第五讲定积分内容提要与典型例题ppt课件

1、第五讲第五讲 定积分定积分内容提要与典型例题内容提要与典型例题一、主要内容一、主要内容问题问题1:1:曲边梯形的面积曲边梯形的面积问题问题2:2:变速直线运动的路程变速直线运动的路程定积分定积分存在定理存在定理反常积分反常积分定积分定积分的性质的性质牛顿牛顿- -莱布尼茨公式莱布尼茨公式)()()(aFbFdxxfba 定积分的定积分的计算法计算法二、内容提要 1 定积分的定义定积分的定义定义的本质定义的本质 几何意义几何意义 物理意义物理意义2 可积和可积和 可积的两个充分条件可积的两个充分条件3 定积分的性质定积分的性质线性性线性性 badxxgxf)()( badxxf)( badxxg

2、)(可加性可加性 badxxf)( bccadxxfdxxf)()(若若0)( xf， 则则0)( dxxfba )(ba 非负性非负性比较定理比较定理 若若)()(xgxf ， 则则dxxfba )( dxxgba )( )(ba 估值定理估值定理 )(xf在在区区间间, ba 上上的的最最大大值值及及最最小小值值， )()()(abMdxxfabmba . 积分中值定理积分中值定理如如果果函函数数)(xf在在闭闭区区间间, ba上上连连续续， 使使dxxfba )()(abf )(ba 积分中值公式积分中值公式假设假设M 和和 m 是是积分上限函数及其导数积分上限函数及其导数 如如果果)(

3、xf在在,ba上上连连续续，则则积积分分上上限限的的函函数数dttfxxa )()(在在,ba上上具具有有导导数数，且且它它的的导导数数是是 )()()(xfdttfdxdxxa )(bxa 如果如果)(xf在在,ba上连续，则积分上限的函数上连续，则积分上限的函数dttfxxa )()(就是就是)(xf在在,ba上的一个原函上的一个原函数数. .)()(babaxFdxxf 牛顿牛顿莱布尼茨公式莱布尼茨公式定积分的计算法定积分的计算法1换元法换元法 dtttfdxxfba )()()(换元积分公式换元积分公式2分部积分法分部积分法 bababavduuvudv分部积分公式分部积分公式微积分根

4、本公式微积分根本公式 利用对称区间上奇偶函数的性质简化利用对称区间上奇偶函数的性质简化定积分的计算定积分的计算广义积分广义积分(1)无穷限的广义积分无穷限的广义积分 adxxf)( babdxxf)(lim bdxxf)( baadxxf)(lim(2)无界函数的广义积分无界函数的广义积分 badxxf)( badxxf )(lim0 badxxf)( cadxxf)( bcdxxf)( cadxxf)(lim0 bcdxxf )(lim0三、典型例题三、典型例题例例求极限求极限1111lim12nnnnn解解1111lim12111nInnnnnnninin111lim1 1010)1ln(

5、11xdxx 2ln 解解)21ln(1limnnnnnIn nninin1)ln(lim1 101lnxdxnnnn!lnlim)2( 练习练习: 求极限).21(lim22222nnnnnnnn解：解： 原式nn1limnini12)(11xxd111024假设能把数列的通项写成假设能把数列的通项写成)1(1)(111 nininifnnifn或的方式，的方式，就可以利用就可以利用)(1lim1 ninnifn或或)1(1lim1 ninnifn把数列极限问题转化为定积分把数列极限问题转化为定积分 10( )f x dx的计算问题的计算问题.与数列的极限有着亲密联络。与数列的极限有着亲密联

6、络。由以上两例可见，延续函数由以上两例可见，延续函数 f ( x ) 的定积分的定积分例例 证明证明.2d222042exeexx证证: 令令,)(2xxexf那么xxexxf2) 12()(令,0)( xf得,21x, 1)0(f,1)(421ef2)2(ef,1)(min42,0exf22,0)(maxexf故22042d22exeexx例解 . d)1 (arcsin 43 41 xxxx计算 dcossin2d sin arcsin 2，则令tttxtxtx 3 6 : 43 41 : ，故时，且tx )sin1 (sin dcossin2 d)1 (arcsin 3 6 2243 4

7、1 ttttttxxxx3 6 d 2tt362 t12 2例例. 求求.d12ln02xex解解: 令令,sintex那么,sinlntx,dsincosdtttx原式ttttdsincoscos62tttdsinsin1262tttd)sin(csc26coscotcsclnttt6223)32(ln例例. 求求.d2sin120 xxI解解:xxxId)cos(sin202xxxdcossin20 xxxd)sin(cos40 xxxd)cos(sin24cossinxx04sincosxx42) 12(22yox4xsinxcos.,1min222 dxxx求求解解 1,11,1min

8、22xxxxxx是偶函数是偶函数,dxxx,1min2220 原原式式 21102122dxxdxx. 2ln232 例例 例例. 设设,d)(022yexfxyy解解: .d)() 1(102xxfx求xxfxd)() 1(102013)() 1(31xfxxxfxd)() 1(31103xexxxd) 1(31102322101) 1(2) 1d() 1(612xexx) 1(2 xu令10d6ueueu01) 1(6ueue)2(61e例例设设 0)0(, 0)0(,)( ffxf连连续续求求20200( )( )limxxxf t dtxf t dt解解 xxxfxdttfxxxfI0

9、220)()(2)(2lim xxxxfdttfxf020)()(2)(2lim)()(3)(4lim20 xfxxfxfxx )(0)0()(3)(4lim20 xfxfxfxfx 1)0()0(3)0(4 fff1sinlim020 xbxdttatxx这是这是 型未定式的极限型未定式的极限解解由由LHospital法那法那么么1)cos(lim20 xaxbxIx0lim20 xx0)cos(lim0 xaxbx0) 1( ab00a = 0 或或 b =1将将 a = 0 代入知不合题意代入知不合题意, 故故 b =1.4, 12)cos1(lim20 aaxaxxx例例 试确定试确定

10、 a , b 的值使的值使19例例知两曲线知两曲线 0d)(2teyxfyt与与在点在点)0 , 0(处的切线一样处的切线一样,写出此切线方程写出此切线方程,并求极限并求极限).2(limnnfn 解解0 x, 1 故所求切线方程为故所求切线方程为.xy )2(limnnfn nlim)2(nf0)0( f)0(f n22)0(2 f . 2 )(xfxarctane21x 2)(arctan x 0例例设( )f x在0,1上是单调递减的延续函数， 试证1 ,0q都有不等式100( )d( )dqf xxqf xx证明：显然证明：显然1,0qq时结论成立.(用积分中值定理)0( )dqf x

11、x10( )dqf xx0(1)( )dqqf xx1( )dqqf xx(1)q)(1fqq)()1 (2fq 10, q2 ,1q10 q当时,12(1) ( )()qqff0故所给不等式成立 .明对于任何例例 设设 f ( x ) 在在 0,1 上延续，且满足条件上延续，且满足条件120(1)2( )fxf x dx(0,1),( )( )0ff证明：存在使得 110( )( ),(1)(1)2( )( )F xxf xFfxf x dxF提示：设有 例例 设设 f ( x ) 在在 a,b 上延续，且上延续，且 0f x 证明：方程证明：方程 10 xxabf x dxdxf x有且只

12、需一个根。有且只需一个根。 1( )xxabF xf x dxdxf x提示：设例例 设设 f ( x ) , g ( x ) 在在 a , b 上延续，证明上延续，证明 badxxfgdxxgfba )()()()(),(使使证证关键在于作出辅助函数关键在于作出辅助函数 F(x)x换换成成将将 bxxadttfxgdttgxf)()()()( bxxadttfxgdttgxfxF)()()()()(如如令令那么那么 F(a)、F(b) 的符号不易判别，得不出结论的符号不易判别，得不出结论 bxxadttfxgdttgxfxF)()()()()(令令故故( )( )( )xbaxF xf t

13、dtg t dt故那么那么 F ( x ) 在在 a , b 上延续，在上延续，在 ( a , b ) 内可导内可导且且F ( a ) = F ( b ) = 0由由 Rolle 定理知：定理知：0)(),( Fba使使 bxxadttfxgdttgxfxF)()()()()(令令故故 bxxadttfxgdttgxfxF)()()()()(而而dxxfgdxxgfab )()()()( 辅助函数法证明定积分等式辅助函数法证明定积分等式主要适用主要适用于证明在积分限中至少存在一点于证明在积分限中至少存在一点 使等式成立的命题。使等式成立的命题。cx 或或或或0 xcx换换成成或或或或将将0 移

14、项使一端为移项使一端为 0另一端即为另一端即为)()(xFxF 或或验证验证 F(x)满足介值定理或满足介值定理或 Rolle 定理定理 注：注： 例例. 设函数 f (x) 在a, b 上延续,在(a, b) 内可导, 且 . 0)( xf:,)2(lim证明存在若axaxfax(1) 在(a, b) 内 f (x) 0 ; (2) 在(a, b) 内存在点 , 使 )(2d)(22fxxfabba证证: (1) ,)2(lim存在axaxfax,0)2(limaxfax由 f (x)在a, b上延续, 知 f (a) = 0. ，又0)( xf所以f (x) 在(a, b)内单调增, 因此 ),(, 0)()(baxafxf)(d)()(,)(2bxaxxfxgxxFxa即 )(2d)(22fttfabba(2) 设)(d)()(,)(2bxaxxfxgxxFxa, 0)()(xfxg则)(),(xgxF故满足柯西中值定理条件, 于是存在 使),(baaabattfttfabagbg