BB74多元复合函数与隐函数求导法则ppt课件

1、主讲教师主讲教师: 王升瑞王升瑞高等数学 第二十二讲第四节一、多元复合函数求导法则一、多元复合函数求导法则三、隐函数求导公式三、隐函数求导公式多元复合函数与隐函数求导法则 第七章 二、多元复合函数的全微分二、多元复合函数的全微分一元复合函数)(),(xuufy求导法则xuuyxyddddddxxufuufyd)()(d)(d微分法则)(),(ttfz一、多元复合函数求导的链式法则一、多元复合函数求导的链式法则定理定理. 若函数若函数,)(, )(可导在点ttvtu),(vufz 处偏导数连续, ),(vu在点在点 t 可导, tvvztuuztzddddddz则复合函数且有链式法则vutt 中

2、间变量是一元函数的情形.称为全导数的导数对此式是dtdztZ若定理中 说明说明: ),(),(vuvuf在点偏导数连续减弱为偏导数连续减弱为偏导数存在偏导数存在, 则定理结论不一定成立.推广推广:1) 中间变量多于两个的情形. 例如, ),(wvufz 设下面所涉及的函数都可微 .tzdd321fff2) 中间变量是多元函数的情形.例如,),(, ),(, ),(yxvyxuvufzxz1211ff2221ffyzzzwvuvuyxyxttttuuzddtvvzddtwwzddxuuzxvvzyuuzyvvz)(, )(, )(twtvtu3) 中间变量只有一个的情形中间变量只有一个的情形例如

3、: yxuufz,zuyxxududzxzyududzyz注: 由于 ufz 是一元函数,则它对u的导数应该采用一元函数的导数记号)(ufdudz例例1. 设设 ,sintvuz.ddtzztvutttzddtevtttetcos)sin(costuuzddtvvzddtz求全导数,teu ,costv 解解:tusintcos又如,),(, ),(yxvvxfz当它们都具有可微条件时, 有xz121ffyz22 ffz xyx注意注意: 这里xzxfxz表示固定 y 对 x 求导,xf表示固定 v 对 x 求导口诀口诀 : 分段用乘, 分叉用加, 单路全导, 叉路偏导xfxvvfyvvf与不

4、同,v下列两个例题有助于),(),(),(yxvyxuvufz1),(ffvufuzuu2),(ffvufvzvv1122),(ffvufuzuuuu 21122112ffff 均连续时有和当122),(ffvufvuzuvuv 2222),(ffvufvzvvvv 212),(ffvufuvzvuvu 称为混合偏导数在计算时注意合并同类项!设设掌握这方面问题的求导技巧。常用导数符号常用导数符号例例1. 设设,sinyxvyxuvezu.,yzxz求解解:xzveusin)cos()sin(yxyxyeyxyz)cos()sin(yxyxxeyxveusinxuuzxvvzveucosyuuz

5、yvvzveucosy1 x1 zvuyxyx例例2.2.,sin,),(2222yxzezyxfuzyxyuxu,求解解:xuxezyx2(222yxyxeyxx2422sin22)sin21(2zyxyxuyuyezyx2(222yxyxeyyxy2422sin4)cossin(2xfxzzfz2yfyzzfz2)sin2yx)cos2yxxuy11f 11fyyu1f )(2yx2f z1zu2f )(2zy2121fzfyx22fzyzyyxfu,求zuyuxu,例例3例例4)(2xyxfzyzyxz2)(22xyxfxy )1(22xy)(222xyxfxy.2yxzxyz2知)(u

6、f 连续,求解解f xy2yxz2) (2xy21f 2222fxy ),(2xyxfz 22fxyyz.2yxz例例5 5求解解f 具有二阶连续偏导数,2222fxyxyz为简便起见 , 引入记号,2121vuffuff ),(1zyxzyxf例例6. 设设 f 具有二阶连续偏导数, ),(zyxzyxfw求.,2zxwxw解解: 令令,zyxvzyxuxwwvuzyxzyx),(vufw 1f 2fyz),(2zyxzyxfzy那么zxw2111 f22221211)(fyfzyxfzxyf 12f 2fy zy121 f22f 21,ffyxyx例例7 知知二阶连续可导其中gfxygyx

7、yxfZ,),(xyz2求解解:1fxyz22fyxgx1xyz2 x11fy 221fy2yx21f y gx21gxy 3111fyxf 221fy223fyx gx21gxy 31f 221fy 121fy 二、多元复合函数的全微分二、多元复合函数的全微分设函数),(, ),(, ),(yxvyxuvufz的全微分为yyzxxzzdddxxvvzxuuzd)(yyvvzyuuzd)(uzvzuz可见无论 u , v 是自变量还是中间变量, )dd(yyuxxu)dd(yyvxxv则复合函数) (fz ),(, ),(yxyxudvzvd都可微, 其全微分表达 形式都一样, 这性质叫做全微

8、分形式不变性. )cos( )sin(yxyxeyx例例 1.利用全微分形式不变性再解解解: :) (dd zuveudsin)cos()sin(yxyxyeyx)cos()sin(yxyxyexzyx)cos()sin(yxyxxeyzyx所以veusindcosvv )cos( )sin(yxyxeyx)(dyx)(dyx )cos()sin(yxyxxeyx)d(dyxxdyd)dd(yxxy,sinyxvyxuvezu.,yzxz求例例2. 设设yzxzdzyxyezx求4lncos2解法一解法一: 利用公式有利用公式有dzdxxyex)2cos(dyyyex)1sin(xyexzx2

9、cosyyeyzx1sin4lnln2cosyxyezx例例2. 设设yzxzdzyxyezx求4lncos2解法二解法二: 利用微分形式的不变性有利用微分形式的不变性有ddz )4lnln2cos(yxyexdxxyex)2cos(dyyyex)1sin(xyexzx2cosyyeyzx1sin.d,arctanzyxyxz求解解 22ddyxyxxyyxyxdyxyxzd211例例3. 知知22)()()(11yxdydxyxyxdydxyxyx本节讨论 :1) 方程在什么条件下才能确定隐函数 .例如例如, 方程方程02Cyx当 C 0 时, 不能确定隐函数;2) 在方程能确定隐函数时,

10、研究其连续性、可微性 及求导方法问题 .例例: 已知二元方程已知二元方程02 yx求y解法一解法一: 显式求导法显式求导法2xy xy2解法二解法二: 隐式求导法隐式求导法 方程两边同时对方程两边同时对x求导.0)(2 yx02 yxxy2现学习了多元函数、偏导数的概念和多元复合函数的求导法，就能给出一元隐函数的求导定理及一般求导公式。三、隐函数求导法则三、隐函数求导法则定理定理1. 1. 设函数设函数),(00yxP),(yxF;0),(00yxF则方程00),(xyxF在点单值连续函数 y = f (x) , )(00 xfy 并有连续yxFFxydd(隐函数求导公式)定理证明从略，仅就求

11、导公式推导如下： 具有连续的偏导数;的某邻域内可唯一确定一个在点的某一邻域内满足0),(00yxFy满足条件导数0)(,(xfxF两边对 x 求导0ddxyyFxFyxFFxydd0yF,0),()(所确定的隐函数为方程设yxFxfy在),(00yx的某邻域内那么解解令令那那么么,arctan)ln(21),(22xyyxyxF,),(22yxyxyxFx,),(22yxxyyxFyyxFFdxdy .yxyx已已知知 xyyxarctanln22 ，求求 dxdy. 例例1例例2. 方程方程01sinyxeyx, )(xfy 0dd,0dd22xxyxxy解解: 令令, 1sin),(yxe

12、yyxFx求,),(yeyxFxx,cos),(xyyxFy0ddxxy0 xFFyx 1xy cosyex0, 0yx可确定一个函数0dd22xxy)cos(ddxyyexx2)cos( xy 3100yyx)(yex)(cosxy )(yex) 1sin(yy1, 0, 0yyx30dd22xxy)(, 01sinxyyyxeyxyycos两边对 x 求导10 xy两边再对 x 求导yyyy cos)(sin2令 x = 0 , 注意此时1,0yy0 yxyyexxey0 yx导数的另一求法导数的另一求法 利用隐函数求导00 yx当代入导数方程得定理定理2 . 若函数 ),(000zyxP

13、),(zyxFzyzxFFyzFFxz,的某邻域内具有连续偏导数 ,则方程0),(zyxF在点),(00yx并有连续偏导数, ),(000yxfz 定一个单值连续函数 z = f (x , y) , 定理证明从略, 仅就求导公式推导如下:满足0),(000zyxF0),(000zyxFz 在点满足:某一邻域内可唯一确0),(,(yxfyxF两边对 x 求偏导xFzxFFxzzyFFyz同样可得,0),(),(所确定的隐函数是方程设zyxFyxfz那么zFxz00),(000zFzyx的某邻域内在解法一解法一利用隐函数求导公式zyexz, ,zF x y zzxye设1FxzFey 1zFyez

14、 zzxyeFFxz111zyzzFzeyFye 例例3zyexz.,yzxz求yxzz,是由方程所确定，例例3zyexz.,yzxz求解法二解法二: 利用微分形式的不变性有利用微分形式的不变性有zyexddzdzyeydexdzzdzyez)1 ( ydexdzdzydyeexdyezzz111zyexz11zzyeeyz1yxzz,是由方程所确定，例例4: 设设zyyxzln2解解: 利用微分形式的不变性有利用微分形式的不变性有zyyxddzlnln2xydx2dyyxxdyxdzz)1(2)11 (2zzyxxz12)1(212dyyxxdyxzzdzzyxzyz1)1(2)1 () 1

15、(2zyyxzdyyx)1(2dzz1yxzz,是由方程yzxzdz求所确定，例例5. 设设,04222zzyx解法解法1 利用隐函数求导利用隐函数求导0422xzxzzxzxz2 22zxxz21 22zzx2220zx2)(1xz322)2()2(zxz.22xz求再对 x 求导yxzz,是由方程所确定，2()zx2解法解法2 利用公式利用公式设zzyxzyxF4),(222那么,2xFxzxFFxz两边对 x 求偏导)2(22zxxxz2)2()2(zxzxz322)2()2(zxz2zxzx242 zFz例例5. 设设,04222zzyx.22xz求yxzz,是由方程所确定，内容小结内容小结1. 复合函数求导的链式法则“分段用乘, 分叉用加, 单路全导, 叉路偏导”例如例如, ),(, ),(yxvvyxfu