恒成立与存在性问题的解题策略精编版

1、“恒成立问题 ”与 “存在性问题 ”的基本解题策略一、 “恒成立问题 ”与 “存在性问题 ”的基本类型恒成立、能成立、恰成立问题的基本类型1、恒成立问题的转化：afx 恒成立afx max ； afx恒成立afx min2、能成立问题的转化：afx 能成立afxmin ； afx 能成立afx max3 、 恰 成 立 问 题 的 转 化 ： a f x在 M上恰成立af x 的 解 集 为afx 在 M 上恒成立Ma f x 在CR M 上恒成立另一转化方法：若 x D , f ( x) A 在 D 上恰成立，等价于 f (x) 在 D 上的最小值 fmin ( x) A，若 x D , f

2、 ( x) B 在 D 上恰成立，则等价于 f ( x) 在 D 上的最大值 f max (x) B .4、设函数f x、 g x，对任意的 x1a , b ，存在 x2c , d ，使得 f x1g x2 ，则f min xgminx5 、设函数fx 、 g x，对任意的x1 a , b ，存在 x2c , d ，使得 fx1g x2，则f max xgmax x6 、 设 函 数 f x 、 g x， 存 在 x1a , b ， 存 在 x2c , d ， 使 得 f x1g x2 ， 则f max xg minx7 、 设 函 数 f x 、 g x， 存 在 x1a , b ， 存 在

3、 x2c , d ， 使 得 f x1g x2 ， 则f min xg maxx8、设函数 fx 、 gx ，对任意的 x1a , b ，存在 x2c , d ，使得 f x1g x2 ，设 f(x)在区间 a,b 上的值域为 A ， g(x) 在区间 c,d 上的值域为 B, 则 AB.9、若不等式fxg x 在区间 D 上恒成立，则等价于在区间D 上函数 yfx 和图象在函数 yg x图象上方；10、若不等式f xgx 在区间 D 上恒成立，则等价于在区间D 上函数 yf x 和图象在函数 ygx图象下方；恒成立问题的基本类型在数学问题研究中经常碰到在给定条件下某些结论恒成立的命题.函数在

4、给定区间上某结论成立问题,其表现形式通常有:在给定区间上某关系恒成立; 某函数的定义域为全体实数R; 某不等式的解为一切实数; 某表达式的值恒大于a 等等恒成立问题，涉及到一次函数、二次函数的性质、图象,渗透着换元、化归、数形结合、函数与方程等思想方法，有利于考查学生的综合解题能力，在培养思维的灵活性、创造性等方面起1到了积极的作用。因此也成为历年高考的一个热点。恒成立问题在解题过程中大致可分为以下几种类型：一次函数型；二次函数型；变量分离型；根据函数的奇偶性、周期性等性质；直接根据函数的图象。二、恒成立问题解决的基本策略大家知道，恒成立问题分等式中的恒成立问题和不等式中的恒成立问题。等式中的

5、恒成立问题，特别是多项式恒成立问题，常简化为对应次数的系数相等从而建立一个方程组来解决问题的。（一）两个基本思想解决“恒成立问题 ”思路 1、 mf ( x)在 xD 上恒成立m f ( x) max思路 2、 mf ( x)在 xD 上恒成立m f ( x) min如何在区间 D上求函数 f(x) 的最大值或者最小值问题 ,我们可以通过习题的实际,采取合理有效的方法进行求解,通常可以考虑利用函数的单调性、函数的图像、二次函数的配方法、三角函数的有界性、均值定理、函数求导等等方法求函数f（ x）的最值。这类问题在数学的学习涉及的知识比较广泛，在处理上也有许多特殊性，也是近年来高考中频频出现的试

6、题类型，希望同学们在日常学习中注意积累。（二）、赋值型 利用特殊值求解等式恒成立问题等式中的恒成立问题，常常用赋值法求解，特别是对解决填空题、选择题能很快求得.例 1 如果函数 y=f(x)=sin2x+acos2x的图象关于直线 x=对称，那么 a=（） .8A .1B .-1C . 2D.- 2.略解：取 x=0 及 x=，则 f(0)=f(),即 a=-1，故选 B.44此法体现了数学中从一般到特殊的转化思想.例（备用） 由等式 x4+a1x3+a2x2+a3x+a4= (x+1) 4+b1(x+1) 3+ b2(x+1) 2+b3(x+1)+b 4定义映射 f：(a1,a2 ,a3,a

7、4) b1+b2+b3+b4,则 f ： (4,3,2,1) ()A.10B.7C.-1D.0略解 ：取 x=0 ，则 a4=1+b 1+b2+b3+b 4,又 a4=1,所以 b1+b2+b3+b4 =0 ，故选 D（三）分清基本类型，运用相关基本知识，把握基本的解题策略1、一次函数型：若原题可化为一次函数型 ,则由数形结合思想利用一次函数知识求解,十分简捷给定一次函数y=f(x)=ax+b(a 0),若 y=f(x) 在 m,n 内恒有 f(x)>0 ，则根据函数的图象（直线）可得上述结论等价于f (m)0同理，若在 m,n 内恒有 f(x)<0 ， 则有f (m)0f (n)

8、0f (n)02yyo mxo mxnn例 2对于满足 |a| 2的所有实数a,求使不等式 x2+ax+1>2a+x 恒成立的 x 的取值范围 .分析 ：在不等式中出现了两个字母：x 及 a,关键在于该把哪个字母看成是一个变量，另一个作为常数 .显然可将 a 视作自变量，则上述问题即可转化为在-2 ，2 内关于 a 的一次函数大于 0恒成立的问题 .解：原不等式转化为(x-1)a+x 2 -2x+1>0 在 |a| 2 时恒成立 ,设 f(a)= (x-1)a+x2-2x+1, 则 f(a)在 -2,2 上恒大于 0，故有：f ( 2) 0x24x 3 0或x 3 x 1即2解得：

9、f (2) 0x1 0或1x 1 x x<-1 或 x>3. 即 x ( , 1) (3,+ )此类题本质上是利用了一次函数在区间 m,n 上的图象是一线段，故只需保证该线段两端点均在 x 轴上方（或下方）即可 .2、二次函数型涉及到二次函数的问题是复习的重点，同学们要加强学习、归纳、总结，提炼出一些具体的方法，在今后的解题中自觉运用。（1）若二次函数 y=ax2+bx+c(a 大0)于 0 恒成立，则有 a0且0（2）若是二次函数在指定区间上的恒成立问题，可以利用韦达定理以及根的分布知识求解。类型 1：设 f ( x)ax 2bxc( a0) 在 R 上恒成立，（1）（ 2）f

10、( x)0在 xR 上恒成立a0且0 ；f (x)0在 xR 上恒成立a0且0 。类型 2：设 f ( x)ax 2bxc(a0)在区间 , 上恒成立（1）当 a0 时， f ( x)0在 x, 上恒成立bbb2a或2a或 2a，f ( )00f ( )0f (x)0在 x , 上恒成立f ()0f ()03（ 2）当 a0时， f ( x)0在 x, 上恒成立f ()0f ()0f ( x)0在 x, 上恒成立bbb2a或2a或 2af ( )00f ( ) 0类型 3：设 f (x)ax 2bxc(a0) 在区间(- ,上恒成立。f(x)>0a>0 且 <0 或 -b/2

11、a>且 f()>0f(x)<0a<0 且 <0 或 -b/2a>且 f()<0类型 4：设f(x)ax2bx(a0) 在区间 ，+上恒成立。c)f(x)>0a>0,<0 或 -b/2a<且 f()>0f(x)<0a<0,<0 或 -b/2a<且 f()<0例 3 若函数 f (x)(a 21) x2(a1) x21的定义域为 R，求实数a 的取值范围 .a分析 ：该题就转化为被开方数(a 21) x2(a1) x20 在 R 上恒成立问题，并且注a1意对二次项系数的讨论.解：依题意，当xR时，

12、(a21) x 2(a 1) x20 恒成立，a12a 210,1,a1即当时， a所以，当0,a10,此时 (a21)x 2(a1) x2110, a1.aa 2当2时，即当10,时，10(a1) 24(a 21) 20aa1有 a 211a9, 综上所述， f(x) 的定义域为 R 时， a 1,9210a90,a4例 4.已知函数 f (x)x2ax3a ，在 R 上 f ( x)0 恒成立，求 a 的取值范围 .分析： yf ( x) 的函数图像都在X 轴及其上方，如右图所示：略解 ：a24 3 a a24a 12 06 a 2变式 1：若 x2,2时， f ( x)0恒成立，求 a

13、的取值范围 .解析一 . （零点分布策略 ） 本题可以考虑f(x)的零点分布情况进0a2行分类讨论，分无零点、零点在区间的左侧、零点在区间的右侧三种情况，即0或2f ( 2)0f (2)00a2或2，即 a 的取值范围为 -7， 2.f ( 2)0f (2)0解法二分析：（运用二次函数极值点的分布分类讨论）要使 x2,2时， f ( x)0 恒成立，只需 f ( x) 的最小值 g (a)0即可 .2a2略解：（分类讨论）f ( x)xaa3 ，令 f ( x) 在2,2 上的最小值为 g (a) .24当a2 ，即 a4 时， g( a) f (2)73a0a7又 Q a423a 不存在 .

14、当2a2 ，即4a 4 时，aa2a 3 06 a 2又2g (a) f ( )42Q4 a44a2 当a2， 即 a4 时 ， g( a)f (2) 7a0a7又 Q a427a4综上所述，7a2.5变式 2：若 x2,2 时， f ( x)2 恒成立，求 a 的取值范围 .解法一 ：分析：题目中要证明f ( x)2 在2,2 上恒成立，若把2 移到等号的左边，则把原题转化成左边二次函数在区间2,2 时恒大于等于0 的问题 .例 2已知 f ( x)x2ax3a ，若 x 2,2, f ( x)0 恒成立，求a 的取值范围 .略解： f ( x)x2ax3 a20 ，即 f ( x)x2ax

15、 1 a 0 在2,2 上成立 .a24 1 a 02 2 2 a2 2 2a24(1a)0f (2)0f ( 2)05a2 22aa2或22222综上所述，5a2 22 .解法二：（运用二次函数极值点的分布）当a22 ，即 a4 时， g(a) f ( 2) 7 3a 2 a5a 不4,3存在 .当2 2 2a当2a5a2 ，即4 a 4 时， g (a)aa22f ( )a 3 2 ，242 a 2224a 2222 ，即 a4时， g (a)f (2)7a 2，5a4综上所述5a222 .此题属于含参数二次函数，求最值时， 对于轴变区间定的情形，对轴与区间的位置进行分类讨论；还有与其相反

16、的，轴动区间定，方法一样.对于二次函数在R 上恒成立问题往往采用判别式法（如例4、例 5），而对于二次函数在某一区间上恒成立问题往往转化为求函数在此区间上的最值问题63、变量分离型若在等式或不等式中出现两个变量，其中一个变量的范围已知，另一个变量的范围为所求，且容易通过恒等变形将两个变量分别置于等号或不等号的两边，则可将恒成立问题转化成函数的最值问题求解。 运用不等式的相关知识不难推出如下结论：若对于 x 取值范围内的任何一个数都有 f(x)>g(a) 恒成立，则g(a)<f(x) min ;若对于 x取值范围内的任何一个数，都有f(x)<g(a) 恒成立，则 g(a)>

17、;f(x) maxmax和 f(x)min分别为 f(x) 的最大值和最小值).( 其中 f(x)例 5.已知三个不等式x24x3 0， x26x80， 2x 29x m 0 要使同时满足的所有x 的值满足，求m 的取值范围 .略解：由得 2<x<3,要使同时满足的所有x 的值满足 ,即不等式 2x 29xm0 在 x(2,3)上恒成立，即 m2x 29x在 x(2,3) 上恒成立，又 2x2 9x在 x (2,3)上大于 9，所以m9例 6.函数 f (x) 是奇函数， 且在 1,1 上单调递增， 又 f ( 1)1 ，若 f ( x) t 22at 1对所有的 a 1,1都成立

18、，求 t 的取值范围 .解： 据奇函数关于原点对称，f (1)1,又f ( x)在 1,1上单调递增 f (x) maxf (1) 1f (x)t 22at1 对所有的 a 1,1都成立 .因此，只需 t 22at1大于或等于f ( x)在 1,1上 的最大值1，t 22at 11t 22at0又对所有 a1,1都成立 ，即关于 a 的一次函数在 -1， 1上大于或等于0 恒成立，t 22t0t 22t0t2或t0或 t27即： t (,2 02,)利用变量分离解决恒成立问题，主要是要把它转化为函数的最值问题补例 已知 f (x)x | xa |b, xR 若 b0，且对任何 x0,1不等式

19、f ( x)0 恒成立，求实数 a 的取值范围解：当 x0 时， a 取任意实数，不等式f (x)0恒成立，故只需考虑 x0,1 ，此时原不等式变为| xa |bxbb即 xaxxx故 (xb )maxa( xb ) min , x0,1xb 在xb )max又函数 g(x)x0,1 上单调递增，所以( xg(1)1b ；xb , xx对于函数 h(x)x0,1xb当 b1 时，在0,1 上 h(x) 单调递减，又1b1 b，( xx)minh(1) 1b所以，此时 a 的取值范围是 (1b,1b) 当1b 0 ，在0,1上， h(x)xb2b ，xb当 xb 时，(x)min2b，此时要使a

20、 存在，x必须有 1b2b即 1b223，此时 a 的取值范围是 (1b, 2b )1b0综上，当 b1 时， a 的取值范围是(1b,1b) ；当1b2 23 时， a 的取值范围是(1 b, 2b ) ；当 22 3 b0 时， a 的取值范围是4、根据函数的奇偶性、周期性等性质若函数 f(x) 是奇 (偶)函数，则对一切定义域中的x ,f(-x)=-f(x)(f(-x)=f(x)恒成立；若函数 y=f(x) 的周期为 T，则对一切定义域中的x,f(x)=f(x+T)恒成立。85、直接根据图象判断若把等式或不等式进行合理的变形后，能非常容易地画出等号或不等号两边函数的图象，则可以通过画图直

21、接判断得出结果。尤其对于选择题、填空题这种方法更显方便、快捷。例 7. 对任意实数 x，不等式 x1 x 2a恒成立，求实数 a 的取值范围 .分 析 ： 设 y=|x+1|-|x-2|,对任意实数 x，不等式 x 1 x 2a恒成立 即 转 化 为 求 函 数y=|x+1|-|x-2| 的最小值，画出此函数的图象即可求得a 的取值范围 .解：令 y x 1 x 23x 12 x 1 1 x 23 x 2在直角坐标系中画出图象如图所示，由图象可看出，要使对任意实数 x，不等式 x 1 x2a 恒成立，a3.只需故实数 a的取值范围是（， 3）.注：本题中若将 对任意实数 x，不等式 x 1 x

22、2a恒成立，求实数 a 改为 对任意实数 x，不等式 x1x2a恒成立，求实数 a ，同样由图象可得 a>3; 对任意实数 x，不等式 x1x2a恒成立，求实数 a ,构造函数，画出图象，得 a<3.利用数形结合解决恒成立问题，应先构造函数， 作出符合已知条件的图形，再考虑在给定区间上函数与函数图象之间的关系，得出答案或列出条件，求出参数的范围.例 8. 设常数 a R,函数 f(x)=3|x|+|2x-a|,g(x)=2-x. 若函数 y=f(x) 与 y=g(x) 的图像有公共点，则a 的取值范围为。解： 1） a<=0x<=a/2<=0 时， f(x)=-3

23、x+(-2x+a)=-5x+aa/2<=x<=0 时， f(x)=-3x+(2x-a)=-x-ax>=0 时， f(x)=3x+(2x-a)=5x-a ，最小值为 -a<=2 则与 g(x) 有交点，即： -2<=a<=0 。2） a>0x<=0 时， f(x)=-3x+(-2x+a)=-5x+a0<=x<=a/2 时， f(x)=3x+(-2x+a)=x+ax>=a/2 时， f(x)=3x+(2x-a)=5x-a最小值 a<=2 时与 g(x) 有交点，即： 0<a<=29综上所述， -2<=a<

24、;=2 时 f(x)=3|x|+|2x-a| 与 g(x)=2-x 有交点。三、在恒成立问题中，主要是求参数的取值范围问题，是一种热点题型，介绍一些基本的解题策略，在学习中学会把问题分类、归类，熟练基本方法。（一）换元引参，显露问题实质1、对于所有实数x，不等式恒成立，求a 的取值范围。解：因为的值随着参数a 的变化而变化，若设，则上述问题实质是“当 t 为何值时，不等式恒成立 ”。这是我们较为熟悉的二次函数问题，它等价于求解关于t 的不等式组：。 解得，即有，易得。2、设点 P（ x，y）是圆 x2( y1) 24上任意一点，若不等式x+y+c0 恒成立，求实数c 的取值范围。（二）分离参数

25、，化归为求值域问题3、若对于任意角总有成立，求m 的范围。解：此式是可分离变量型，由原不等式得，又，则原不等式等价变形为恒成立。根据边界原理知，必须小于 f (cos2的最小值，这样问题化归为怎样求)cos2的最小值。因为cos2f ( )2cos10即时，有最小值为0，故。（三）变更主元，简化解题过程4、若对于，方程都有实根，求实根的范围。解：此题一般思路是先求出方程含参数m 的根，再由 m 的范围来确定根x 的范围， 但这样会遇到很多麻烦，若以m 为主元，则，由原方程知，得又，即解之得或。5、当 a 1 时，若不等式x 2( a6) x 9 3a 0恒成立，求 x 的取值范围。（四）图象解

26、题，形象直观6、设 x (0，4，若不等式x( 4x)ax 恒成立，求 a 的取值范围。yy2解：若设 y1x(4 x) ，则为上半圆。y 1设，为过原点，a 为斜率的直线。04x在同一坐标系内作出函数图象依题意，半圆恒在直线上方时，只有时成立，即 a 的取值范围为。7、当 x(1,2)时，不等式 (x-1)2a<log x 恒成立，求 a 的取值范围。解：设 y1=(x-1) 2 ,y2=log ax,则 y1 的图象为右图所示的抛物线要使对一切 x(1,2),y 1<y 2 恒成立，显然a>1,并且必须也只需当x=2 时 y2 的函数值大于等于y1 的函数值。故 log

27、a2>1,1<a 2.8、已知关于 x 的方程 lg(x 2+4x)-lg(2x-6a-4)=0有唯一解，求实数a 的取值范围。11分析：方程可转化成lg(x 2+4x)=lg(2x-6a-4), 从而得 x2+4x=2x-6a-4>0, 注意到若将等号两边看成是二次函数y= x 2+4x 及一次函数 y=2x-6a-4 ，则只需考虑这两个函数的图象在x 轴上方恒有唯一交点即可。解：令 y1=x 2+4x= （ x+2） 2-4,y 2=2x-6a-4,和 y在 x 轴上方y 的图象为一个定抛物线y的图象是 k=2 ，而截距不定的直线， 要使 y1212有唯一交点，则直线必须

28、位于l1 和 l2 之间。（包括l1 但不包括 l2）当直线为 l 1时，直线过点（-4，0），此时纵截距为 -8-6a-4=0,a=2;当直线为 l 2时，直线过点（0，0），纵截距为 -6a-4=0 ， a=2 a 的范围为 2, 2)33（五）合理联想，运用平几性质9、不论 k 为何实数，直线与曲线恒有交点，求 a的范围。分析：因为题设中有两个参数， 用解析几何中有交点的理论将二方程联立，用判别式来解题是比较困难的。若考虑到直线过定点A （ 0， 1），而曲线为圆 ,圆心 C（ a， 0），要使直线恒与圆有交点，那么定点A(0,1) 必在圆上或圆内。解：，C（ a， 0），当时，联想到直

29、线与圆的位置关系，则有点 A（0，1）必在圆上或圆内， 即点 A（0，1）到圆心距离不大于半径， 则有，得。（六）分类讨论，避免重复遗漏10、当时，不等式恒成立，求 x 的范围。解：使用的条件，必须将m 分离出来，此时应对进行讨论。当时，要使不等式恒成立，只要，解得。 当时，要使不等式恒成立，只要， 解 得。 当时，要使恒成立，只有。综上 得12。解法 2：可设，用一次函数知识来解较为简单。我们可以用改变主元的办法，将m 视为主变元，即将元不等式化为：(21) (2x1)0，；令m xf ( m)m(x 21)(2x1) ，则2 m 2 时， f (m)0 恒成立，所以只需f (2)0f (

30、2)即02( x21)(2x1)0，所以 x 的范围是 x(1 7,13 ) 。此类题本质上是利用了2(x 21)(2x1)022一次函数在区间 m,n 上的图象是一线段，故只需保证该线段两端点均在x 轴上方（或下方）即可 .111x3时，不等式x22ax 60恒成立，求实数a 的取值范围。、当解： ax32x当 1x3时， x3236 ，当 x3，即 x6时等号成立。2x22x故实数 a 的取值范围 : a6（七）构造函数，体现函数思想12、（ 1990 年全国高考题）设，其中 a 为实数， n为任意给定的自然数，且，如果当时有意义，求a 的取值范围。解：本题即为对于，有恒成立。这里有三种元

31、素交织在一起，结构复杂，难以下手，若考虑到求a 的范围，可先将a 分离出来，得，对于恒成立。构造函数，则问题转化为求函数在13上的值域。由于函数在上是单调增函数，则在上为单调增函数。于是有的最大值为：，从而可得。（八）利用集合与集合间的关系在给出的不等式中，若能解出已知取值范围的变量，就可利用集合与集合之间的包含关系来求解，即：m,nfa , g a，则 fam 且 ga n ，不等式的解即为实数a 的取值范围。例 13、当 x1 ,3时， log a x1 恒成立，求实数a 的取值范围。3解： Q1log a x11时， 11 ,31 , aa3（ 1）当 axa ，则问题转化为11a3a3aa3a1当 0a1时， a11131（ 2），则问题转化为0x,3a,1aa3a33a综上所得： 0 a13或 a3四、其它类型恒成立问题能成立问题有时是以不等式有解的形式出现的。1、已知函数 f (x)x 22ax 1， g( x