第五节 隐函数的求导方法 （P37）

1、第五节一、一个方程所确定的隐函数一、一个方程所确定的隐函数 及其导数及其导数 二、方程组所确定的隐函数组二、方程组所确定的隐函数组 及其导数及其导数隐函数的求导方法 本节讨论 :1) 方程在什么条件下才能确定隐函数 .例如, 方程02cyx当 c 0 时, 不能确定隐函数;2) 在方程能确定隐函数时, 研究其连续性、可微性 及求导方法问题 .一、一个方程所确定的隐函数及其导数一、一个方程所确定的隐函数及其导数定理定理1.1. 设函数),(00yxp),(yxf;0),(00yxf则方程),(0),(00yxyxf在点在点 单值连续函数 y = f (x) , )(00 xfy 并有连续yxff

2、xydd(隐函数求导公式)定理证明从略，仅就求导公式推导如下： 具有连续的偏导数;的某邻域内某邻域内可唯一确定一个在点的某一邻域内满足0),(00yxfy满足条件导数0)(,(xfxf两边对 x 求导0ddxyyfxfyxffxydd0yf,0),()(所确定的隐函数为方程设yxfxfy在),(00yx的某邻域内则若f( x , y ) 的二阶偏导数也都连续,22ddxy2yxxyyxxfffff3222yxyyyxyxyxxffffffffyxff)(yxffy)(2yxyxyyyyxfffffff二阶导数 :)(yxffxxyxxydd则还有例例1. 验证方程01sinyxeyx在点(0,

3、0)某邻域可确定一个单值可导隐函数, )(xfy 0dd,0dd22xxyxxy并求0 xy30dd22xxy)(, 01sinxyyyxeyxyycos两边对 x 求导1两边再对 x 求导yyyy cos)(sin2令 x = 0 , 注意此时1,0yy0 yxyyexxey0 yx)0 , 0(cosxyyex导数的另一求法导数的另一求法 利用隐函数求导定理定理2 . 若函数 ),(000zyxp),(zyxfzyzxffyzffxz,的某邻域内具有连续偏导数连续偏导数 ,则方程0),(zyxf在点),(00yx并有连续偏导数, ),(000yxfz 定一个单值连续函数 z = f (x

4、, y) , 定理证明从略, 仅就求导公式推导如下:满足0),(000zyxf0),(000zyxfz 在点满足:某一邻域内可唯一确0),(,(yxfyxf两边对 x 求偏导xfzxffxzzyffyz同样可得,0),(),(所确定的隐函数是方程设yxfyxfz则zfxz00),(000zfzyx的某邻域内在例例2. 设,04222zzyx.22xz求例例3. 设f( x , y)具有连续偏导数, 0),(zyzxf.dz求已知方程二、方程组所确定的隐函数组及其导数二、方程组所确定的隐函数组及其导数隐函数存在定理还可以推广到方程组的情形.0),(0),(vuyxgvuyxf),(),(yxvv

5、yxuu由 f、g 的偏导数组成的行列式vuvuggffvugfj),(),(称为f、g 的雅可比雅可比( jacobi )行列式.以两个方程确定两个隐函数的情况为例 , 即定理定理3.3.,0),(0000vuyxf的某一邻域内具有连续偏设函数),(0000vuyxp),(, ),(vuyxgvuyxf则方程组0),(,0),(vuyxgvuyxf),(00yx在点的单值连续函数单值连续函数),(, ),(yxvvyxuu且有偏导数公式 : 在点的某一邻域内可唯一唯一确定一组满足条件满足:0),(),(pvugfpj;0),(0000vuyxg导数；, ),(000yxuu ),(000yx

6、vv ),(),(1vxgfjxu),(),(1vygfjyu),(),(1xugfjxv),(),(1yugfjyvvvvuvugfggff1vvvuvugfggff1uuvuvugfggff1uuvuvugfggff1xxgfyygfxxgfyygf例例4. 设, 1,0vxuyvyux.,yvxvyuxu解解:xyyxjjxu122yxvxuyyu方程组两边对 x 求导，并移项得求vxvxxuyxvyu22yxvyuxvyuxjxv122yxuyvx练习练习: 求yvyu,uxvyxux022yx22yxvyuxyv答案答案:由题设故有例例5.5.设函数在点(u,v) 的某一),(, )

7、,(vuyyvuxx0),(),(vuyx1) 证明函数组),(),(vuyyvuxx( x, y) 的某一邻域内. ),(, ),(yxvvyxuu2) 求),(, ),(yxvvyxuu解解: 1) 令0),(),(vuxxvuyxf0),(),(vuyyvuyxg对 x , y 的偏导数.在与点 (u, v) 对应的点邻域内有连续的偏导数,且 唯一确定一组单值、连续且具有连续偏导数的反函数),(),(),(),(yxvyxuyyyxvyxuxx式两边对 x 求导, 得uy0 xvxu1xuxvuxvxvy则有),(),(vugfj,0),(),(vuyx由定理 3 可知结论 1) 成立.

8、2) 求反函数的偏导数. , 0j注意vyvxj011xuxv,1vyj uyj 1011uyuxj从方程组解得同理, 式两边对 y 求导, 可得,1vxjyuuxjyv1, 0j注意vyvxj011xuxv,1vyj uyj 1011uyuxj从方程组解得同理, 式两边对 y 求导, 可得,1vxjyuuxjyv1内容小结内容小结1. 隐函数( 组) 存在定理2. 隐函数 ( 组) 求导方法方法1. 利用复合函数求导法则直接计算 ;方法2. 代公式思考与练习思考与练习设, ),(zyxzyxfz求.,yxzxxzzx 提示提示:),(zyxzyxfzxz1f xz 12f xzyxzyxz2

9、1fzyf211fyxf 11f 1zx2f yxzxzy 211fyxf21fzyfyx 01f 1yx2f zxyxzy 21fzxf21fzyf)()(xzzxyy及,2 yxeyxex:.ddxu求分别由下列两式确定 :又函数),(zyxfu 有连续的一阶偏导数 ,1. 设解解: 两个隐函数方程两边对 x 求导, 得321)sin()(1ddfzxzxefxyfxuxuzyxx x0)()(yxyyxyeyxxezxzx )sin()1 (z,xyy)sin()(1zxzxezx,dsin0tttezxx解得因此 zxfyfy0zfz fx)1 (y2. 设)(, )(xzzxyy是由方程)(yxfxz和0),(zyxf所确定的函数 , 求.ddxz解解 分别在各方程两端对 x 求导, 得ffxfzyfx xzyfzfyf)0( zyffxfzyxyffxfffxffxf )(xzdd 1 zyfffxxyfffxffx222111cybxacybxa解解:22111babax 2211bcbc2211caca22111babay 二元线性代数方程组解的公式雅可比雅可比(1804 1851)德国数学家. 他在数学方面最主要的成就是和