第一部分预备知识教学ppt课件

1、第一章第一章 预备知识预备知识4. 格、软代数、布尔代数格、软代数、布尔代数1. 集合集合3. 关系关系2. 映射与代数系统映射与代数系统1. 集合集合软代数。软代数。是布尔代数，因而也是是布尔代数，因而也是),),( ) 1 (cXP(2) 集合的特征函数与集合是1-1对应的,集合的 运算可以经过特征函数作等价描画,数学上常 常不区分集合与它的特征函数。(3) 集合的特征函数是模糊化最重要的手段,大部 分普通概念都是先经过特征函数的描画,直接 用隶属函数来替代特征函数得到对应的模糊概 念。如并、交、余、各种特殊关系、影射的像、 凸集等。2. 映射与代数系统映射与代数系统 映射是描画模糊数学中

2、概念的重要工具。特征映射是描画模糊数学中概念的重要工具。特征 函数、模糊集、函数、模糊集、t- t- 模及模及 t-t-余模、模糊关系、模余模、模糊关系、模 糊量糊量( (包括凸模糊量、模糊数包括凸模糊量、模糊数) )、区间套、闭、区间套、闭 区间套等都是映射。区间套等都是映射。(2)了解单射与满射的概念。(3)代数系统是集合与运算的组合，引入代数系统 是为了更好地讨论模糊集与模糊关系。3. 关系关系 关系本质上是特殊的集合，因此关系有并、关系本质上是特殊的集合，因此关系有并、 交、余运算，其运算性质与集合一样；关交、余运算，其运算性质与集合一样；关 系有特征函数系有特征函数( (特征关系特征

3、关系) )，从而在有限论域，从而在有限论域 上有矩阵表示等。同时关系有本人特殊的上有矩阵表示等。同时关系有本人特殊的 运算逆与合成。运算逆与合成。 (2) 等价关系是最重要的一类关系，可经过等价 类对集合中的元素进展划分(分类)。 4. 格、软代数、布尔代数格、软代数、布尔代数 (1) 引入这些概念是为了在构造意义下讨论普通集及引入这些概念是为了在构造意义下讨论普通集及 模糊集、模糊关系。这些概念之间的关系是：模糊集、模糊关系。这些概念之间的关系是： 布尔代数布尔代数软代数软代数格。格。在在模模糊糊情情况况下下不不再再成成立立原原因因是是矛矛盾盾律律与与排排中中律律但但不不是是布布尔尔代代数数

4、，是是软软代代数数因因而而是是布布尔尔代代数数， ,),),( )(,),( ),),( )3(cXXFcXFcXP (2) 掌握格的偏序集及代数系统描画法，及两者之间掌握格的偏序集及代数系统描画法，及两者之间 的联络。的联络。. , . 1则有则有只要只要：及映射及映射集合集合对任意对任意为单射的充要条件是：为单射的充要条件是：的映射的映射到到从从ffAXXfBA（必必要要性性）证证明明： ).()()()( ,xfxfxfxfXxffAXXBAf，即，即时，时，有有只要只要：射射及映及映的单射，则对任意集合的单射，则对任意集合到到是从是从假设假设).)()(Xxxxf是是单单射射，故故由由

5、于于.所所以以，（充分性）（充分性）. )()()()()( )(,12111AxxfxfaxaaxaxAxaxAA，则，则，为：为：作映射作映射.ff即即矛矛盾盾！所所以以，,用反证法。用反证法。).()(,212121afafaaAaaBAf使得使得且且的单射，则存在的单射，则存在到到不是从不是从若若.,. 则有只要：及映射集合对任意为满射的充要条件是：的映射到从ffXBXfBA 2（必要性）证明： . ,ffXBXBAf有：射及映的满射，若对任意集合到是从假设).()()()()()(,)(,bbafafafafbafAaBbf 即，亦即，而使得是满射，故由于 . 所以，（充分性）（充分

6、性）.ff即即矛矛盾盾！所所以以，,用反证法。用反证法。)()( ),()( ,)(21121AfBbxAfbx(b)BbxbxxXAfBBAf令令的满射，则的满射，则到到不是从不是从若若).()(, afafAaXB有有的的映映射射，且且到到均均为为从从及及则则.),( . 3，则有，则有，且，且中，若中，若在一个分配格在一个分配格 L证明：证明： )( )( )()( )()( )()( )( )( .即即:),( . 4满足满足若代数系若代数系cL 1;)( 2)()()()()()()( 1 0 3;)(0 1 4 cc ;)(.),(是布尔代数是布尔代数则则cL证明证明:幂等幂等:)

7、(c 1)()(c 0 )( 吸收吸收: 1 )()()( 1)( 1 11先证先证111 )( )()(c 111 cc )(类似可证：类似可证：00 并由此推得：并由此推得： .)( 结合：结合：)( x令 )(y由吸收律：由吸收律： x)( y)()( )(. yx于是于是类似得：类似得：. yxccxxxc )( 1)()(xxc )()(yyc yyyc 1)( 第二章第二章 模糊集根底模糊集根底1.1.模糊集概念模糊集概念模糊集模糊集A A在本质上是个从在本质上是个从X X到到0,10,1的映射的映射; ;21模模糊糊关关系系XXX模糊量模糊量RX 特殊情形：特殊情形：模糊集只需属

8、于程度模糊集只需属于程度, ,没有属于不属于的概念没有属于不属于的概念; ;2. 模糊集运算模糊集运算(并、交、余并、交、余).),),(代数代数是软代数，而不是布尔是软代数，而不是布尔cXF3.截集与强截集截集与强截集截集与强截集是普通集；截集与强截集是普通集；截集与强截集所展现的性质往往是衡量一个截集与强截集所展现的性质往往是衡量一个 概念模糊化能否合理的重要根据；概念模糊化能否合理的重要根据；恣意的截集或强截集能否相等与模糊集能否恣意的截集或强截集能否相等与模糊集能否 相等是等价的；相等是等价的；掌握截集与强截集的一些根本性质；掌握截集与强截集的一些根本性质；)(1 ,01 ,01 ,0

9、HAAA4. 分解定理分解定理分解定理是联络模糊集与普通集的重要桥梁；分解定理是联络模糊集与普通集的重要桥梁；)(1 , 01 , 01 , 0)()()()()()(HxAxAxxHxAxAxAxAxA由分解定理可得：由分解定理可得： H为区间套时，为区间套时，A为凸模糊量；为凸模糊量； H为闭区间套时，为闭区间套时，A为模糊数为模糊数5. t-模与模与t-余模余模t-t-模与模与t-t-余模是构模余模是构模“且及且及“或的最普通的逻辑或的最普通的逻辑结合，正是由于结合，正是由于t-t-模与模与t-t-余模存在才有模糊逻辑余模存在才有模糊逻辑的丰富性；的丰富性； 掌握最大与最小掌握最大与最小

10、t-t-模与模与t-t-余模以及常见的余模以及常见的t-t-模与模与 t-t-余模余模. .6. 本章掌握以下计算本章掌握以下计算知模糊集，求并、交、余；知模糊集，求并、交、余；知模糊集，求截集与强截集；知模糊集，求截集与强截集；知截集知截集( (强截集强截集), ), 求模糊集；求模糊集；掌握两类模糊方式识别方法；掌握两类模糊方式识别方法；记住并能熟练运用一些典型的贴近度记住并能熟练运用一些典型的贴近度公式公式( (格，海明间隔格，海明间隔).).).()( ),()( , . 1CBACBAABBABABABAc证明：证明：如果如果证明：ccccABBABA)()()( ccccABBA)

11、()( )()( ABBAcc)()( ABABBAccc)()()()( ABAABBBAcccc)()()()()( BCBBCCCBCBccccc类似可得：类似可得：CABAABBBAcccc)()()()( CBAc)( ccccCABBACBA)()()( )()( ccccCABCBA)()()()( CBACAACBBCBAcccc)()(CBACBAccCBA )( )()( ccccCBACBA)()(CBACBAccACBc)( )()()()( ABCABBACCACBcccc)()()( cccccABCACBACB)()( CBACBAcccc)()( CBACBAc

12、c)( CBA所以，所以，)()( CBACBAcccc)()( CBACBAccCBA)( 2. T2. T与与S S分别是分别是t-t-模及模及t-t-余模余模, ,1的的条条件件满满足足习习题题假假设设),(),()( ),(1 ()(1yNxNTx,ySNxxN证明证明:.LLSSTT，则若证明证明:)(),()(),(yNxNTyNxNTTTLL时，)(),(1yNxNTL),(1 ()(1yxSx,ySN)(),(),(1yNxNTyxSL于于是是)(1),(1 (yxTL)0),()(1max(yx).,()1),()(min(),(1yxSyxyxSL.)(2) ;) 1 (

13、. 3tTttTtAAAA证明：证明：.,) 1 ( AAAA故故时时，证证：. . 综综合合即即得得等等式式成成立立从从而而，另另一一方方面面，AAAAA)()(2) tTttTttTttTtAAAA)( tTttTttTtAAA另另外外，,5 , 0 . 4X设设 1325332053050 ,(,(,A).( )(XxxA求求解解: :,5 , 3(1Axx时时当当1)(AxxA从而从而,5 , 2(,3 , 2(32Axx时时当当.,32Ax时时当当3/2)(AxxA从从而而,2 , 0(时时当当 x3353xxAxxAx ,()(,00Axx仅仅属属于于时时当当 . 0)(xA故故

14、,/,(/,()(2033232531xxxxxA总之总之, , ,1 , 1 . 5X设设:)( 1 , 0 :定定义义为为XPH).,(,)(10 1122 H).()(1 , 0 xFHF的的隶隶属属函函数数求求)()()(,xHxHxF 1010 )(,xH 10 ,2211 x xx 1 1, )(Hx 10101111xxxxxx 解解:6. 6. 证明：证明：),(,XFBAcccBABA)(法一：法一：,Xx)(1)()(xBAxBAc)()(1xBxA)(1 ()(1 (xBxA)()(xBxAcc)(xBAcc法二：法二：ccBABA)()(1cBA)(11ccBA)()(

15、11)()(ccBA)(ccBA 第三章第三章 模糊关系模糊关系1.模糊关系的概念模糊关系是特殊模糊集模糊关系是特殊模糊集, , 所以模糊集的一些所以模糊集的一些 概念在模糊关系中也有所表达，对应的性质概念在模糊关系中也有所表达，对应的性质也完全一样也完全一样. . 例如例如: : 运算运算( (并、交、余并、交、余) )、截、截集与强截集截关系与强截关系。集与强截集截关系与强截关系。2. 模糊关系的合成合成运算是模糊关系特有的最重要的运算，合成运算是模糊关系特有的最重要的运算， 在模糊关系实际及运用中举足轻重。在模糊关系实际及运用中举足轻重。要求掌握合成运算的性质。要求掌握合成运算的性质。3

16、. 特殊模糊关系特殊模糊关系:模糊自反、对称、传送、类似、等价关系模糊自反、对称、传送、类似、等价关系掌握与这些关系有关的结论掌握与这些关系有关的结论4. 传送闭包传送闭包 求传送闭包是改造一个关系使其具有传送性质求传送闭包是改造一个关系使其具有传送性质的重要手段的重要手段 掌握传送闭包的方法掌握传送闭包的方法5. 模糊聚类分析与综合评判模糊聚类分析与综合评判掌握模糊聚类分析与综合评判根本方法掌握模糊聚类分析与综合评判根本方法掌握直接聚类法掌握直接聚类法6. 本章主要计算本章主要计算求模糊关系求模糊关系(强强)截关系并、交、余、逆、合成截关系并、交、余、逆、合成求传送闭包求传送闭包( (普通关

17、系、论域有限、类似关系普通关系、论域有限、类似关系.),0( ),( . 12)(2RkeyxRRyxk求求定定义义为为：实实数数域域上上的的模模糊糊关关系系),)(),( , 2zxRRzxRx,z对对任任意意实实数数解解：),(),(zyRyxRy)(22)()(zykyxkyee222)()(zxyeezykyxk可可得得：由由22222),(zxkzzxkeezxR所所以以，).,(lim),)( , . 22yxRyxRtXyxRRRnn且且对对：是是一一个个自自反反关关系系，证证明明若若),(),(),( ),(),(),( ,2yxRyyRyxRyzRzxRyxRXyxXz证证明

18、明：RR 2 即：),(),(),)( 11yxRyxRyxRtnnnn ),(),(, 1yxRyxRnnnn首首先先对对任任意意),(),(lim1yxRyxRnnnn故故)( mnRRmn归归纳纳可可得得：).,(),(lim ),(),(, yxRyxRyxRyxRmnmmnnmn从从而而，时时，当当其其次次对对任任意意).,(),(lim 1yxRyxRmmnn于是，3.定义并给出一个X上模糊关系R的自反与对称闭包，解：解：并证之。并证之。, ,RRR自自反反若若自反均有自反均有且且SRS , RS .的自反闭包的自反闭包为为则称则称RR为：为：定义定义)(XXFIyxyxyxI01

19、),(IRRR的自反闭包的自反闭包则则证明：. RR 显显然然，1),(),(max(),( xxIxxRxxR.自自反反故故R另外，另外，:, ,则则必必有有自自反反SRS ),(),(,yxIyxSXyxRIRS从而从而.为自反闭包为自反闭包即即IRR, ,RRR对对称称若若对称均有对称均有且且SRS ,.的的对对称称闭闭包包为为则则称称RR, RS 1RRRR的对称闭包的对称闭包证明：证明：. RR 显显然然，),(),(max(),( 1yxRyxRyxR.是是对对称称的的模模糊糊关关系系故故R另外，另外，:, ,则必有则必有对称对称SRS 1RRRS从从而而.1的的对对称称闭闭包包为

20、为即即RRRR),(),(max(1xyRxyR),( ),)(1xyRxyRR11RSS. , . 412212121RRRRRRRR的的充充要要条条件件是是为为模模糊糊对对称称关关系系是是模模糊糊对对称称的的，证证明明：已已知知2112121)(RRRRRR为模糊对称关系为模糊对称关系证明：证明：211112RRRR2112RRRR5.中至少有两者相等。中至少有两者相等。，证明：证明：为等价关系，为等价关系，若相似关系若相似关系111R证明：证明：， 1112)()()()()()( R.2RRRR为为传传递递的的，即即为为等等价价关关系系，则则若若于是，我们有：于是，我们有：(3) )(

21、2) )(1) )(即即已证；已证；，若若 ；，于于是是及及得得：由由，若若)3(1) .)3(2) ，于于是是及及得得：由由，若若中至少有两者相等。中至少有两者相等。，所以，所以， 第四章 扩展原理与模糊数1. 扩展原理扩展原理扩展原理主要处理求一个或多个普通或模扩展原理主要处理求一个或多个普通或模糊集合在一个映射下象的问题糊集合在一个映射下象的问题. .当所涉及的映射为一元函数时当所涉及的映射为一元函数时, ,一元扩展原一元扩展原理用来处置模糊量的函数运算理用来处置模糊量的函数运算; ;当所涉及的当所涉及的映射为二元函数时映射为二元函数时, ,二元扩展原理用来处置二元扩展原理用来处置模糊量

22、的代数运算模糊量的代数运算. .掌握扩展后的掌握扩展后的f(A)f(A)及及f(A,B)f(A,B)的性质的性质( (无论无论A A、B B是普通或模糊集是普通或模糊集).). 可达性(充要条件):)()(相相等等的的条条件件AfAf2. 关于关于 f延续且延续且A为模糊数为模糊数(充分条件充分条件) f是单射是单射(充分条件充分条件)3. 模糊量与凸模糊量模糊量与凸模糊量 模糊量是实数上的模糊集模糊量是实数上的模糊集, ,在模糊数学中的位置在模糊数学中的位置 相当于数在传统数学中的位置相当于数在传统数学中的位置, ,主要用于不准确数主要用于不准确数 据的量化据的量化. . 凸模糊量是直线上凸

23、集凸模糊量是直线上凸集( (区间区间) )的模糊化的模糊化, ,是不是不准确数据的一种规范化描画准确数据的一种规范化描画. .4. 模糊数模糊数 模糊数是构模不准确数据的最理想的一类模糊量模糊数是构模不准确数据的最理想的一类模糊量,它们具有与数的运算相类似的性质它们具有与数的运算相类似的性质,同时由于其截同时由于其截集是有限的闭区间而使其代数运算中相对简单集是有限的闭区间而使其代数运算中相对简单. 掌握模糊数的充要条件以及表现定理掌握模糊数的充要条件以及表现定理 掌握模糊数代数运算性质掌握模糊数代数运算性质5. 主要计算主要计算),( ),(BAfAf利用扩展原理计算利用扩展原理计算延续或离散

24、论域利用扩展原理求模糊量利用扩展原理求模糊量( (模糊数模糊数) )加、减、乘、除、加、减、乘、除、 取大、取小取大、取小计算梯形计算梯形( (三角形三角形) )模糊数加、减、乘、除模糊数加、减、乘、除1 , 0)(HAH算算为为区区间间或或闭闭区区间间套套时时计计对对1. ),)( ),( ,:2121SsTtXFBXFAYXXfst设设证明：证明：),(),(stSsTtsSstTtBAfBAf证明：证明：)()()(,(21),(21xBxAyBAfsSstTtyxxfsSstTt)()(21),(21xBxAsSstTtyxxf)()(21),(21xBxAstSsTtyxxf)()(

25、21),(21xBxAstyxxfSsTt)(,(yBAfstSsTt)(,(yBAfstSsTt1 , 0).()( : ,:,:),( . 2AfgAfgZYgYXfXFA则则设设证明证明: :1 , 0).)()(AfgAfg).()( AfgAfg只须证：只须证：)(,)( xfgzAxAfgz).()(g(),()(,AfgxfAff(x)xfgzAx故故由由于于).(Afgz即即).()( ,AfgAfg所以)(),()( ygzAfyAfgz反之，反之，).(,xfyAx).)(,AfgzAx故故由由于于).()( ,AfgAfg所所以以).)()()(xfgxfgygz于于是是，).()( ,AfgAfg总总之之3.证明：证明：已知已知 ),(,RFBA10| )()(| )()(| ,dxBxAxBxARx证明：证明：)()(| )()(| ,)()(xA