必修五数列知识点总结精编版

1、必修五数列知识梳理1. 数列的前 n 项和与通项的公式 Sna1a2an； anS1( n1)Sn.Sn 1 (n 2)例 1. 已知下列数列 an 的前 n 项和 Sn ，分别求它们的通项公式 an . Sn2n2n；n3n1.3 S设数列 an 满足 a1 3a2 32 a3 . 3n 1 ann , n N * . ，则 an3 数列 an 中， a1a2a3ann 2 ( nN ) ，求 a3a5 的值 .已知数列an 的首项 a11 ，其前 n 项和 Sn n2 an n 1 求数列 an 的通项公式2设 Sn 、 Tn 分别是等差数列an 、 bn 的前 n 项和， Sn7n2 ，

2、则 a5.Tnn3b52.数列的单调性递增数列 : 对于任何 nN , 均有 an 1an .递减数列 : 对于任何 nN , 均有 an 1an .2010-2011 海淀区高三年级期中已知数列 an 满足： a1a2a3annan , (n1,2,3,)（ I ）求 a1, a2 ,a3 的值；1（）求证：数列 an1 是等比数列；（）令 bn(2 n)( an 1) （ n1,2,3. ），如果对任意 nN * ，都有 bn1t t 2 ，求实数 t 的4取值范围 .2. 等差数列知识点通项公式与前 n 项和公式通项公式 ana1(n 1)d ， a1 为首项， d 为公差 .前 n 项

3、和公式 Snn(a1an ) 或 Snna11 n( n1)d .22等差中项 : 如果 a, A, b 成等差数列，那么A 叫做 a 与 b 的等差中项 .即： A 是 a 与 b 的等差中项2 Aaba ， A ， b 成等差数列 .等差数列的判定方法定义法： an 1and （ n N ， d 是常数）an 是等差数列；中项法： 2an1anan2 ( nN)an 是等差数列 .anan b 一次)an是等差数列( SnAn2Bn(常数项为 0的二次 )an是等差数列等差数列的常用性质数列 an是等差数列，则数列anp 、 pa n （ p 是常数）都是等差数列；等差数列an中，等距离取

4、出若干项也构成一个等差数列，即an , an k , an 2 k , an 3 k ,为等差数列，公差为 kd . an am (n m)d ；若(, , ,q N)，则 aman ap aq ；m n p q m n p若等差数列 an的前 n 项和 Sn ，则 Sn是等差数列；n2例 2. 已知 Sn 为等差数列an 的前 n 项和， bnSn ( n N ) . 求证：数列 bn 是等差数列 .n等差数列的前 n 项和 Sn 的最值问题若 a10, dan00, Sn 有最大值，可由不等式组来确定 n ；an10若 a10, dan00, Sn 有最小值，可由不等式组来确定 n .an

5、10例 2. 已知 Sn 为数列 an 的前 n 项和， a13， Sn Sn 12an (n2) .求数列an 的通项公式；数列an 中是否存在正整数k ，使得不等式 akak 1 对任意不小于k 的正整数都成立？若存在，求最小的正整数k ，若不存在，说明理由.3. 等比数列知识点通项公式与前 n 项和公式通项公式： ana1qn 1 ， a1 为首项， q 为公比 .前 n 项和公式： 当 q1 时， Snna1当 q 1 时， Sna1 (1 q n ) a1anq .1 q1q等比中项如果 a, G, b 成等比数列，那么 G 叫做 a 与 b 的等比中项 . 即：G 是 a 与 b

6、的等，中项a ，G ， b 成等差数列G 2a b .等比数列的判定方法定义法： an 1q （ nN ， q0 是常数）an 是等比数列；an32an an 2 ( nN ) 且 an 0an 是等比数列 .中项法： an 1等比数列的常用性质数列 an 是等比数列，则数列pan 、 pa n（ q0是常数）都是等比数列；在等比数列 an中，等距离取出若干项也构成一个等比数列， 即 an , ank , an 2 k , an 3 k ,为等比数列，公比为 qk . an am qn m (n, m N )若(,q N) ，则 a aapa；m n p q m n pmnq若等比数列 an的

7、前 n 项和 Sn ，则 Sk 、 S2kSk 、 S3 k S2 k 、 S4kS3k是等比数列 .例 3. 已知 Sn 为等比数列an 前 n 项和， Sn 54 ， S2n60，则 S3n.4. 数列的通项的求法利用 观察法求数列的通项 .（n 1)利用 公式法 求数列的通项： anS1Sn；Sn 1 (n 2)应用 迭加（迭乘、迭代）法 求数列的通项： an 1 anf ( n) ； an 1 an f ( n).构造等差、等比数列求通项： an 1pa nq ； an 1 pa nqn ；an 1 anbkan 1例 4. 设数列 an 的前 n 项和为 Sn ，已知 a1a, an

8、 1Sn3n ( nN ) ，设 bnSn3n ，求数列bn 的通项公式4（宣武二模理18）设 an 是正数组成的数列，其前n 项和为 Sn ，且对于所有的正整数n , 有2Snan1(I) 求 a1 ， a 2 的值；(II) 求数列 an 的通项公式；（III ）令 b1 1， b2 ka2 k 1(1) k ， b2 k 1a2 k 3k （ k 1,2,3,），求数列 bn 的前 2n1 项和 T2n1 例 5. 已知数列an中， a12, anan 12n1( n2) ，求数列an 的通项公式；设 an 是首项为 1 的正项数列，且 (n1)an2 1nan2an 1 an0( nN

9、 ) ，则数列 an 的通项 an.例 6. 已知数列an 中， a11, an 12 an 2 ，求数列 an 的通项公式；3已知数列an 中， a11, an 13an3n ，求数列an 的通项公式 .5例 7. 数列 an 中， a1 1, an 12an(n N ) ，则 an 的通项 an.an2数列an 中， a11,anan 1an an 1 (nN ) ，则 an 的通项 an.例 8. 已知数列 an 中， a11, an 12ann ，求数列an 的通项公式 .5. 数列求和基本数列的前 n 项和n( a1an )21 n( n 1)d 等差数列 an 的前 n 项和： S

10、nna1a n22b n 等比数列an 的前 n 项和 Sn ：当 q 1 时， Snna1 ；当 q1 时， Sna1 (1qn )a1an q ；1q1q数列求和的常用方法 ：拆项分组法；裂项相消法；错位相减法；倒序相加法.例. 等差数列 an ，公差 d1 ，且 a1 a3a5a99 60 ，则 a1 a2 a3a100.2拆项分组法求和1，1 ，1， ，1 )，的前 n 项和 Sn .求数列 123(n2n24 86裂项相消法求和数列 1,1,1, ,1, 的前 n 项和 Sn2232342 3 4(k 1)求和：1111；1 32 43 5n(n 2) 求和：11112 13243.

11、n 1n倒序相加法求和北京市宣武区 20092010学年度第一学期期末质量检测已知函数 f ( x)5， m 为正整数5x5（）求 f (1) f(0) 和 f ( x) f (1x) 的值；（）若数列 an 的通项公式为 anf ( n ) （ n1,2, m ），求数列 an 的前 m 项和 Sm ；m（）设数列 bn 满足：b11 ，bn1bn2bn ，设 Tn111，若（）2b11 b2 1bn1中的 Sm 满足对任意不小于3 的正整数 n， 4Sm777Tn5 恒成立，试求 m 的最大值 .7例 9. 设 Sn 是数列 an 的前 n 项和， a11 ， Sn2an Sn1(n 2)

12、 .2求 an 的通项；Sn，求数列 bn 的前 n 项和 Tn .设 bn2n1错位相减法求和若数列 an 的通项 an(2n1)3n ，求此数列的前 n 项和 Sn .【解析】Sn1 33325 33( 2n1) 3n ，3Sn1 323335 34( 2n 1)3n 1- ，得2Sn132322 332 342 3n(2n 1) 3n 1132(3233343n ) (2n1) 3n 1(2 2n) 3n 16 .Sn(n 1)3n13 .例 10.已知 San的前n项和，a1 1n+1nn 为数列，S=4a +2.设数列 bn 中， bnan 1 2an ，求证： bn是等比数列；设数

13、列 cn 中， cnann，求证： cn是等差数列；2求数列an 的通项公式及前 n 项和 .8例 11. 设函数f ( x) 的定义域为R ，当 x0 时， f (x)1 ，且对任意的实数x, yR ，有f ( xy)f ( x) f ( y ) 求 f (0) ，判断并证明函数f ( x) 的单调性；数列an 满足 a1f ( 0) , 且 f ( an 1 )1(nN * )f ( 2an )求 an 通项公式；北京市宣武区 20092010学年度第一学期期末质量检测f (1)f (0)55551=15f (x)f (1x) =55=55 5x5 x5 51 x5 5=15 5x5 5 xf ( k )f (1k )1 (1k m1) , f ( k )f ( m k )1 ,ak am k 1,mmmmSma1a2a3am 1a m ,Smam 1am 2am 3a1am ,2(m1)12,Sm( m 1)1(m15510Smamf (1)1)422b11 , b n1 bn2b nb n ( bn1) ,n N *, bn0 .291111,111.bn 1b