线性代数—特征值问题和特征向量学习教案

1、会计学1第一页，共28页。2 本章本章(bn zhn)(bn zhn)介绍矩阵的特征值、特征向量以及介绍矩阵的特征值、特征向量以及矩阵的对角化问题。矩阵的对角化问题。 第1页/共27页第二页，共28页。3设设A是是一一个个n阶阶方方阵阵，如如果果存存在在一一个个数数 ，以以及及一一个个非非零零n维维列列向向量量 ，使使得得 定义定义(dngy) A则则称称 为为矩矩阵阵A的的特特征征值值，而而 称称为为矩矩阵阵A的的属属于于 一、特征值与特征向量的基本概念一、特征值与特征向量的基本概念特征值特征值 的的特征向量特征向量。 例如例如(lr)(lr)， 113111 22,112 所所以以矩矩阵阵

2、 3111有有一一个个特特征征值值 2, , 而而 11是对应是对应的的特征向量。特征向量。 第2页/共27页第三页，共28页。4一个一个(y )(y )特征向量只能属于一个特征向量只能属于一个(y )(y )特征值，证明如下：特征值，证明如下：设设 是是同同时时属属于于特特征征值值1 和和2 的的特特征征向向量量， 即即 1 A， 2 A， 12 ()0, 0而. 21 说明说明(shumng)1 1、特征值问题、特征值问题(wnt)(wnt)是针对方阵而言的；是针对方阵而言的；2 2、特征向量必须是、特征向量必须是非零非零向量；向量；3 3、特征向量既依赖于矩阵、特征向量既依赖于矩阵A，又

3、依赖于特征值又依赖于特征值 . Anm 1 n1 m第3页/共27页第四页，共28页。5二、特征值与特征向量的求法二、特征值与特征向量的求法 A ()0,EA,212222111211nnnnnnaaaaaaaaa AEf )(记记,次次多多项项式式的的它它是是n 称为矩阵称为矩阵A的的特征多项式特征多项式， 次次方方程程为为未未知知数数的的一一元元称称以以n 0 AE 为矩阵为矩阵(j zhn)A(j zhn)A的特征方程。的特征方程。第4页/共27页第五页，共28页。6的根，即为矩阵的根，即为矩阵A的特征值。的特征值。特征方程特征方程0 AE 即齐次线性方程组即齐次线性方程组()0EA x

4、的非零解。的非零解。而而矩阵矩阵A属于特征根属于特征根 的特征向量的特征向量计算矩阵特征值和特征向量的一般计算矩阵特征值和特征向量的一般(ybn)(ybn)步骤如下：步骤如下：1 1、求求特特征征方方程程0 AE 的的全全部部根根，即即为为矩矩阵阵A的的全全部部特特征征值值； 2 2、对每一特征值、对每一特征值i ，求解齐次线性方程组，求解齐次线性方程组 ()0iEA x它它的的全全部部非非零零解解向向量量即即为为矩矩阵阵A的的属属于于特特征征值值i 的的全全部部特特征征向向量量。 第5页/共27页第六页，共28页。7例例1设设,120010112 A求求A的特征值与特征向量。的特征值与特征向

5、量。解解120010112 AE,0)1)(1)(2( 所以所以(suy)A(suy)A的特征值为的特征值为 .1, 1, 2321 第6页/共27页第七页，共28页。8120010112 AE.1, 1, 2321 ，对对21 1200301102AE,000100110 相应相应(xingyng)(xingyng)齐次线性方程组的基础解系为齐次线性方程组的基础解系为因因此此属属于于特特征征值值21 的的全全部部特特征征向向量量为为)0(111 kk ； , 1 100第7页/共27页第八页，共28页。9120010112 AE.1, 1, 2321 ，对对12 相应相应(xingyng)(

6、xingyng)齐次线性方程组的基础解系为齐次线性方程组的基础解系为因因此此属属于于特特征征值值12 的的全全部部特特征征向向量量为为)0(222 kk ； 220000113AE,000110113 , 2 11 0第8页/共27页第九页，共28页。10120010112 AE.1, 1, 2321 ，对对13 相应相应(xingyng)(xingyng)齐次线性方程组的基础解系为齐次线性方程组的基础解系为因因此此属属于于特特征征值值13 的的全全部部特特征征向向量量为为)0(333 kk 。 020020111AE,000010111 , 3 101第9页/共27页第十页，共28页。11例

7、例2解解314020112 AE,0)1()2(2 所以所以(suy)A(suy)A的特征值为的特征值为 .1),(221 二重根二重根设设求求A的特征值与特征向量。的特征值与特征向量。,314020112 A第10页/共27页第十一页，共28页。12314020112 AE.1),(221 二重根二重根，对对21 相应相应(xingyng)(xingyng)齐次线性方程组的基础解系为齐次线性方程组的基础解系为,)4,0,1(1T 因因此此属属于于特特征征值值21 的的全全部部特特征征向向量量为为 1140001142AE,000000114 ,)1,1,0(2T 212211,(kkkk 不

8、不全全为为零零) )； 第11页/共27页第十二页，共28页AE.1),(221 二重根二重根，对对12 相应相应(xingyng)(xingyng)齐次线性方程组的基础解系为齐次线性方程组的基础解系为,)1,0,1(3T 因因此此属属于于特特征征值值12 的的全全部部特特征征向向量量为为)0(333 kk . . 414030111AE,000010111 第12页/共27页第十三页，共28页。14 nnnnaaaaaa00022211211 nnnnaaaaaa212221110000 n 00000021 对角阵、上三角对角阵、上三角(snjio)(snjio)

9、阵、下三角阵、下三角(snjio)(snjio)阵，它们阵，它们的特征值即为主对角元。的特征值即为主对角元。 第13页/共27页第十四页，共28页。15性质性质(xngzh)1(xngzh)1( (1 1) ) 设设 是是矩矩阵阵A的的属属于于特特征征值值0 的的特特征征向向量量， 则则对对任任意意常常数数0 k， k也也是是A的的属属于于0 的的特特征征向向量量； ( (2 2) ) 若若 ,都都是是A的的属属于于特特征征值值0的的特特征征向向量量， 则则 lk ),(不不全全为为零零lk也也是是A的的属属于于0 的的特特征征向向量量。 证证 A)( kA)( Ak )(k . )( k A

10、A,)( lkA lAkA lk . )( lk (2) 可推广可推广(tugung)到多个特征向量到多个特征向量.第14页/共27页第十五页，共28页。16 属于属于(shy)(shy)各个特征值的线性无关的向量合在一起各个特征值的线性无关的向量合在一起仍线性无关。仍线性无关。 性质性质(xngzh)2(xngzh)2属于属于(shy)(shy)不同特征值的特征向量线性无关。不同特征值的特征向量线性无关。只证两个特征向量的情况只证两个特征向量的情况.证证, A, A0,0, 则则 )( lkA )()( AlAk 0,kl ( (1 1) ) ( (2 2) )消消去去 , ,得得 ()0,

11、l 0,0,设设 lk， (1)(2),0 l代入代入(1),(1),得得 ,0 k证证得得 ,线线性性无无关关. . 推广推广第15页/共27页第十六页，共28页。17性质性质(xngzh)3(xngzh)3矩矩阵阵A与与它它的的转转置置TA有有相相同同的的特特征征值值。 证证TAE TAE)( ,AE 说说明明A与与TA有有相相同同的的特特征征多多项项式式, , 从而从而(cng r)有相同的特征值有相同的特征值.注意注意(zh y):(zh y):尽尽管管A和和TA的的特特征征值值相相同同，但但一一般般它它们们的的特特征征向向量量是是不不同同的的。 第16页/共27页第十七页，共28页。

12、18性质性质(xngzh)4(xngzh)4设设0 是是矩矩阵阵A的的特特征征值值， 是是相相应应的的特特征征向向量量，则则 证证( (1 1) ) 0 k是是kA的的特特征征值值（k是是任任意意常常数数） ； ( (2 2) ) m0 是是mA的的特特征征值值（m是是正正整整数数） ； ( (3 3) ) 当当A可可逆逆时时, ,00 , ,且且10 是是1 A的的特特征征值值. . 且且 仍然是矩阵仍然是矩阵kA、mA、1 A的相应于特征值的相应于特征值0 k、m0 、10 的特征向量。的特征向量。 0 A(2)()( 0 AAA )(0 A , )(00 ，即即 202 A,303 A重

13、复重复(chngf)这个过程这个过程, 可得可得,.0 mmA 第17页/共27页第十八页，共28页。19性质性质(xngzh)4(xngzh)4设设0 是是矩矩阵阵A的的特特征征值值， 是是相相应应的的特特征征向向量量，则则 证证( (1 1) ) 0 k是是kA的的特特征征值值（k是是任任意意常常数数） ； ( (2 2) ) m0 是是mA的的特特征征值值（m是是正正整整数数） ； 且且 仍然是矩阵仍然是矩阵kA、mA、1 A的相应于特征值的相应于特征值0 k、m0 、10 的特征向量。的特征向量。 0 A(3)()( 011 AAA,10 A, 10 A即即. 101 A( (3 3)

14、 ) 当当A可可逆逆时时, ,00 , ,且且10 是是1 A的的特特征征值值. . 第18页/共27页第十九页，共28页。20例例3设设0 是是矩矩阵阵A的的特特征征值值， 是是相相应应的的特特征征向向量量, , ,)(10ssxaxaaxp 多项式多项式则则)(0 p是是矩矩阵阵多多项项式式)(Ap的的特特征征值值， 仍仍为为相相应应的的特特征征向向量量。 证略证略例如例如, ,矩阵矩阵(j zhn)A(j zhn)A的有一个特征值为的有一个特征值为2,2,则则 EAA323 有一个有一个(y )特征值特征值7.例例4证证 A, 22 A而而AA 2， 2， ,)( 2 ,0 2 .1 0

15、 或或幂等矩阵幂等矩阵(j zhn)若若AA 2, ,则则A的的特特征征值值为为0 0 或或1 1。 第19页/共27页第二十页，共28页。21例例3设设0 是是矩矩阵阵A的的特特征征值值， 是是相相应应的的特特征征向向量量, , ,)(10ssxaxaaxp 多项式多项式则则)(0 p是是矩矩阵阵多多项项式式)(Ap的的特特征征值值， 仍仍为为相相应应的的特特征征向向量量。 证略证略例如例如, ,矩阵矩阵(j zhn)A(j zhn)A的有一个特征值为的有一个特征值为2,2,则则 EAA323 有一个有一个(y )特征值特征值7.例例4幂等矩阵幂等矩阵(j zhn)练习练习:若若EA 2,

16、,则则A的的特特征征值值为为1 或或1 。 若若AA 2, ,则则A的的特特征征值值为为0 0 或或1 1。 第20页/共27页第二十一页，共28页。22若若矩矩阵阵A可可逆逆，且且特特征征值值为为s ,21，求求A的的伴伴随随矩矩阵阵 A的的特特征征值值。 例例5解解EAAA , 1 AAA由性质由性质(xngzh)4, (xngzh)4, A的的特特征征值值为为 ., 2 , 1 ,niAi 事实上，由事实上，由11 iA可得可得1AA A、11.iAA AA 第21页/共27页第二十二页，共28页。23n阶矩阵阶矩阵)(ijaA 的特征多项式的特征多项式 nnnnnnaaaaaaaaaA

17、Ef 212222111211)( 的的最最高高次次项项必必在在 )()(2211nnaaa 中出现中出现,其其余余的的项项 的的次次数数最最高高是是2 n， 故有故有,)()(12211 nnnnaaaf 而常数而常数(chngsh)项等于项等于)0(f所以所以(suy).)1()()(12211Aaaafnnnnn A ,)1(An 第22页/共27页第二十三页，共28页。24Aaaafnnnnn) 1()()(12211 另一方面另一方面, ,设矩阵设矩阵A的特征值是的特征值是s ,21, ,则则 )()()(21nf ,)1()(21121nnnnn 比较比较(bjio)系数得系数得性

18、质性质(xngzh)5(xngzh)5; )1(11 niiiniia . )2(1 niiA niiia1称称为为A的的迹迹，记记为为)(tr A. . 推论推论 方阵方阵A A可逆的充分可逆的充分(chngfn)(chngfn)必要条件是必要条件是A A的特征值全不为零的特征值全不为零. .第23页/共27页第二十四页，共28页。25设设A为为3 3阶阶方方阵阵，7)(tr A， 特特征征值值3, 121 ，求求：另另一一特特征征值值3 ，及及行行列列式式TAAAA,12 。 例例6解解7)(tr321 A ;9321 A;8122 AA;9111 AA.9 AAT;3 3 第24页/共27页第二十五页，共28页。26;)(tr)(tr)(tr )1(BABA ;)(tr)(tr )2(AkkA ;)(tr)(tr )3(AAT . )(tr)(tr )4(BAAB 证略