第十一章滤波器设计-ppt课件

1、第十一章 滤波器设计11.1 引言n滤波器的设计是为了实现对输入信号的频率选择性。n在实践运用中，我们往往需求限制输入信号的带宽，或者对输入信号的某些频率成分感兴趣，或者希望降低输入信号中的噪声功率。n因此我们需求针对各种运用设计不同频率选择特性的滤波器。n滤波器的分类模拟滤波器有限冲激响应滤波器无限冲激响应滤波器数字滤波器滤波器FIRIIRn模拟滤波器h(t)是延续信号，依托模拟电路电感、电容、电阻等来实现。n数字滤波器h(n)是离散信号，可以用数字电路来实现，也可以用软件来实现。n就目前的运用情况而言，普通情况下，输入信号首先要经过采样A/D变成数字信号，在后面的处置中几乎全是数字信号的处

2、置和传输，仅在最后的输出端才用D/A变成模拟信号，因此，模拟滤波器的运用领域越来越小，其运用大多局限在射频部分，其实际也非常复杂，故我们不做详细引见n数字滤波器运用越来越广，其未来的方向是软件无线电，软件无线电需求高性能的主机和相应的硬件设备支撑。目前计算机的性能还不能满足要求。n所谓无限冲激呼应IIR滤波器，是指h(n)是无限长的序列。n所谓有限冲激呼应FIR滤波器，是指h(n)是有限长的序列。n显然，FIR滤波器是运用需求的重点，IIR滤波器实现起来相对困难。11.2 模拟滤波器简介1、概述模拟滤波器的设计主要包括两块内容： 首先要构造相应的付里叶频谱)(wH 然后获得拉氏频谱)(sH并构

3、造模拟电路。 注： 之所以要获得)(sH， 是因为可以从)(sH出发构造硬件模拟电路的理论十分成熟。 模拟滤波器的核心是设计低通滤波器， 由低通滤波器可以经过变量替换获得高通或带通滤波器。 经典的低通滤波器模板有： 巴特沃斯低通滤波器 切比雪夫低通滤波器 2、巴特沃斯滤波器巴特沃斯低通滤波器： 222)/11()(NcwwwH 其中cw被称为截止频率。 因为2/1)(2cwH，而db3)2/1log(10所以，cw被称为-3db 截止频率，意味着该频率点上，滤波器的通过系数为最大通过系数的 1/2。 0 w 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 N=2 N=3 N=4 wc 通带 阻带 过渡

4、带 巴特沃斯低通滤波器的幅度谱 可以看出：1随着阶数N的添加，巴特滤波器的阻带变窄、通带变平坦。性能改善。2不论阶数如何变，截止频率不变。n在设计巴特滤波器时，可以首先确定系统的低通截止频率，以及通带内允许起伏目的、阻带截止目的。n然后根据上述目确实定滤波器阶数n再查表确定滤波器的H(s)n根据H(s)构造硬件模拟电路即可。3、切比雪夫滤波器切比雪夫低通滤波器： 2222)/11()(cNwwTwH 其中cw被称为截止频率。 1)(arccoscosh1)arccos(cos)(xxhNxxNxTN 0N ，1)(xTN 1N ，xxTN)( 2N ，12)(2 xxTN 0 w 0 0.2

5、0.4 0.6 0.8 1 2 3 4 wc 通带 过渡带 阻带 切比雪夫滤波器的幅度谱 可以看出：1随着阶数N的添加，切比滤波器的阻带变窄、通带波纹变密。性能改善。2不论阶数如何变，截止频率不变。n在设计切比雪夫滤波器时，可以首先确定系统的低通截止频率，以及通带内允许起伏目的、阻带截止目的。n然后根据上述目确实定滤波器阶数和决议通带内波纹的。n再查表确定滤波器的H(s)n根据H(s)构造硬件模拟电路即可。4、低通变高通对低通滤波器)(sH做一个变换： 令)/()(swHsHrg， 所得的)(sHg即为高通滤波器。 rw为高通的截止频率 5、低通变带通对低通滤波器)(sH做一个变换： 构造)(

6、sHl使：)()(12202wwswsHsHl， 其中210www 21 ww构成了通带 所得的)(sHl即为带通滤波器。 6、低通变带阻对低通滤波器)(sH做一个变换： 构造)(sHk使：)()(20212wswwsHsHk， 其中210www 21 ww构成了阻带 所得的)(sHk即为带阻滤波器。 11.3 无限冲激呼应数字滤波器n冲激不变法：n第一步，设计模拟滤波器H(s)n第二步，根据拉氏反变换求冲激呼应h(t)n第三步，对h(t)采样得h(n)n双线性变换法n略11.4 有限冲激呼应数字滤波器1、概述n与IIR无限冲激滤波器相比，FIR有限冲激呼应的最大优点是具有良好的线性相位特性。

7、n而IIR的优点是良好的幅度特性。nFIR有限冲激呼应的设计方法包括：n 1窗函数法n 2频率采样法2、线性相位n线性相位是保证信号无失真传输的重要条件。n所谓线性相位是指n h(n)的相位谱满足：n (w)=-w，n 其中为常数。n下面对线性相移的概念做一个举例阐明假设某信号)300cos(4)200cos(3)100cos(2)(ttttf 如果某滤波器)(th能将)(tf所有的频率成分通过，但因为通过一个系统，故会引入一个延迟。 即通过系统)(th之后，)(tf的响应为)(Ttf。 这样的系统仅引入了延迟，但没有引入失真。 )(300cos4)(200cos3)(100cos2)()(1

8、TtTtTtTtftf 对频率100，相位延迟为T100 对频率200，相位延迟为T200 对频率300，相位延迟为T300 根据上述特点，显然满足线性相位wT 而假设： 对频率100，相位延迟为T150； 对频率200，相位延迟为T100； 对频率300，相位延迟为T200； 则输出信号为： )200300cos(4)100200cos(3)150100cos(2)(2TtTtTttf 显然不满足线性相位条件，从下图可以看出，这将引入失真 00.010.020.030.040.050.060.070.080.090.1-6-4-20246810f(t)f1(t)f2(t) f(t)为原信号f

9、1(t)为线性相位系统的输出信号，仅对f(t)有一定的延迟，波形完全一样。f2(t)为非线性相位系统的输出信号，f2(t)引入了失真，波形与f(t)不同线性相位的条件： 对)(nh来说，相位谱 cos)(sin)()(1010NnNnnwnhnwnharctgw 令ww)(则要求： 10)1()(NnnNhnh，此时，2/) 1( N n以下的h(n)能保证线性相位吗？01 23456N=701 2345N=6h(n)h(n)nnn上面的情况相当与对具有线性相位的h(n)做时域平移：nh(n)=h(n-K)n根据离散付里叶变换的性质nH(w)=H(w)ejwKnh(n)的相位谱：(w)= (w

10、)+Kwn(w)=(-+K)wn显然h(n)也能保证线性相位n结论：对h(n)而言，所谓偶对称是指相对位置上的幅度值相等，而与绝对位置无关。n假设系统h(n)对输入x(n)的输出为y(n)。n那么系统h(n)=h(n-K)对x(n)的输出为y(n-K)n即系统h(n) 的输出比系统h(n)的输出仅在时间上有K的延迟，而输出波形完全一样。h(n)h(n-K)Knnnnx(n)y(n)x(n)y(n-K)n也就是说对类似以下图的两类比h(n)，可以保证线性相位，这两种对称方式统称为偶对称01 23456N=701 2345N=6h(n)h(n)nn3、窗函数法n窗函数是人们经过长期研讨后找到的一些

11、函数，用这些函数去乘IIR无限长冲激呼应滤波器的h1(n)，实现窗口截断，到达构造FIR有限长冲激呼应滤波器h(n)的目的。n我们知道，时域乘积等价于频域卷积，所以通常意义上的矩形窗未必是最好的截断窗，人们又研讨了其他的性能更好的窗函数，如汉明窗，布莱克曼窗等。3.1 窗函数法根本原理n从理想特性的滤波器H()出发，经过离散付里叶反变换可以得到h1(n)n对h1(n)再乘一个窗函数w(n)，可以得到n h(n)=h1(n)w(n)n窗函数w(n)有两个作用，一个作用是对频谱的修整，另一个作用是做截断，使无限长序列h1(n)变成有限长序列h(n)，从而构成FIR滤波器。3.2 理想低通滤波器幅度

12、谱2-2-0幅度谱2-2-0wc理想低通滤波器的)( 1 nh为： nnwnhc)sin()( 1，为无限长序列 - 5 0- 4 0- 3 0- 2 0- 1 001 02 03 04 05 0- 0 . 0 500 . 0 50 . 10 . 1 50 . 2 3.3 矩形窗n所谓矩形窗就是：n w(n)=1, 0 nN-1n w(n)=0, n为其他值为了保证线性相位和滤波器的因果性，即要求： 1）)( nh为偶对称，我们选N为奇数 2）00)(nnh， 考虑到我们要用 N 点的窗截断)(1 nh，同时要保证对称性，所以要先将)(1 nh右移2/)1(N，再用矩形窗截断。 于是经过矩形窗

13、截断的低通滤波器为： 102/) 1(2/) 1(sin)(2/) 1( 1)(NnNnNnwnwNnhnhc为有限长序列， 01 02 03 04 05 06 07 08 09 01 0 0-0 . 0 500 . 0 50 . 10 . 1 50 . 2 显然这样的h(n)是偶对称的，满足线性相位的要求当然对上面的h(n)做移位，也是满足线性相位要求的，但不一定能满足因果性的要求，此例中我们选用的点数N为奇数经矩形窗截断后的 h(n)频谱 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 0 0.5 1 1.5 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 -400 -200 0 20

14、0 400 幅度谱 相位谱 nN选用偶数也是可以的，以下图是偶数点的h(n)01 02 03 04 05 06 07 08 09 01 0 0-0 .0 500 .0 50 .10 .1 50 .2 n对应的频谱 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 0 0.5 1 1.5 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 -400 -200 0 200 400 幅度谱 相位谱 3.4 汉明窗汉明窗函数如下： 10)12cos(46. 054. 0)(NnNnnw 同矩形窗截断的情形类似，经过汉明窗截断后 10)()21( 1)(NnnwNnhnh 10)12cos(46. 054

15、. 0 )21()21(sinNnNnNnNnwc 经过汉明窗截断的 h(n) 01 02 03 04 05 06 07 08 09 01 0 0-0 .0 500 .0 50 .10 .1 50 .2 经过汉明窗截断的 h(n)的频谱 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 0 0.5 1 1.5 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 -400 -200 0 200 400 幅度谱 相位谱 3.5 布莱克曼窗布莱克曼窗函数如下： 10)14cos(08. 0)12cos(5 . 042. 0)(NnNnNnnw 同矩形窗截断的情形类似，经过布莱克曼窗截断后 10)()2

16、1( 1)(NnnwNnhnh 10)14cos(08. 0)12cos(5 . 042. 0 )21()21(sinNnNnNnNnNnwc 经过布莱克曼窗截断的 h(n) 01 02 03 04 05 06 07 08 09 01 0 0-0 . 0 500 . 0 50 . 10 . 1 50 . 2 经过布莱克曼窗截断的 h(n)的频谱 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 -400 -200 0 200 400 幅度谱 相位谱 n需求阐明的是，对任何窗函数，

17、h(n)的点数N均即可为偶数也可为奇数。n从频谱图上看，矩形窗的性能不如汉明窗及布莱克曼窗。3.6 其他类型的FIR设计n我们仅引见了低通滤波器的设计方法，对其他类型，如高通、带通等，可以采用一样的设计步骤：即首先在频域内设计滤波器的频谱，然后，根据该频谱获得时域h1(n)， h1(n)经移位后，再用窗函数截断，得最终的h(n)。n其他的窗函数还有很多，需求用时可以在参考书上查到4、频率采样法n频率采样法的根本思绪是：n 根据需求的滤波器频谱，每隔一个频率间隔采一次样，在一个周期内，可得H(k)，k=0，1，2，N-1。n 然后对H(k)做逆DFT即可得到h(n)。n 这里需求留意的是：在设计

18、滤波器频谱时一定要留意相位谱的设计。如采样点数为奇数，相位谱为两段直线(保证线性相位)，斜率均为-(N-1)/2，零点分别为 n=0，和 n=N。前一段直线的起止点为 0（N-1）/2，后一段直线的起止点为（N-1）/2N-1。这样可以保证 h(n)为实数 采样间隔为 2/N H(k)为复数，即：)(| )(|)(kjekHkH 如采样点为偶数，相位谱为两段直线(保证线性相位)，斜率为-(N-1)/2，零点分别为 n=0，和 n=N。前半段直线的起止点为 0N/2-1，后一段直线的起止点为 N/2+1N-1。要求 N/2 点处的幅度值必须为 0，即 H(N/2)=0，N/2 点的相位可取 0，

19、这样可以保证 h(n)为实数。 采样间隔为 2/N，H(k)为复数，即：)(| )(|)(kjekHkH 4.1 不加过渡点的情况 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 幅度谱采样 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 -100 -50 0 50 100 相位谱采样 采样点 N=64 经过逆 FFT 可得 h(n) 01 02 03 04 05 06 0-0 .0 4-0 .0 200 .0 20 .0 40 .0 60 .0 80 .10 .1 20 .1 4h (n ) 对应

20、 h(n)的频谱： -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 0 0.5 1 1.5 h(n)的幅度谱 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 -200 -100 0 100 200 h(n)的相位谱 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 幅度谱采样 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 -100 -50 0 50 100 相位谱采样 采样点为6501 02 03 04 05 06 0-0 . 0 4-0 . 0 200 . 0 20 . 0 40 . 0 60

21、 . 0 80 . 10 . 1 20 . 1 4h (n ) 经过IDFT得到的h(n) -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 0 0.5 1 1.5 h(n)对应的幅度谱 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 -200 -100 0 100 200 h(n)对应的相位谱 奇数点采样的频谱4.2 加过渡点的情况n在详细实施过程中，应添加过渡点以改善滤波器的性能 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 幅度谱采样 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 -10

22、0 -50 0 50 100 相位谱采样 加过渡点后得到的 h(n) 0 10 20 30 40 50 60 0 0.05 0.1 0.15 0.2 h(n) 加过渡点后得到的 h(n)对应的频谱 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 0 0.5 1 1.5 h(n)的幅度谱 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 -200 -100 0 100 200 h(n)的相位谱 n可见经过添加过渡点，可以改善滤波器的性能。5、滤波器的运用实例n以下是有关图象和音频的滤波器处置的实例，涉及：n图象经过低通滤波、图象经过高通滤波、图象的边沿提取n音频的低通滤波、音频的高通滤波5.1

23、 低通滤波器用于图象处置051015202530-0.0200.020.040.060.040.160.18h(n) 用于行和列滤波的低通滤波器h(n) -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 0 0.5 1 1.5 h(n)的幅度谱 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 -100 -50 0 50 100 h(n)的相位谱 h(n)的频谱 原图象 50 100 150 200 250 300 350 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500 550 低通后的图象 50 100 150 200 250 300 35

24、0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500 550 5.2 高通滤波器用于图象处置051015202530-0.15-0.1-0.0500.050.10.15h(n) 用于行和列滤波的高通滤波器h(n) -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 0 0.5 1 1.5 h(n)的幅度谱 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 -100 -50 0 50 100 h(n)的相位谱 h(n)的频谱 原图象 50 100 150 200 250 300 350 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500 550

25、 高通后的图象 50 100 150 200 250 300 350 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500 550 5.3 图象边沿提取举例n对一幅图象IM(m,n)n用h(m)=-1/2,1,-1/2对IM(m,n)做行滤波得IM_L(m,n)；n再用h(n)=-1/2,1,-1/2对IM(m,n)做列滤波得IM_C(m,n)；n对点m,n，假设IM_L(m,n)或IM_C(m,n) ，那么令IM_R(m,n)=255；否那么令IM_R(m,n)=0；n为门限 原图象 50 100 150 200 250 300 350 50 100 150 200

26、250 300 350 400 450 500 550 边 沿 提 取 50 100 150 200 250 300 350 400 100 200 300 400 500 600 h(n)=-1/2，1，1/2的频谱如下： -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 0 0.5 1 1.5 2 h(n)的幅度谱 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 -5 0 5 h(n)的相位谱 5.4 低通滤波器用于语音处置低通滤波器的冲激响应：h(n) 051015-0.6h(n) 低通滤波器冲激响应 h(n)的频谱 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1