斜率乘积为定值的问题探究(安金龙)精编版

1、斜率乘积为定值的问题探究【教学目标】会合理选择参数（坐标、斜率等）表示动态几何对象和几何量，探究、证明动态图形中的不变性质，体会“设而不求” 、“整体代换”在简化运算中作用【教学难、重点】解题思路的优化【教学过程】一基础知识、基本方法梳理问题 1已知 AB 是圆 O 的直径，点 P 是圆 O 上异于 A， B 的两点，直线PA， PB 的斜率分别为 k1， k2，则 k1. k2=.问题 2（类比迁移 1）点 P 是椭圆上 x2y21上异于长轴端点以外的任一点，A、B 是该43椭圆长轴的两个端点，直线PA, PB 的斜率分别为k1， k2，则 k1k2=.问题 3. （引申拓展1）求证：椭圆x

2、2y21( a b 0)a 2b 2yP长轴的两个端点与椭圆上除这两个顶点外的任一点连线斜率之积为b2a2yAoB x问题 4. （引申拓展 2）设 A、 B 是椭圆 x2y21(a b0) 上关于原点对称的两点，点 Pa2b2是该椭圆上不同于A， B 的任一点，直线PA， PB 的斜率分别为k1， k2，则 k1k2 是否为定值？并给予证明yBOxAP问题 5.（类比迁移 2）设 A、B是双曲线yx 2y21(a b 0) 上关于原点对称的两点，点P 是该双曲线上PBa2b2不同于 A ， B 的任一点，直线PA, PB 的斜率是 k1, k2，猜想 k1k2 是Ox否为定值？并给予证明A1

3、知识梳理：结论 1. 设 A、B 是椭圆 x2y 21(a b0)上关于原点对称的两点，点 P 是该椭圆上不同a2b2于 A， B 的任一点，直线 PA， PB 的斜率分别为k1， k2，则 k1 k2b2a2 结论 2. 设 A、B 是双曲线 x2y 21(a0,b0) 上关于原点对称的两点，点 P 是该双曲线a2b22上不同于A， B 的任一点，直线PA， PB 的斜率分别为k1， k2，则 k kb 12a2友情提醒： 以上两结论在解决填空题的时候，在你确保 结论没记错的前提下，你可任性地使用； 但：在解决解答题的时候，若要用到该结论，不可任性， 需要进行简单的证明，否则，受伤的只是你。

4、二 基础训练1. (2012 天津理x2y21(ab 0) 的左、19 改编 )设椭圆b2ya2P右顶点分别为 A, B ，点 P 在椭圆上且异于A, B 两点，若直线 AP 与1 ，则椭圆的离心率为AOB xBP 的斜率之积为.2APBPb22解析：利用 k · k a2 ，很快可以得到椭圆的离心率为2 .2. 如 图 2 ， 在 平 面 直 角 坐 标 系 xOy 中 ， F1,F2 分 别 为 椭 圆x2y 21(ab0) 的左、右焦点， B、C 分别为椭圆的上、下顶a2b2点，直线 BF 2 与椭圆的另一交点为D . 若 cos F1BF2 7 ，则直线 CD25的斜率为解析

5、 ：由已知可得 coscosFOF1 2 2cos 2OBF217，所以 cos OBF24b ，所以255a2b kCD2c 3， 又 因 为 kBDb， 且 kB D kC Db2， 所 以b2， 所 以a5cacakCDbc431 2aa552 52x221 ， 点y3. （2016 如东月考）已知椭圆 C:yP2P4P62P8P10M, M2,M 为其长轴AB的 6等分点，分别过这五点作斜率15为 k ( k0)C 于点 P1,P2,AOB x的一组平行线，交椭圆,P10 , 则这 10P1P3P5P7P91条直线AP,AP , AP的斜率的乘积为121032变式 . （吓吓你） 已知

6、椭圆 C : x2y 21，点 M1,M2, M 2017 为其长轴 AB的 2018 个等分2点，分别过这2017 个点作斜率为 k( k0) 的一组平行线， 交椭圆 C 于点 P1 ,P2 , P4034 , 则这 4034条直线 AP,AP,AP,AP, AP的斜率的乘积为123440344. （ 2011 江苏 18 改编）如图3，已知椭圆方程为x 2y 21，42y过坐标原点的直线交椭圆于P、A 两点，其中 P 在第一象限，过P 作 xP轴的垂线，垂足为C，连接 AC，并延长交椭圆于点B，设直线 PA的斜OB率为 k，对任意 k0，Cx求证： PA PBA分析： 可以转化为证明KPA

7、KPB=-1 ，注意到 KABKPB=b21图 3a2 =2法一 ：由题意设P( x0 , y0 ), A(x0 ,y0 ), B( x1 , y1 ), 则C ( x0 ,0)，A、 C、 B 三点共线，y1x0y0y1y0 , 又因为点 P、 B 在椭圆上，x02y021, x12y121 ，两式相减x12x0x1x04242得：kPBx0x1， kPAkPBy0 x0x1 ( y1y0 )( x0x1 )1， PA PB2( y0y1 )x02( y0y1 )(x1x0 )( y0y1 )法二 ：设 A( x1 , y1), B(x2 , y2 ), A,B 中点 N(x0 ,y 0 )

8、,则 P(-x1 ,y1 ),C(- x1,0) ,A、C、 B 三点共线，y2x1y2y1y1kAB , 又因为点A、 B 在椭圆上 ,x22y221, x12y121 ,x2x2x12x142423两式相减得：y01,kON kPAy0y112kAB1,ON / PB,PAPB x02kABx0x12kAB法三 ：设 P(s,t ) ，则 C( s,0) A(s,t) ， k APt ， kABkAC0tt，即 kAP2kAB ,sss2sy0ty0ty 2t 2，又因为 P(s,t ) ，B( x0 , y0 )设 B( x0 , y0 ) ，因为 k AB，kBP, 所以 k ABkB

9、P0sx0sx02s2x0在椭圆x 2y 21 上，所以s2t 21， x02y021，所以s24x02t 2y020，所以4242422k AB kBP1, 所以 1 kAPkBP1, 即 k APkBP1222方法梳理：一 . 解决直线和圆锥曲线问题的一般方法：Step 1 设（点的坐标、直线方程、曲线方程） ；Step 2 代（点的坐标代入方程，方程联立方程组代入消元） ；Step 1 化（化简方程，解方程） .二. 常用的化简策略“设而不求”，整体代换三. 解决此类问题的基本要求1、“思路清晰”，“出路通达”；2、书写规范，推算严谨。三 . 典型例题例 1.（南京市、 盐城市 2017

10、 一模改编） 已知椭圆 C 的方程 x2y21, 直线 l : ykx m ，42（ m 0）交椭圆 C 于 P, Q 两点， T 为弦 PQ 的中点， M ( 1,0), N (1,0) ，记直线 TM ,TN 的斜率分别为 k1 ,k2 ，当 2m22k21 时，求 k1 k2的值 .解：（ 1）方法一：设 P( x1 , y1 ) ， Q( x2, y2 ) ， T (x0 , y0 ) ，yx2y 21，消去 y ，得 1(k)2 x2 4kmx 2m 2 4 0Q联立 422，TykxmM ONB x因为 2m22k 21， m0，P所 以2422，0( k4 m )( 1k 2 m

11、 ) ( 2 恒 成 4立)4x1,24km， x1x24km，又 2m22k 21，所以 x1x22k，所以 x0k ，2(12k2 )12k2mmk111111y0m k，则 k1k22m2mmkk4k 24m22(2m22k 2 ).2m112mmx12y12142方 法 二 ： 设 P(x1, y1 ) ， Q(x2 , y2 ) ， T( x0 , y0 )， 则，两式作差，得x22y22142x1x 2 x 1 x 2y1 y2y y20，又x1x22，xy1 y22 y0，142x0 x1x2y0y1y20x0y0 y1y20，又 P( x1 , y1 ) ，Q( x2 , y2

12、 ) 在直线 ykxm2，x1 x22上， y1y2k ， x02ky00 ，x1x2又 T ( x0 , y0 ) 在直线 ykxm 上， y0kx0m ，2kmmy0mm由可得 x0， y01 2k2，12k 212k 2，所以 k112km2km12k 2x0112k 2y0mmk21 2k2，所以x0 12km2km11 2k212k2m2m2k1k1mm12k 22km12k 24k 2m2(12k 2 ) 24k 2 m24m42km12m2 )1 .2(2k 22例 2. （2013 苏北四市模考题改编）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，椭圆 E : x2y 21，若点 A ，

13、ByPM43分别是椭圆 E 的左、右顶点，直线l 经过点 B 且垂直于 x 轴，点 P 是椭圆上异于A ， B 的任意一点，直线AOBxAP 交 l 于点 M .ml（ 1 ）设直线OM 的斜率为k1 , 直线 BP 的斜率为5k 2 ，求证： k 1 k2 为定值；（ 2）设过点 M 垂直于 PB 的直线为 m . 求证：直线 m 过定点，并求出定点的坐标 .解（ 1）法一、设 P( x1 , y1 )( y10) ， M (2, y0 ) ，则 k1y0 ， k2y1，因为 A, P,M 三点2x1 2共线，所以y04 y1 ， 所以， k1 k2y0 y14 y12，因为 P( x1 ,

14、 y1 ) 在椭圆上，所以x122( x1 2)2( x124)23(42) ，故 k1 k24 y123为定值y14x124)22( x1法 二 、 设 P( x1 , y1 )( y10) ，因为 A( 2,0B),( 2 , 0所 以 kPAy1, kPBy1 , 所 以x12x12kP AkP By12，又因为 P( x1 , y1 ) 在椭圆上， 所以 y123(4x12 ) ，所以 kPAkPBy1243 ，x1244x124设直线 AP 的方程为 y k ( x2) ，则直线 BP 的斜率为 k23， M (2,4 k ) ，直线 OM 的斜率4k为 k2k ，所以 k1k22k

15、 (33)为定值4k2（ 2）法一、直线BP 的斜率为 k2y1，直线 m 的斜率为 km2x1, 则直线 m 的方程为x12y1yy02x1 ( x2) ， y2x1 (x2)y02 x1x2(2x1 )4 y1y1y1y1y1x122 x1x2( x124) 4y122 x12( x1 24) 12 3x122 x12 x12 x1( x1)，y1(x12) y1y1x( x1 2) y1=y1xy1=y1所以直线 m 过定点 (1,0) 法二 、由（ 1）知 kOM kBP3kOM3，所以 kOM3，又因为 kmkBP1 ，所以2km ，若记2km2直线 m 与 x 轴的交点为 E ，则

16、 tanMOB3MB3MB3OB ，又tan MEB ，即OB，所以 EB222 EBOB2 ，所以 EB3 ，所以 E 点的坐标为 (1,0) ，故直线 m 过定点 (1,0) 6例 3：已知椭圆方程C的方程为 x2y21 ， A,B 为椭圆Ny410x=-S的左、右顶点，点S 为椭圆 C 上位于 x 轴上方的动点，直线3AS,BS 与直线 x10Ax分别交于 M， N两点 .3OBM（ 1）试求线段 MN的长度的最小值；（ 2）试问：以线段 MN为直径的圆是否过定点，并证明你的结论.解：（ 1）方法一 . 由已知可得A(2,0) , B(2,0) , 设 AS 的方程为 yk( x2) ，

17、 k0，则104，联立方程组yk( x2)(12)x22x16k240，所以M (3 ,3 k)x24 y2，整理可得4 k16k428k228k24 k224k10xS， yS2)2 ，所以8k2)，设, yN ) ,14k2k(4k214kS(4k2 ,14kN(3又因为11S,B,N 三点共线，所以 BS/BN, 且BS (16k24 k2 )， BN16, 所 以12 , yN4k14k316k2164k，即4441 4k 2 yNN，所以 MNyMyNk,k 0，3 1 4k23ky33k所以 MNyM4k42448，当且仅当 4k4 ，即 k1时取等号 .yN3kk3k33333k

18、所以线段 MN的长度的最小值为8 .3方法二 .由已知可得 A(2,0) ,B(2,0) , 设AS的方程为 yk(x2) ，0，则M (014)k ，k,33由于 k kSB1, 所以 kSB1 ，所以可设 BS 的方程为 y1( x2)，则 N( 10,4)，所以44k4k33kMN4k444448k4，即 k1 时取等号 .33kk3k2 k3k，且仅当 433333k所以线段 MN的长度的最小值为8 .3（2）法一 .由（ 1）知 M(10 ,4 k) ， N (10 , 4 ) ，所以以线段MN 为直径的圆的方程为3333k( x10 2( y440，即( x10 224k4160

19、(*)，)( yk )yy()933k3333ky0x14x2当10)216时，对于任意大于0 的实数 k(*)式恒成立， 所以3 ，或( xy00y0397即以线段 MN为直径的圆是恒过定点(14,0) 和 ( 2,0) .3法二 . 假设以线段MN 为直径的圆是恒过定点Q( m, n) ，由（1 ）可得M (104,k ) ，33N( 10, 4 ) ，所以 MQNQ0,又MQ(m10 , n4 k) ， NQm16 , n4，33k3333k所以 (m10)2(n4)( n4k)0 对于任意大于0 的实数 k 都成立，33k310)2n24416n0时 (*)即 (mn(k)0(*)，当

20、(m102160式恒成立 ，所以333k93)9m14m2即以线段 MN为直径的圆是恒过定点143 ，或(,0) 和(2,0) .n03n0引申： 若直线方程变为x t,( t(,2)(2,) 时，以上问题的结果又如何呢？由已知可得A(2,0) ,B(2,0),设 AS的方程为 yk (x 2) ， k0 ，则 M (t , k (t2) ，由于kkSB1, 所以 kSB1，所以可设 BS 的方程为y1( x2) ，则 N (t,1(t2) ，所以44k4k4kMNk(t 2)1(t 2)k t 21t 2 2 k t 2t2t24 ，4k4k4k当且仅当 k t21t2 ，即 kt2时取等号

21、 .2 t24k所以线段 MN的长度的最小值为t 24 .（ 2）假设以线段 MN为直径的圆是恒过定点Q(m,n ) ，由（ 1）知 Mtkt(,()2，1(t2) ，N (t,4 k所以 MQ NQ0,又 MQ(m t, nk(t2) ， NQmt , n1 (t2)，4k所以 (mt )2 nk(t2) n1 (t2)0 对于任意大于0 的实数 k 都成立，4kt224n0即(m22nk(t2)t0 (*)，当2时 (*)式恒成立，t )n4k4(mt) 2t4048t 24t 242所以 mt2，或 mt2即以线段MN 为直径的圆是恒过定点 ( tt 4 ,0) 和n0n02(tt 24,0).2当 xt43时，以上的结论又如何？3（ 1） MN的长度的最小值为t 24(4)2423；33（ 2）当 xt4 3 时，以线段 MN为直径的圆是恒过定点( 3,0) 和 (53,0) ；33当 xt43时，以线段 MN为直径的圆是恒过定点(3,0) 和( 53,0) .四 . 课堂小结33五 . 巩固练习1. （ 2015 全国卷 2 理 20）已知椭圆 C :9 x2y 2m2 (m0)