -Qa.8. b【解析】/ AB- BC+ 6b- CAa Bb- BA=Bc- ( Ab+ BA + cB- CA= cB-

18、cA BC- SB- CA连 南 CA = BC- BA= 0, n / B= 2,ABC为直角三角形.9. D 【解析】 设底边长为a,则腰长为2a,4a2+ 4a2-a2 715cos a=-? sin A= .2x2 ax2 a 88 tan a=#5 ,故选 D.10. C 解析】/ PAA BF+ Sp= 0 ,即 PA- Pb+ Sp= 0,即 E6+ CP= 0 ,I PA故四边形PCAB!平行四边形，iIPD二、填空题【解析】a =(1,2), b= (2,3),学大教育 入b=(入，2入)+ (2,3)=(入+ 2,2入+ 3). 向量 入b与向量c二(一 4,一 7)共线，

19、 7(入 + 2)+ 4(2 入 + 3)= 0, 入=2.【答案】212. 【解析】由题意知ab=|a|b|cos1201=-2la|b I.又 T c JL a, ： ( a+ b) - a= 0, a + a b = 0,坦L |b|21 即 | a| =- a - b = 才 a|b | ,【答案】213.tan a【解析】Ta/ b, tan a n-/3= 0,即 3,1又 a (0 , n ), a = 3.3n【答案】y14.【解析】 如图，由题意可得OA=50, OB=30.而 AB=0A+0®2 0A OBcos120 0 =50 +30 -2X 50X 30X(

20、 -2)=2 500+900+1 500=4 900 , AB=70.【答案】7015.【解析】 设BC= x,则AC= 2x,22128 (x 12)16由三角形三边关系有,2x+x>2x+ 2> 2x解得 2 2 2<x<2 2+2.故当x= 23时，S ABC取得最大值 【答案】2、.、2三、解答题16 .【解析】(1)Ta= (- 1,1), 又 a -b = 1 X4+1 X3=1, |a| bp 勺2一 12 -2.D= (4,3),且一 网= .2,网=5,2 -cos < a,101X3, 1X4, I. a 与 b不共线.(2) T a -c =

21、 - 1X 5+1X( 2) = 7, a -c 7。在-方向上的投影为|a| 二(3兄=入ia+入2b,(5, - 2)=入,(一 1,1)+ 入 2(4,3)=(4 入 2入 1 ,入 1 + 3 入 2),23入14入2一入户5,解得3入 i+3 入 2= 2入 2= 717.【解析】要求点D坐标，关键是求得点D分AB所成比入的值，求入值可由已知条庆口£是4 ABC件Zx面积一半入手，利用三角形面积比等于三角形相似比的平方关系求得.DE/ BC ADNA ABCS ADE AD 2S ABC AB .AD2 1 AD 1由已知,有Ab = 2,即AB= 2-设点D分AB所成的比

22、为入，利用分点定义，得入=一二羽+1.j2 1得点D的横、纵坐标为x=-7= 2- 2,1 +农 + 1 v3 + *2 + 1 y= ； =3 J 2.1 + ,2 + 1 则点D坐标为(2 一 2, 3- _ 2).18.【解析】(1) AC= (cos a 3, sin a ),BC= (cos a , sin a 3)且 | AC = | BC , 2222 (cos a 3) + sin a = cos a + (sin a 3), 整理，得 sin a = cos a , tan a = 1.+ n35又 Tv a <2 n, a = n .(2) AC, BC= cos a

23、 (cos a 3) + sin a (sin a 3) = 1,-cos a 3cos a + sin a 3sin a= 1,即sin+ cos a =23,5 2si n a cos a = g22sin n + ?sin n ccs n sin a1 +=2si n a cos a =19.【解析】(1) ABC 的内角和 A+ B+ C=n,Fh A=S B>0, C>0 得 0Bv舄,应用正弦定理知AC=BCsin B= sin A2击J sin x n sin - 3=4si n x.BC2AB=.人 sin C= 4sin 匚 n x ,sin A3 y= ACA ABA BC/ y= 4sin x+ 4sin 2n-x + 2 3 0<x<? n31 v y= 4 sin x + 亍 cosx + gSjn xd今n=4 3sm4- 1 1ltii n 5但衣<x+ . <n, ckN当X+ 6= 2即x-时，y取得最大值6j3,此时 ABC为等边 三角形.20. 【解析】 由题意得n