大学物理用旋转矢量表示谐振动

1、大学物理大学物理 用旋转矢量表示谐振动用旋转矢量表示谐振动tx图图tv图图ta图图TAA2A2AxvatttAAoooTT)sin(tAv)cos(2tAa)tcos(A)t (x 3求悬挂弹簧振子的势能xoABX0l0若以平衡位置（0）为弹性势能和重力势能零点mgxkxkxkxxkxmgxkxxxkEEEPPBP20200220202121212121）（重弹则B点处：mgxEp重2020002121)(kxxxkdxxxkExp）（弹又0kxmg 221kxEEEppBP重弹4、地面、kJm守恒E常量222212121kxJmv常量22221)(21kxvRJm两边对时间求导得：0)(2d

2、tdxkxdtdvvRJm0)(222kxdtxdRJm02222xJmRkRdtxd谐振动谐振动2mRJkR其中：x x任意位置(X)处xo（平衡位置：势能零点）R,Jmx已知：初态时弹簧处于原长已知：初态时弹簧处于原长试证明：物块作谐振动试证明：物块作谐振动.例例k5解：解：（1）分析：平衡位置处）分析：平衡位置处v=vm，且是且是m1、m2分离处分离处2212)(2121mvmmkb2212121kAvmmmA1 . 0 时间。簧压缩到最大时所需的从释放后到再一次将弹）（，作谐振动的振幅分离后，与）求（后由静止释放。现将弹簧压缩，（与弹簧固接）已知：例1112212120. 025,0

3、. 30 . 1mAmmmmbmNkkgmkgmm1m2光滑6214341TTt54222111mmkT5222122mkTst57. 1m1m2光滑放有物体的平台，以每秒放有物体的平台，以每秒5周的频率沿竖直方向作简周的频率沿竖直方向作简谐振动，当平台振幅达到多少时，物体将脱离平台？谐振动，当平台振幅达到多少时，物体将脱离平台？2 Aagmax2542gA 8 例题例题4-34-3两根两根弹簧弹簧( (弹性系数分别为弹性系数分别为k k1 1,k,k2 2自然长自然长度均为度均为l0) )与物体与物体m m连接后作连接后作A A0 0的谐振的谐振. .当当m m运动到两运动到两弹簧处于自然长

4、度时弹簧处于自然长度时, ,水平速度为水平速度为0 0的质点的质点m m0 0轻粘在轻粘在m m上上, ,求：求：m m0 0粘上后振动系统周期和振幅粘上后振动系统周期和振幅k1k2m mm02l0v0 0 0解解: :设设m0与与m一起偏离平衡位置一起偏离平衡位置x22021)()(dtxdmmxkkxMKxmmkkdtxd)(021222102kkmmT则：021mmMkkK9vmmmv)(00mkkAAv210000021mmkkAAv00AmmmAk1k2m mm02l0v0 0 0k1k2m mm02l0v 粘接过程粘接过程粘接前粘接前20210)(21AkkE2021mv粘接后粘接

5、后221)(21AkkE2021vmm)(由谐振能量求解由谐振能量求解00AmmmA10分振动分振动x1=A1cos( t+ 1)x2=A2cos( t+ 2)a)解析法解析法ttt sinsincoscos)cos(111 ttt sinsincoscos)cos(222 tAAtAAx sin)sinsin(cos)coscos(22112211 cosA sinAtAtAx sinsincoscos )cos( tA合振动是简谐振动合振动是简谐振动, 其频率仍为其频率仍为 合振动合振动 ?21xxx 4-2 谐振动的合成谐振动的合成一、两同方向、同频率谐振动的合成一、两同方向、同频率谐振

6、动的合成11)cos(212212221 AAAAA22112211coscossinsintg AAAA b)旋转矢量法旋转矢量法21AAA x = x1+ x2)cos( tAxx2xO AM1 1AM12 2AM2 xNx1RRNORPNMPONMN tg 1202122212180cos2 AAAAA12讨论讨论相位差对合振动相位差对合振动起重要作用！起重要作用！1) 两分振动同相：两分振动同相：, 2, 1, 0,212 kk 1)cos(12 max212122212AAAAAAAA 振动加强振动加强若若21AA 12AA 则则2) 两分振动反相：两分振动反相：, 2, 1, 0,

7、)12(12 kk 1)cos(12 min212122212AAAAAAAA 振动减弱振动减弱若若21AA 0 A则则质点静止质点静止3), 2, 1, 0,12 kk maxminAAA 2121AAAAA )cos(212212221 AAAAA13 例题例题4-64-6两同频率谐振动曲线如图所示两同频率谐振动曲线如图所示, , 求：它们合振动方程求：它们合振动方程t (s)x(cm)Ox1x20.050.1-5-55 5)2/20cos(51tx)20cos(52tx解解: :由由谐振曲线图知谐振曲线图知: :A=5cm, T=0.1sA=5cm, T=0.1s212利用矢量图求谐振合

8、成利用矢量图求谐振合成xOA1A2AcmA255 5 /4 /443cmtxxx)4/320cos(252114解(1).0t010 x001v210t)(020向正方向且将增大v2)2(23)2(:12或则合求曲线如图所示的及振动曲线的振动同频率的简谐振动两同方向例Atvtx)2() 1 ( :.21,: 12x101（cm）t2120t）（scmv15?)2(合A222T12A)(12212221cos2AAAAA212cmA22max2Av120t）（scmv101（cm）t211A16 二、二、 同方向不同频率谐振动的合成同方向不同频率谐振动的合成 拍拍1、一般情况一般情况合成后的振动

9、不再是谐振动，而是比较复杂的周期运动。合成后的振动不再是谐振动，而是比较复杂的周期运动。)cos(11tAx)cos(22tAx21xxx2、特殊情况特殊情况(1 2）拍现象拍现象（2）单位时间内振动加强或减弱的次数（拍频）单位时间内振动加强或减弱的次数（拍频） = = 2 - - 1（1）合振动的振幅随时间发生周期性变化。合振动的振幅随时间发生周期性变化。)2cos()2cos2(1212ttAx)2cos(12tA17= 2txtx2=218tx1=1610.25s0.75s0.50s0 s18三、两互相垂直谐振动的合成三、两互相垂直谐振动的合成1 1、同频率谐振动的合成、同频率谐振动的合

10、成)cos()cos(2211tAytAx合振动的轨迹方程合振动的轨迹方程)(sin)cos()( 2)()(12212212221AAxyAyAx0112）讨论：（0)(2)()(212221AAxyAyAxxAAy12A1A2xy0）（1220)(2)()(212221AAxyAyAxxAAy12xy019运行方向：运行方向：逆时针逆时针）分振动滞后）（2(2412y）分振动超前）（2(2312y1)()(2221AyAxxyA1A2运行方向：运行方向：顺时针顺时针其它值）（1259 94454347432)(sin)cos()( 2)()(12212212221AAxyAyAx20（1）李萨如图：由成（简单）整数比的两个垂直方向）李萨如图：由成（简单）整数比的两个垂直方向的谐振合成而形成封闭、稳定的曲线的谐振合成而形成封闭、稳定的曲线1：21：32：32 2、不同频率谐振动的合成、不同频率谐振动的合成214