找二面角的平面角的方法汇总

1、第1页共 3 页找二面角的平面角的方法汇总二面角是高中立体几何中的一个重要内容，也是一个难点.对于二面角方面的问题， 学生往往无从下手，他们并不是不会构造三角形或解三角形，而是没有掌握寻找二面角的 平面角的方法.我们试将寻找二面角的平面角的方法归纳为以下六种类型.一、根据平面角的定义找出二面角的平面角例1在60的二面角a-a-E的两个面内，分别有A和B两点.已知A和B到棱的 距离分别为2和4,且线段AB =10 ,试求：(1)直线AB与棱a所构成的角的正弦值；(2)直线AB与平面ot所构成的角的正弦值.分析：求解这道题，首先得找出二面角的平面角，也就是找出6。角在哪儿.如果解决了这个问题，这道

2、题也就解决了一半.根据题意，在平面E内作AD _La；在平面a内作BE a , CD/EB，连结BC、AC.可以证明CD _La，则由二面角的平面角的定义，可知ZADC为二面角a - a-E的平面角.以下求解略.二、根据三垂线定理找出二面角的平面角例2如图，在平面E内有一条直线AC与平面0成30 AC与棱BD成45=,求平 面a与平面P的二面角的大小.分析：找二面角的平面角， 可过A作AF_LBD ; AE_L平面-可a,连结FE .由三垂线定理可证BD _L EF ,则NAFE为二面角/V/的平面角.：总结：(1)如果两个平面相交， 有过一个平面内的一点与另一个平面垂直的垂线， 可过这一点向

3、棱作垂线，连结两个垂足.应用三垂线定理可证明两个垂足的连线与棱垂直，那么就可以找到二面角的平面角.(2)在应用三垂线定理寻找二面角的平面角时，注意“作”、“连”、“证”，即“作AF _L BD”、“连结EF”、“证明EF _L BD三、作二面角棱的垂面，垂面与二面角的两个面的两条交线所构成的角，即为二面角_的平面角W如图1,已知P为二-CD-E内的一点，PAa于A点，PB1 P于B点，如 果ZAPB = n试求二面角a -CD- 的平面角.第2页共 3 页分析:PA : = PA _ CDPB - = PB _ CD=CD上平面PAB.PB上 口 nPB _LCD因此只要把平面PAB与平面a、

4、P的交线画出来即可.证明/AEB为。-CD -E的平面角，NAEB =180一一n -(如图2).注意：这种类型的题，如果过A作AE_LCD ,垂足为E ,连结EB ,我们还必须证明图2第3页共 3 页EB_LCD ,及AEBP为平面图形，这样做起来比较麻烦.例4已知斜三棱柱ABC-ABG中，平面AB1与平面AC1构成的二面角的平面角为30，平面ABi与平面BCi构成的二面角为70.试求平面ACi与 平面BC1构成的二面角的大小.7?分析：作三棱柱的直截面，可得DEF ,A产其三个内角分别为斜三棱柱的三个侧面两两 构成的二面角的平面角.二总结：对棱柱而言，其直截面与各个侧棱的交点所形成的多边舟

5、形的各个内角，分别为棱柱相邻侧面构成的二面角的平面角.,J%，四、平移平面法例5如图，正方体ABCD - AiBiCiDi中，E为AA的中点，H为CCi上的点，且CH : GH=i：2.设正方体的棱长为a,求平面DiEH与底面AiBiCiDi构成的锐角的正切.分析：本题中，仅仅知道二面角棱上的一点Di,在这种情况下，寻找二面角的平面角较困难.根据平面平移不改变它与另一个平面构成的角的大小的原理，如果能把二面角中的一个平面平移，找出辅助平面与另一个平面的交线，就可以作 出二面角的平面角.有了平面角之后，只需要进行常规构造三角 形和解三角形的计算，就可以解决问题了.如图，过点E作EM /AiDi与

6、DD相交于M点，过M点 作MLCiDi，与DiH相交于N点.可证平面EMN /平面BiCiDi.这样，求平面DEH与平面AiBiCiDi的二面角的平面角就转化为求平面DiEH与平面EMN的二面角的平面角.显然线，过点M作MF_LEN ,F为垂足，连结DF ,可证DF_LEN.则ZDiFM为本题 要寻找的二面角.五、找垂面，作垂线例6如图，正方体ABCD - AiBiCiDi中，M为棱AD的中点，求平面BiCiCB和平面BCiM所构成的锐二面角的正切.分析：平面AC与二面角M -BCi-C的一个面BC垂直，与另一个平面MBCi相交，过M点作MP_LBC ,垂足为P，过P作PN_LBC，交BCi于

7、N点，连结MN，由三垂线定理可证MN_LBCi,则ZMNP为二面角M - BCi-C的平面角.总结：当一个平面与二面角的一个平面垂直，与另一个平 面相交时，往往过这个面上的一点作这两个垂直平面交 线的垂线，再过垂足作二面角棱的垂线.根据三 垂线定理即可证明，并找出二面角的平面角.再如图，要找a - a-E所构成的二面角的平面角，可找平面，且口=b , VClp=| ,过b上任何一点A作AB_L|,垂足为B，过B作BC,垂足为C，连结AC，可证NACB为ct - a - E的平面角.六、根据特殊图形的性质找二面角的平面角i.三线合一例7如图，空间四边形ABC D中，AB=AD=3, BC=CD=

8、4, BD=2, AC=5.试求A-BD-C二面角的余弦值.分析：如图i,AB= AD , BC=CD ,则ABD和BDC为等腰 三角形.过A作AE _L BD ,垂足为E ,连结CE .根据三线合一，且E为EN为这两个平面的交第4页共 3 页BD中点，可证CE _L BD，贝U ZAEC为二面角A-BD -C的平面角.2.全等三角形S8祈曲已知空间四边形ABCD , AB = BC = 6 , AD = DC = 4 , BD = 8 ,AC =6.试求A-BD -C的余弦值.分析：过A作AE_LBD ,垂足为E，连结CE .根据已知条件， AED和CED全等，可证CE _L BD ,则ZA

9、EC为二面角A-BD-C的平面角.3.二面角的棱蜕化成一点例9如图，四棱锥A-BCED中，DB和EC与面ABC垂直， ABC为正三角形.（1）若BC = EC=BD时，求面ADE与面ABC的夹角；（2）若BC = EC =2BD时，求面ADE与面ABC的夹角.分析：如图，面ADE与面ABC的交线蜕化成一点，但面由ADE与面ABC与面DC相交.如果三个平面两两相交， 它们可 /能有三种情况：（1）交线为一点；（2）一条交线；（3）三条交线互相平行.在图1中，两条交线BC与DE互相平行，所以肯定有过A且平行于DE的一条交线.X/ZJ /可过A作AM / DE，平面ADE与平面ABC的交线即为 /、!/AM .过A作AN_LDE于N ,过A作AF_LBC于F .可证BAN _L AM ,AF_LAM，则NNAF为面ADE与面ABC的夹角.如图，DE与BC不平行且相交.根据三个平面两两相交可能出现的三种情况，这三个 面的交线为一点.延