球面平均法和泊松公式精编版

1、§ 7.2球面平均法和泊松公式一 本节主要思想（ 1）对三维波动方程的初值问题，先假设已知空间某一点M (x, y, z) 的振动 u( x, y, z, t) ，然后以 M 点为发射子波的波源，根据球面波的对称性，可根据加权平均的思想来考察球面SrM 的平均振动 u(r ,t ) ，从而将问题归结为两个自变量的一维波动方程，最后采用极限的思想，令 r0 ，即可得到 M 点的振动 u( x, y, z, t) （ 2）对二维波动方程的初值问题，采用将其上升到三维空间的思想，根据已有的三维波动方程的泊松公式，获得此问题的三维解，再采用降维法，最终获得二维解二 三维波动方程的初值问题，泊

2、松公式三维波动方程初值问题解的泊松公式考察三维波动方程的初值问题：utta2ut 0 ,x , y , z( 1 )u t 0( x, y, z), utt 0( x, y, z)x, y, z( 2 )以M表示以点M ( x, y, z)为心，半径为r 的球面，以d表示S1的面元，则Sr的面元rSdSr 2d注：dsind ddSr 2 ddSr 2 sin dd下面用加权平均的思想（即球面平均法）求函数u( x, y, z,t ) 在球面 SrM 上的平均值 u(r , t ) ：u(r, t)( , , ) SrM ,xr 1,1 sincos, 21M u( , , ,t )dS(3)

3、4 r2sry r 2 , z r 3 ,(4) sin sin , 3 cos (5)注：（ 4）、（ 5）实际上是球的参数方程的表达式（3）式也可写成u(r ,t )1sM u( xr1, y r 2 , z r3 ,t)d ，4r注：由于 dSr 2 sind dr 2d不含 dr , 故可将 12放入积分号中 ，与 r 2 正好约掉r由此可知 uu( x, y, z,t ) ，所以，为了求u 可以先求 ur0下面就来讨论如何求u ：注意到 r( x) 2( y)2(z)2，容易算得1uuru xxrxrr2 ur 2( x)2u ( x) 22 ux2r 3rr 2r 2同理，可求出2

4、 u 和2 u，将他们相加，得到y 2z22u2 u12urr2rr2 ( ru )r注：r(ru )ruur2(ruu)u2 ur2 (ru )r2r2rrr122u2 u所以，r 2 (ru )rrr 2r将方程（ 1）两端取球面平均，即得utta2 ua22(ru )rr 2等式两边同乘以r 得t2 (ru )a22 (ru )0（6）r2注： r 与时间 t 无关，所以可将r放入算子2中t这是关于 ru 的一维波动方程，其通解为ruf1(rat) f2 (r at )（ 7）令 r0 ，得0f1( at )f2 (at )从而知 f1( )f 2 () ，故有ruf1( rat)f 2

5、 ( atr )（ 8）注：的取值范围应是(,0) 我们所关心的是ra t 0 的情况，因为此时表明振动已传至所考察的球面，若2r at0 ，表明振动还未传至所考察的球面，这样就无法考察M 点的振动为求 u，将上式对 r 求导，得r0(ru ) u ruf 2' (rat )f 2' (at r )（9）rr令 r 0，即得u(x, y, z, t) ur2 f '2 (at )（ 10）0所以，为求 u ，只需求 f'2为此将（ 8）式再对 t 求导，得(ru )af2' (rat )f2' (atr ) （ 11）r由（ 9）、（11）两式得(r u)1(r u)22'f(ra t).（ 12）rat在上式中令 t0，并注意到（3）式和初始条件（2）式，即得2 f2' (r)rru()1tru()at014 r= 14rSrMSrMu1ur dSa tSrM r dS t 0dS1dSra tSrMr注意到（ 10）式，在上式