第一部分行列式determinant教学ppt课件

1、12/22/2021第一章第一章 行列式行列式 (determinant)第三次课第三次课12/22/2021目录目录3 n级行列式的性质级行列式的性质4 行列式按一行列展开行列式按一行列展开12/22/20213 n级行列式的性质级行列式的性质性质1：行列互换不变，或转置不变 112131111121311222322212223213233333132333123123nnnnnnnnnnnnnnnnaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa12/22/20213 n级行列式的性质级行列式的性质性质2：行列式按行列的线性性1. 行列式的一行乘以某一常数等于行列式的值乘

2、此常数 112111121311122232212132333312123nnniiinnnnnnnnnnnaaaaaaaaaaakakakak aaaaaaaaaaa 12/22/20213 n级行列式的性质级行列式的性质11211112111121111221212121212nnniiiiininiiiniiinnnnnnnnnnnnnaaaaaaaaabcbcbcbbbcccaaaaaaaaa 2. 如行列式的一行是两组数的和，它的值是这两组数拆开后两个行列式值之和12/22/20213 n级行列式的性质级行列式的性质性质3：互换恣意两行行列式反号性质4：恣意两行一样的行列式为零性质5

3、：一行为另一行之数倍行列式为零性质6：一行(列)之数倍加到另一行(列)不改这 行列式的值12/22/20214 行列式按一行列展开行列式按一行列展开定义：在定义：在n级行列式级行列式1112131123123niiiinnnnnnaaaaDaaaaaaaa划去元素 所在的第i行与第j列，剩下的元素按原相对次序陈列成的一个n-1级行列式中，ija12/22/20214 行列式按一行列展开行列式按一行列展开ija111,11,11,1,11,11,11,1,11,11,11,1,1,1jjniijijinijiijijinnn jn jnnaaaaaaaaMaaaaaaaa称为元素 的余子式(co

4、mplementary minor) ( 1)ijijijAM 称 为元素 的代数余子式(complementary algebraic minor)。ija12/22/20214 行列式按一行列展开行列式按一行列展开定理：行列式按它的第i行展开11121311231122123niiiiniiiiininnnnnnaaaaaaaaa Aa Aa Aaaaa12/22/20214 行列式按一行列展开行列式按一行列展开这一定理的证明可以有两条条途径： 由行列式的性质2.2，将第i行拆分成n组，第j 组一个非零的元 ； 比较等式两边的各项，确定它们一样数值与 符号；ija12/22/20214 行

5、列式按一行列展开行列式按一行列展开 在前面讨论三元一次线性方程组引出行列式时，实践上曾经用了111213222321232122212223111213323331333132313233111112121313aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa Ma Ma M12/22/20214 行列式按一行列展开行列式按一行列展开其中222321232122111213323331333132,aaaaaaMMMaaaaaa 这意味着，一个三级的行列式可以由二级行列式的代数和表示，其中“组合的系数全部取自第三行，而相应的二级行列式的元素取自与“系数不同的行与列。12/22/20214 行

6、列式按一行列展开行列式按一行列展开按行列式的“性质3 111213111121311112131111213112312123123123123000000000nnnniiiiniiinnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa我们如今调查等号右边的第j个行列式111311300nijnnnnaaaaaaa12/22/20214 行列式按一行列展开行列式按一行列展开经过 (n-i) 个行交换与 (n-j) 个列交换不难证明：111,11,11,1,111311,11,11,11,1,() ()1,11,11,11,1

7、,1,1,1,1300( 1)0000jjnjniijijinijn injiijijinijijijnn jn jnnn jnnnnijaaaaaaaaaaaaaaaaaaDaaaaaaaaaa 我们将后面的行列式记为 Dij=(bij), 按定义这个行列式是：1 2121 2(.)1,2,.( 1)( 1).nnnk kkijijkkn kk kkDbbb 12/22/20214 行列式按一行列展开行列式按一行列展开留意：留意： ,nn kb是第n行独一的非零项，因此 nkn那么： 1 211211 21(.)1,2,1,.( 1)( 1).( 1)nnnk kkijijijkknkk k

8、kijijijijijDabbba Ma A 因此： 121211221122( 1)( 1)( 1)iiiniii niiiiininiiiiininDDDDa Ma Ma Ma Aa Aa A 12/22/20214 行列式按一行列展开行列式按一行列展开 1det()( 1),0nk lijklkllaa Mkn如今调查行列式1112131123123niiiinnnnnnaaaaDaaaaaaaa与 1112131123123niiiinnnnnnaaaaEbbbbaaaa12/22/20214 行列式按一行列展开行列式按一行列展开 除第 i 行外，行列式E与D一样，我们将E按第i行展开

9、，得到1122iiiiininEb Ab Ab A当E的第i行就是D的第i行时，E=D；当E的第i行是D的第k(i)行时，E=0，由于它有两个一样的行，总结起来有如下定理：12/22/20214 行列式按一行列展开行列式按一行列展开定理：设定理：设n级行列式级行列式1112131123123niiiinnnnnnaaaaDaaaaaaaa的代数余子式，那么1,0,nkjijjDika Aik，Aij表示aij1,0,njkjijDika Aik对列展开 对行展开 12/22/20214 行列式按一行列展开行列式按一行列展开 行列式的另一个定义方式： 定义：行列式的定义之定义：行列式的定义之2，递归定义：，递归定义：, ,1,2,.,ija i jn，它们排成n行n假设有n2个数 列记成111213121222323132333123nnnnnnnnaaaaaaaaDaaaaaaaa，称为n级行列式。 12/22/20214 行列式按一行列展开行列式按一行列展开ija是行列式第i行第j列的数或元，当n=1时行列式 11Da；假设n-1时曾经定