第二章系统的数学模型-机械工程控制基础-教案(共7页)

1、精选优质文档-倾情为你奉上Chp.2 数学模型  基本要求(1) 了解数学模型的基本概念。能够运用动力学、电学及专业知识， 列写机械系统、电子网络的微分方程。(2) 掌握传递函数的概念、特点， 会求传递函数的零点、极点及放大系数。(3) 能够用分析法求系统的传递函数。(4) 掌握各个典型环节的特点， 传递函数的基本形式及相关参数的物理意义。(5) 了解传递函数方框图的组成及意义； 能够根据系统微分方程，绘制系统传递函数方框图，并实现简化，从而求出系统传递函数。(6) 掌握闭环系统中前向通道传递函数、开环传递函数、闭环传递函数的定义及求法。掌握干扰作用下，系统的输出及传递函数的求法和特

2、点。(7) 了解相似原理的概念。(8) 了解系统的状态空间表示法。重点与难点本章重点(1) 系统微分方程的列写。(2) 传递函数的概念、特点及求法； 典型环节的传递函数。(3) 传递函数方框图的绘制及简化。  本章难点(1) 系统微分方程的列写。(2) 传递函数方框图的绘制及简化。  数学模型：用以描述系统动态特性的数学表达式。微分方程（最基本，时域）差分方程传递函数（基本数学工具，复数域）状态方程频率特性（便于实验获得，频域）   如何建立数学模型？（1）初步建立：用物理学、力学知识。（2）验证：理论和实验方法获得较精确的数学模型。 

3、; §1 微分方程 1、  一般表达式：   若ai、bj为常数线性定常系统；    ai、bj是t的函数线性时变系统；ai、bj依赖于xo，xi线性时变系统。2、  叠加原理：线性系统满足设xi1(t)xo1(t)    xi2(t)xo2(t)则a1xi1(t)+a2 xi2(t) b1x01(t)+b2 x02(t)各输入产生的输出互不影响。分析多输入的总输出时，可单独分析单输入产生的输出，然后将输出量叠加。系统干扰N(S)也可以看作一种输入。按线性

4、叠加原理：N(s)=0时，Xi(s)=0时，同时作用：    x0(s)几乎仅跟随xi (s)变化，N(s)影响很小。若H(s)=0，则x02(s)=G2(s) N(s) 很大若系统参数变化，对系统的影响如同干扰。 §2  传递函数 传递函数是经典控制理论中对线性系统进行研究、分析与综合的基本数学工具是在Laplace变换基础上建立起来的一种数学模型。对微分方程进行Laplace变换可将其化为代数方程。    表达的数学模型更直观，物理意义更明确；    将实数域的

5、微积分运算复数域的代数运算；    有时无须解题，直接在G(S)基础上导出系统的某些动态特性；  在G(S)基础上直接导出G( )，进行频域法分析。 一、概念对线性微分方程：   设初始条件为0 （t <0时，xi、x0及各阶导数均为0）对微分方程L变换：  定义：系统的传递函数G(S)为：  讨论： （1）G(S)代表系统本身固有特性，与输入量大小及性质无关； （2） G(S)可以无量纲； （3）nm  原因：实际系统总有惯性；

6、 （4）不同系统可用同一G(S)表达； （5）系统G(S)可化为各环节Gi(S)的组合。 二、开环与闭环系统的传递函数定义：前向通道传递函数                       反馈回路传递函数               

7、;            开环传递函数     闭环传递函数    推导如下：讨论 （1）Gk(S)无量纲， GB(S)可有可无量纲；     （2）相加点B(S)为负，分母处为正“+”          相加点B(S)为正，分母处为正“-”；     （3）

8、若H(S)=1（单位反馈系统）则 三、干扰作用的G(S)系统干扰N(S)也可以看作一种输入。按线性叠加原理：    N(s)=0时，     Xi(s)=0时，      同时作用：         x0(s)几乎仅跟随xi (s)变化，N(s)影响很小。         若H(s)=0，则x02(s)=G2

9、(s) N(s) 很大         若系统参数变化，对系统的影响如同干扰。 四、零点和极点   对  （因式分解，l为常数）零点：使G(s)=0的zj (j=1、2、m)极点：使G(s)=的pi (j=1、2、n)讨论：（1）闭环G(s)的极点就是闭环系统特征方程的根。     （2）极点pi均在复平面的左半平面内，则系统是稳定的。 五、环节的串并联   复杂系统可划分成多环节组成，一般将复杂系统划分成

10、零、一阶、二阶典型环节的串并联组合。1、  环节串联：  对n个环节串联2、  环节并联：对n个环节并联如何划分环节？环节划分取决于组成系统的各物理元件（或环节、子系统）是否有负载效应。可能几个物理元件的特性才组成一个传递函数的环节。可能一个物理元件的特性分散在几个传递函数元件之中。 §3、典型环节的传递函数   将复杂系统化成典型环节Gi(s)的串并联组合，就容易获得整个系统的G(s)。一、比例环节（放大，零阶）动力学方程：x0(t)=kxi(t)  x0不失真、不延迟、按比例反映xi。 二、惯性环节（

11、一阶惯性环节）：微分方程：Tx+x0=kxi    惯性的含义：系统中含有储能元件（L、C、阻尼C、弹簧k）其输出落后于输入，由时间常数决定。三、微分环节：xo(t)=Txi(t) 输出正比于输入的微分   G(s)=Ts不能单独存在，只能与其它环节共存。微分环节的作用：（1）使输出提前：（预测输入）（2）增加系统的阻尼：          （3）强化噪声作用：对噪声也能预测，对噪声灵敏度提高，增大了因干扰引起的误差。四、积分环节：    （零输

12、入条件）五、振荡环节（二阶振荡环节）：          振荡环节是二阶环节中的01运动方程：Tx0+T0x0+x0=kxi           n:无阻尼固有频率，T=1/n ：时间常数，阻尼比01六、延时环节：x0(t)=xi(t-)  输出滞后输入，但不失真，一般不单独存在。滞后原因：如启动时要克服摩擦力、内应力、液压气动管长。延时一般由实验测得。  因为   所以  延

13、时环节与惯性环节的区别：延时环节较小时，按泰勒展开后近似为惯性环节。区别：惯性环节：一旦有输入便立刻有输出，但需延时才能接近所需要的输出量；延时环节：一旦有输入，不会立刻有输出，需延时才有输出，而输出会立刻不失真地反映输入。死区与惯性环节：机械传动副的间歇引起死区。 相同点：在输入开始一段时间后才有输出。不同点：延时环节的输出完全等同于从一开始起的输入。死区，输出只反映同一时间的输入的作用，而对死区段的输入作用，其输出无任何作用。注意：选择不同输入、输出量可改变G(s)的形式，但不会改变系统本身的固有动态特性。 §4、G(s)框图 系统特性可用微分方程或

14、传递函数表示，也可用框图表示。每个框内是该环节的传递函数，按信号流向用箭头联系，便组成整个系统的传递函数框图。优点： 便于评价各环节对系统的影响；      利用框图简化，很方便列写整个系统的传递函数；      形象反映各环节、各变量之间的关系。框图变换与化简：    实际系统多为大环套小环的多回路复杂系统G(s)框图。     变换：a)某些框图作位置上的变换；           b)增加或取消一些框图。1、  变换原则：变换前后系统等效（输入、输出不变）     分支点：信号由一点分开的点。前移：分支回路上串入具有相同函数的框图；后移：分支回路上串入具有相同函数倒数的框图。