《新编基础物理学》5机械振动要点

1、习题五5-1有一弹簧振子，振幅 A = 2.0x10-m,周期T = 1.0s,初相3 =3n/4.试写出它的振动位移、速度和加速度方程。分析根据振动的标准形式得出振动方程，通过求导即可求解速度和加速度方程。2 二一斛：振动万程为：x = Acos，t +丁 = Acost3 二 代入有关数据得：x = 0.02 cos2 r: t ' (SI )4振子的速度和加速度分别是：3 二一v =dx/dt - -0.04 二 sin2 二 t (SI)42223'-'- -a = d x/dt =一0.08二 cos2二t (SI)45-2若简谐振动方程为 x =0.1cos

2、20m+冗/4m ,求：(1)振幅、频率、角频率、周期和初相；(2) t=2s时的位移、速度和加速度.分析 通过与简谐振动标准方程对比，得出特征参量。解：(1)可用比较法求解.根据x = Acost +中=0.1cos20nt+冗/41得：振幅 A =0.1m ,角频率 o =20nrad / s ,频率 v =6 /2n=10s ,周期 T =1/y =0.伯，中=n/4rad(2) t=2s时，振动相位为：中=20近+n/4 = (40兀+兀/4)曜由 x = Acos中,v = -Aosin中，a = A。2cos中=晨得2x = 0.0707m, - -4.44m/s,a - -279

3、m/s5-3质量为2kg的质点，按方程x =0.2sin5t /6)(SI)沿着x轴振动.求：(1) t=0时，作用于质点的力的大小；(2)作用于质点的力的最大值和此时质点的位置分析 根据振动的动力学特征和已知的简谐振动方程求解，位移最大时受力最大。解：(1)跟据 f =ma = fco2x, x=0.2sin5t(冗/6)将t=0代入上式中，得： f =5.0N(2)由f = _mco2x可知，当x = A = 0.2m时，质点受力最大，为 f =10.0N5-4为了测得一物体的质量 m,将其挂到一弹簧上并让其自由振动，测得振动频率5=1.0Hz ；而当将另一已知质量为 m'的物体单

4、独挂到该弹簧上时，测得频率为V2 = 2.0Hz.设振动均在弹簧的弹性限度内进行，求被测物体的质量分析根据简谐振动频率公式比较即可。解：由v =工 Jk/m ,对于同一弹簧(k相同)采用比较法可得：=m2-2 2 m解得：m = 4m'5-5 一放置在水平桌面上的弹簧振子，振幅 A = 2.0Ml0/m,周期 T=0.5s ,当t=0时,(1)物体在正方向端点；(2)物体在平衡位置，向负方向运动；(3)物体在x=i.0xi0'm处，向负方向运动；(4)物体在x =i.0Mi0/m处，向负方向运动.求以上各种情况的振动方程。分析根据旋转矢量图由位移和速度确定相位。进而得出各种情况

5、的振动方程。解：设所求振动方程为：x = Acost = 0.02cos4二t T由A旋转矢量图可求出:;-0, 2 h1/2, ；3 =,1/3, ；4 = 2 13A2题图5-5(1) x =0.02cos4nt(SI) (2) x = 0.02cos4 nt+(SI)22 二(3) x=0.02cos4 讨 + (SI)(4)x = 0.02cos4 nt + (SI) 335-6在一轻弹簧下悬挂 mo=100g祛码时，弹簧伸长8cm.现在这根弹簧下端悬挂 m=250g的物体，构成弹簧振子.将物体从平衡位置向下拉动4cm,并给以向上的21cm/s的初速度(令这时t=0 ).选x轴向下，求

6、振动方程.分析 在平衡位置为原点建立坐标，由初始条件得出特征参量。解：弹簧的劲度系数 k = m0g/&。当该弹簧与物体 m构成弹簧振子，起振后将作简谐振动，可设其振动方程为：x = Acos t - ''角频率为k k v k / m代入数据后求得 仍=7rad / s以平衡位置为原点建立坐标，有：x0 =0.04m, v0 = -0.21m/s据 A = 1x02 +(v0/。)2 得：A = 0.05m1 x一据邛=土cos - 得邛=±0.64rad 由于 v0 <0 ,应取邛=0.64( rad ) A于是，所求方程为：x =0.05cos(7

7、t 0.64)(m)5-7 某质点振动的x-t曲线如题图5 7所示.求：(1)质点的振动方程；(2)质点到达P点相应位置所需的最短时间.分析由旋转矢量可以得出相位和角频率，求出质点的振动方程。并根据P点的相位确定最短时间。解：()1设所求方程为：x Acos( t - ;：0)从图中可见，t=0,x0=A/2,v0 0由旋转矢量法可知；0= -三3又，t=1s,4一一二一 325 二 0 =65二,二、故：x =0.1cos( t - )m63(2)P点的相位为05 二二-.储，=tp - =0 tp =0.4s 63即质点到达P点相应状态所要的最短时间为0.4s5-8有一弹簧，当下面挂一质量

8、为m的物体时，伸长量为 9.8x10/m.若使弹簧上下振动，且规定向下为正方向.(1)当t = 0时，物体在平衡位置上方 8.0x10/m,由静止开始向下运动，求振动方程.(2)当t =0时，物体在平衡位置并以 0.6m/s的速度向上运动，求振动方程 .分析 根据初始条件求出特征量建立振动方程。解：设所求振动方程为： x = Acos( t )其中角频率co = Jk7m =，mg/m = J_g ,代入数据得：G=10rad/s ,il(1)以平衡位置为原点建立坐标，根据题意有：x0 = -0.08m,v0 = 02- 2据庆=”0 +(Vo/。)得：A = 0.08m据邛=±co

9、s ' x0得*=rad由于v0 = 0,不妨取邛=冗rad A于是，所求方程为：x1 =0.08cos(10t 二)(SI)(2)以平衡位置为原点建立坐标，根据题意有：x0 = 0,v0 =-0.6m/s据 A= Jx02 +(v0/0)2 得：A = 0.06m据邛=土cos x得*=±兀/2rad由于v0 <0 ,应取邛=n/2rad A于是，所求方程为：x2 =0.06cos(10t 二 /2)(SI)一 ,一 95-9 一质点沿x轴作简谐振动，振动方程为x=4M10 cos(2nt+)(SI),求：从t=0时刻 3起到质点位置在 x=-2cm处，且向x轴正方向

10、运动的最短时间.分析由旋转矢量图求得两点相位差，结合振动方程中特征量即可确定最短时间。解：依题意有旋转矢量图从图可见'=;：=二而.：=，.：t =2二(to -0)i=0 . ,、 ，1故所求时间为：t。二一二2s解答图5-95-10两个物体同方向作同方向、同频率、同振幅的简谐振动，在振动过程中，每当第一个物体经过位移为 A/J2的位置向平衡位置运动时，第二个物体也经过此位置，但向远离平衡位置的方向运动，试利用旋转矢量法求它们的相位差分析由旋转矢量图求解。根据运动速度的方向与位移共同确定相位。解：由于x10 =A/J2、v10 <0可求得：Q =冗/4由于 x20 = A/&l

11、t;2、v20 > 0可求得：中2 = -4 /4如图5-10所示，相位差： 中=% 92 =兀/2题图5-10题图5-115-11 简谐振动的振动曲线如题图5-11所示，求振动方程.分析 利用旋转矢量图求解，由图中两个确定点求得相位，再根据时间差求得其角频率。解：设所求方程为 x=Acos（，t:）当t=0时：x1 = -5cm, v1 < 0由a旋转矢量图可得：*m=2兀/3rad当t=2s时：从x-t图中可以看出：x2 =0,v2 >0据旋转矢量图可以看出，t金=3二/2rad所以，2秒内相位的改变量 A中=中匕周0=3冗/2 2冗/3=5n/6rad据甲=切&

12、可求出：8=A/At =5n /12rad /s 52于是：所求振动方程为：x = 0.1cos（二t 一二）（SI ）1235-12 在光滑水平面上，有一作简谐振动的弹簧振子，弹簧的劲度系数为 K,物体的质量为 m, 振幅为A.当物体通过平衡位置时，有一质量为m '的泥团竖直落到物体上并与之粘结在一起 . 求：（1） m'和m粘结后，系统的振动周期和振幅；（2）若当物体到达最大位移处，泥团竖直落到物体上，再求系统振动的周期和振幅.分析 系统周期只与系统本身有关，由质量和劲度系数即可确定周期，而振幅则由系统能量决定，因此需要由动量守恒确定碰撞前后速度，从而由机械能守恒确定其振幅

13、。解：（1）设物体通过平衡位置时的速度为v,则由机械能守恒：1212人 KKA = -mv v = A、 22. m当m'竖直落在处于平衡位置m上时为完全非弹性碰撞，且水平方向合外力为零，所以mv =（m m'）um u =vm m'此后，系统的振幅变为 A',由机械能守恒，有1212KA'2 (m m')u222系统振动的周期为： 丁=2%；虫时（2）当m在最大位移处 m竖直落在m上，碰撞前后系统在水平方向的动量均为零，因而系统的振幅仍为 A,周期为2 dmim'5-13 设细圆环的质量为 m,半径为R,挂在墙上的钉子上.求它微小振动的

14、周期分析圆环为一刚体须应用转动定律，而其受力可考虑其质心。解：如图所示，转轴o在环上，角量以逆时针为正，则振动方程为-mgR sin 二d2uJ2-解答图5-13dtd2r当环作微小摆动sin 8 % 8时，+8210=07 J =2mR2十 2二八 2RT =2 二: g514 一轻弹簧在60 N的拉力下伸长30 cm.现把质量为4 kg的物体悬挂在该弹簧的下端 并使之静止，再把物体向下拉10 cm,然后由静止释放并开始计时.求 （1）此小物体是停 在振动物体上面还是离开它？（2）物体的振动方程；（3）物体在平衡位置上方 5 cm时弹簧对物体的拉力；（4）物体从第一次越过平衡位置时刻起到它运

15、动到上方5 cm处所需要的最短时间.（5）如果使放在振动物体上的小物体与振动物体分离，则振幅A需满足何条件？二者在何位置开始分离？分析小物体分离的临界条件是对振动物体压力为零，即两物体具有相同的加速度，而小物体此时加速度为重力加速度，因此可根据两物体加速度确定分离条件。解：选平衡位置为原点，取向下为x轴正方向。由：f =kx k=- =200n /m x.=,k/m = 50 7.07rad /s(1)小物体受力如图.设小物体随振动物体的加速度为a,按牛顿第二定律有mg - N=maN =m(g - a)当N = 0，即a = g时，小物体开始脱离振动物体，已知A = 10 cm , k=20

16、0N/m,缶之7.07rad/s系统最大加速度为amax = .2 A = 5m s "2此值小于g,故小物体不会离开.(2) t =0时，x0 =10cm = Acos ,v0 =0 = - A sin解以上二式得A = 10cm =0振动方程 x=0.1cos(7.07t)(SI)(3)物体在平衡位置上方 5 cm时，弹簧对物体的拉力 22f =m(g -a)，而 a = f x =2.5m s.f =29.2N(4)设t时刻物体在平衡位置，此时 x=0,即0 = Acos t1,此时物体向上运动，VC0冗冗风=一，t1 = 0.222s。22 再设t2时物体在平衡位置上方 5c

17、m处，此时x = -5cm ,即-5=Acos匕;此时物体向上运动，v ：二02 二2 二 b = ,t2 = = 0.296s3 3 t =t2 -t1 = 0.074s(5)如使a > g，小物体能脱离振动物体，开始分离的位置由N = 0求得g = a 二 - 2x2x = -g /= -19.6cm2 .即在平衡位置上方 19.6 cm处开始分离，由amax =0 A > g ,可得2mg题图5-14题图514A>g/® =19.6cm。5-15在一平板下装有弹簧， 平板上放一质量为1.0Kg的重物.现使平板沿竖直方向作上下简谐振动，周期为 0.50s,振幅为

18、2.0x10/m,求：(1)平板到最低点时，重物对板的作用力；(2)若频率不变，则平板以多大的振幅振动时，重物会跳离平板？(3)若振幅不变，则平板以多大的频率振动时，重物会跳离平板？分析 重物跳离平板的临界条件是对平板压力为零。解：重物与平板一起在竖直方向上作简谐振动，向下为正建立坐标，振动方程为：x =0.02cos(4 二 t:)设平板对重物的作用力为N,于是重物在运动中所受合力为：f = mg - N = ma,而a = -a 2x据牛顿第三定律，重物对平板的作用力N '为：N' = -N = -m(g+切2x)(1)在最低点处：x=A,由上式得，'N'

19、=12.96N(2)频率不变时，设振幅变为 A',在最高点处(x=-A')重物与平板间作用力最小，设N' =0 可得：A' =g/co2 = 0.062m(3)振幅不变时，设频率变为 v',在最高点处(x = -A')重物与平板间作用力最小，设1 IN' =0可得：v' = 0 '/2冗=Jg/A =3.52Hz2n5-16 一物体沿x轴作简谐振动，振幅为 0.06m,周期为2.0s ,当t=0时位移为0.03m,且 向轴正方向运动，求：(1) t=0.5s时，物体的位移、速度和加速度；(2)物体从x = -0.03m处向

20、x轴负方向运动开始，到达平衡位置，至少需要多少时间？分析通过旋转矢量法确定两位置的相位从而得到最小时间。解：设该物体的振动方程为x = Acos( t -)依题意知：=2二 /T -二 rad /s, A -0.06m据 =cos】x得 =1/3(rad)A由于v0 >0,应取甲= -n/3(rad)可得：x =0.06cos(二t -二/3)(2) t = 0.5s 时，振动相位为： 中=ntn/3 = n/6rad据 x = Acos :,v - -A sin , a - - A 2 cos - - 2x得 x = 0.052m,v - -0.094m/s, a - -0.512m/

21、s2(2)由A旋转矢量图可知，物体从 x = 0.03mm处向x轴负方向运动，到达平衡位置时,A矢量转过的角度为 4=571/6,该过程所需时间为：At =4中/0 = 0.833sA'题图5-165-17地球上(设g =9.8m/s2)有一单摆，摆长为1.0m,最大摆角为 £,求：(1)摆的角频率和周期；(2)设开始时摆角最大，试写出此摆的振动方程；(3)当摆角为3 口时的角速度和摆球的线速度各为多少？分析 由摆角最大的初始条件可直接确定其初相。解：(1)6=7g"/T=3.13rad/sT=2n/s=2.01s(2)由t=0时，日=8max =5可得振动初相 中

22、=0 ,则以角量表示的振动方程为八冗=cos3.13t(SI)36冗I(3)由 8 = cos3.13t(SI)，当 8 = 3 时，有 cos*/max =0.636而质点运动的角速度为：d1/dt - - max sin - -%a、J1 -cos2 = -0.218rad /smaxmax线速度为：v = l d/dt =0.218m/s5-18 有一水平的弹簧振子，弹簧的劲度系数 K=25N/m,物体的质量m=1.0kg,物体静止在平衡位置.设以一水平向左的恒力F=10 N作用在物体上(不计一切摩擦),使之由平衡位置向左运动了 0.05m,此时撤除力F,当物体运动到最左边开始计时，求物

23、体的运动方程分析恒力做功的能量全部转化为系统能量，由能量守恒可确定系统的振幅。解：设所求方程为x = Acos（ot +甲0）K =5rad/s m因为不计摩擦，外力做的功全转变成系统的能量12 2Fx故 Fx KA A =0.2m2 K又=0,x0 - -A,. 0 =二故所求为 x =0.2cos（5t 一 ）（SI）VVXWWXH题图5-185-19如题图519所示，一质点在 x轴上作简谐振动，选取该质点向右运动通过A点时作为计时起点（t = 0 ），经过2秒后质点第一次经过 B点，再经过2秒后质点第二次经过 B点，若已知该质点在 A B两点具有相同的速率，且 AB = 10 cm求：（

24、1）质点的振动方程; （2）质点在A点处的速率.题图5-19分析 由质点在A、B两点具有相同的速率可知A、B两点在平衡位置两侧距平衡位置相等距离的位置，再联系两次经过 B点的时间即可确定系统的周期，而相位可由A B两点位置确a£o解：由旋转矢量图和vA = vB11二可知 T. 2= 4s, T =8s,=s ,- 2二' =rad s84(1)以AB的中点为坐标原点，x轴指向右方.t = 0时，x - -5cm = Acos :t = 2sM, x = 5cm = Acos(2 ) - - Asin由上二式解得tg : = 1一35因为在A点质点的速度大于零，所以3 3 3

25、或 44A = x / cos =5、2cmt 3振动万程x=5J2 M10 cos( )(SI)44(2)速率-5 .2 二 10dtsT-T)(SI)当t = 0时，质点在A点-5、.2二dt10，n()=3.93父101 s,5-20 一物体放在水平木板上，这木板以v =2Hz的频率沿水平直线作简谐振动，物体和水平木板之间的静摩擦系数Ns = 0.50,求物体在木板上不滑动时的最大振幅Amax.分析物体在木板上不滑动的临界条件是摩擦力全部用来产生其加速度。解：设物体在水平木板上不滑动，竖直方向：N-mg=0(1)水平方向：fx -ma(2)且 fx <KN(3)又有 a - - 2

26、Acos( t :)(4)由(1)(2)(3)得 amaxi：smg/mi：sg再由此式和(4)彳#Amax = Nsg/®2 = NSg/(4n2v2) =0.031m5-21在一平板上放一质量为 m = 2kg的物体，平板在竖直方向作简谐振动，其振动周期T =0.5s,振幅A = 4cm,求：(1)物体对平板的压力的表达式 .(2)平板以多大的振幅振动时，物体才能离开平板？分析 首先确定简谐振动方程，再根据物体离开平板的临界位置为最高点，且对平板压力为零。解：物体与平板一起在竖直方向上作简谐振动，向下为正建立坐标，振动方程为：x=0.04cos(4 二t )(SI)设平板对物体的

27、作用力为 N,于是物体在运动中所受合力为：f = mg - N = ma = -m 2x(1)据牛顿第三定律，物体对平板的作用力N'为：N'= -N =-m(g+«2x)即：N' - -m(g 16二 2x) - -19.6-1.28二2 cos*：t)(2)当频率不变时，设振幅变为A',在最高点处(x = -A')物体与平板间作用力最小令 N' =0可得：A'=g/02 = 0.062m5-22 一氢原子在分子中的振动可视为简谐振动.已知氢原子质量 m = 1.68黑10“7 Kg ,振动一1411_频率V =1.0黑10 H

28、z ,振幅A = 1.0乂10 m.试计算：(1)此氢原子的最大速度；(2)与此 振动相联系的能量.分析 振动能量可由其最大动能(此时势能为零)确定。解：最大振动速度：vm =Ae =2wA=6.28Ml03m/s1(2)氢原子的振动能量为：E = mvm2 =3.31父10 J25-23 物体质量为0.25Kg ,在弹性力作用下作简谐振动，弹簧的劲度系数k=25N/m,如果起始振动时具有势能 0.06J和动能0.02J ,求：振幅；(2)动能恰等于势能时的位移；(3)经过平衡位置时物体的速度 .分析 简谐振动能量守恒，其能量由振幅决定。12解：(1) E =Ek +Ep = - kA22A=

29、2(Ek Ep)/ k1/2 =0.08(m)122(2)因为 E =Ek +Ep =kA ,当 Ek =Ep时，有 2Ep = E,又因为 Ep =kx /2 2得:2x2 =A2,即x= ： A/ J2 h 0.0566(m)12(3)过平衡点时，x =0,此时动能等于总能量 E = Ek + Ep = mv22_ _1/2_ _v =2(Ek EP)/m= 0.8(m/s)5-24 一定滑轮的半径为 R,转动才M量为J,其上挂一轻绳，绳的一端系一质量为m的物体，另一端与一固定的轻弹簧相连，如题图524所示.设弹簧的劲度系数为 k,绳与滑轮间无滑动，且忽略轴的摩擦力及空气阻力.现将物体m从

30、平衡位置拉下一微小距离后放手，证明物体作简谐振动，并求出其角频率.分析由牛顿第二定律和转动定律确定其加速度与位移的关系即可得到证明。解：取如图x坐标，平衡位置为原点 O,向下为正， m在平衡位置时弓t簧已伸长 x0mg =心(1)设m在x位置，分析受力，这时弹簧伸长 x十x0题图5-24/ / y / /题图5-24T2 =k(x xo)由牛顿第二定律和转动定律列方程:mg -T1 =ma(3)T1R_T2R J(4)a - R -(5)k联立(2)(3)(4)(5) 解得 a = 2 x(J /R ) m由于x系数为一负常数，故物体做简谐振动,其角频率为 ：0 = i = J：(J /R2)

31、 m J mR215-25两个同万向的简谐振动的振动万程分别为：x1 =4父10 COS2n (t十)(SI),8八 一 2 八 ,1、，*2=3叼0 cos2n(t+ -)(SI)求：(1)合振动的振幅和初相；(2)若另有一同方向同频率 4的简谐振动x3 =5父101cos(方t+邛)(SI),则邛为多少时，x1+x3的振幅最大？邛又为多少时，x2 +x3的振幅最小？分析合振动的振幅由其分振动的相位差决定。解：(1) x = x1 +x2 = AcosQjrt + 中)按合成振动公式代入已知量，可得合振幅及初相为A - J42 32 24cos(Z /2 二 /4) 10 2=6.48 10

32、-m4sin(二 /4) 3sin(二 /2): arctg = 1.12rad4cos(二 /4) 3cos(二 /2)所以，合振动方程为 x =6.48 102cos(2;t 1.12)(SI)(2)当中-% =2kn ,即2 =2m+兀/4时，x1 +x3的振幅最大.当中% =(2k+1)n ,即5=2kn +3冗/2时，x2十x3的振幅最小.5-26有两个同方向同频率的振动，其合振动的振幅为0.2m,合振动的相位与第一个振动的相位差为冗/6,第一个振动的振幅为 0.173m,求第二个振动的振幅及两振动的相位差。分析根据已知振幅和相位可在矢量三角形中求得振幅。解：采用旋转矢量合成图求解取第一个振动的初相位为零，则合振动的相位为1 =冗/ 6据入=4+用可知A2 = A A1,如图：A = , Ai2 A2 -2AAi cos =0.1(m)H1-1-由于A、a、A的量值恰好满足勾股定理，故A1与A2垂直.即第二振动与第一振动的相位差为F =二/ 25-27 一质点同时参与两个同方向的简谐振动，其振动方程分别为_2, _2x1 =