信号系统复习大纲

1、信号与系统复习大纲（2015）第一章 信号与系统一、周期信号和非周期信号周期信号是定义在(-，)区间，每隔一定时间T (或整数N），按相同规律重复变化的信号。其特点是：周而复始且无始无终。连续周期信号f(t)满足：离散周期信号f(k)满足：满足上述关系的最小T(或整数N)称为该信号的周期。不具有周期性的信号称为非周期信号。例1.2.2：判断下列各序列是否为周期性的，如果是周期性的，确定其周期。（1） （2） （3）解：（1），是周期序列，周期。（2），即：为有理分数，所以是周期序列，周期，当M5时，N取最小整数12，所以，其周期。（3），而为无理数，所以，是非周期序列。例1.2.3：判断下列信

2、号是否为周期信号，若是，确定其周期。（1） （2）解：两个周期信号，的周期分别为和，若其周期之比为有理数，则其和信号仍然是周期信号，其周期为和的最小公倍数。（1）是周期信号，其角频率和周期分别为，是周期信号，其角频率和周期分别为，。由于为有理数，故为周期信号，其周期为和的最小公倍数。（2）和的周期分别为，由于为无理数，故为非周期信号。例1.2.4：判断下列序列是否为周期信号，若是，确定其周期。（1） （2）解：（1）sin(3k/4) 和cos(0.5k)的数字角频率分别为：，由于，为有理数，故它们的周期分别为，故为周期序列，周期为N1和N2的最小公倍数8。（2）sin(2k)的数字角频率为，

3、由于为无理数，故为非周期序列。由上面几例可看出：连续正弦信号一定是周期信号，而正弦序列不一定是周期序列。两连续周期信号之和不一定是周期信号，而两周期序列之和一定是周期序列。二、能量信号与功率信号将信号f (t)施加于1电阻上，它所消耗的瞬时功率为，在区间(,)的能量和平均功率定义为：（1）信号的能量E：（2）信号的平均功率P：Ø 若信号f (t)的能量有界，即0<E <，则称其为能量有限信号，简称能量信号，此时P=0。Ø 若信号f (t)的功率有界，即P <，则称其为功率有限信号，简称功率信号。此时E=。相应地，对于离散信号f（k），也有能量信号、功率信号

4、之分。满足：为有限值（即能量有限）的离散信号，称为能量信号；满足为有限值（即功率有限）的离散信号，称为功率信号。注意：² 仅在有限时间区间不为零的信号（即时限信号）是能量信号，如1.2.1（b）的信号、单个矩阵脉冲信号等。这些信号平均功率为0，所以只能从能量角度去考察。² 直流信号、周期信号、阶跃信号等都是功率信号，其能量无限，只能从功率的角度去考察。² 一个信号不可能既是能量信号又是功率信号。² 少数信号既不是能量信号，也不是功率信号，如。例1.2.5 判断下列信号是能量信号还是功率信号？ （1） （2）解：（1）故信号为能量信号（2）（根据函数趋于的

5、快慢求解为P）由快到慢的顺序依次为，本题中E为指数函数，而1/2t=(2t)-1为幂函数，所以，P故信号是一个既非能量信号又非功率信号。三、信号的基本运算（一）加法和乘法两信号f1(·) 和f2 (·)的相+、×指同一时刻两信号之值对应相加减乘。（二）翻转和平移1、反转：定义：将信号f (t)或f(k)中的自变量t(或k)换为-t（或-k），即：f(t)f (t)，f (k)f (k)称为对信号f (·)的反转或反折。几何意义：将信号f (·)以纵坐标为轴反转180度。2、平移定义：将信号f(t)或f(k)的自变量t(k)换为t-t0（或k-k

6、0），即：f(t)f(tt0)，f(k)f(tk0)称为对信号f (·)的平移或移位几何意义：将信号f(·)沿横坐标左右移动。若t0 (或k0)>0，则将f(·)右移；否则左移。结论：1、连续信号和离散信号均可进行反转、平移操作。2、平移方向的确定：法一：若t0 (或k0) >0，则将f (·)右移；否则左移；法二：自变量整体置零。f(t)12Ot例1.3.3：已知：求：f（2-t）解：法一： 先平移f (t)f (t +2) 再反转f (t +2)f (-t +2)t-21f(t+2)0t021f(2-t)f(t)12Ot左移2单位反转0法

7、二： 先反转再平移：故意直接对-t 进行平移（因为-t+2-t-（-2），t0-2<0，所以，左移两个单位）f(t)12Otf(-t)tO-21反转tf(-t)O-21-4因为-t+2-t-（-2），t0-2<0，故左移2个单位从而引出：操作是对自变量 t 进行的 。 正确做法：先反转f (t)f (-t)； 再平移f (-t)f (-t +2) = f-(t-2)，如下图：t012f(t)t0-21f(-t)t021f(2-t)反转右移2个单位（三）尺度变换（横坐标展缩）定义：将信号f（t）的自变量t用变量at（a为非零常数）代替，即：f (t) f (at)称为对信号f (t)

8、的尺度变换。几何意义：将信号f（t）沿横坐标展宽或压缩。若a>1，则波形沿横坐标压缩到原来的1/a；若0< a < 1 ，则展宽至原来的1/a；结论：1、如果f(t)变为f(at)，则跟原信号的变换比例为1/a；2、尺度变换只针对横坐标，与纵坐标无关；例1.3.4：已知f（t），求f(2t)、(t/2)。例1.3.5 已知f (t)，画出f (-4-2t)。解： 法一、平移、反转、尺度变换：f(t)1-220t1t2460f(-4t)t-2-4-610f(-4t)0t-1-3-21f(-42t)右移4个单位压缩1/2反转例1.3.6 已知f (42t)，画出f(t)。反转，得

9、f (2t 4)展开，得f (t 4)左移4，得f (t)小结：三种运算的次序可任意，但一定要注意始终对时间t进行操作。知识点梳理：1、两信号做加、乘法时，同一瞬时两函数值对应相加/乘。2、信号做反转时，以纵坐标为轴反转所有函数值。3、信号做平移时，通过整体自变量置零，判断移动方向。4、信号做尺度变换时，是其在横坐标上的整体压缩或展宽，与纵坐标无关。5、尺度变换的比例是1/a，而不用管是压缩还是扩展。6、离散信号一般不进行尺度变换。7、平移、反转、尺度变换综合运用时，有六种方法可采用，但一定要注意所有的变换都是对自变量（如:t）而言的。四、阶跃函数和冲激函数1、阶跃函数定义：图1.4.2 信号

10、波形2、阶跃函数性质：（1）可方便地表示某些信号；如图1.4.2信号可以表示为：直接写出表达式的方法：从左向右走，遇到跃变时间点，则在该时间点处有一个阶跃函数。向上跃变幅值为多少，其阶跃函数前面的系数就是多少；向下跃变的幅值是多少，则阶跃函数前的系数为负的多少。（2）用阶跃函数表示信号的作用区间图1.4.4 冲激信号3、冲激函数定义4、冲激函数的导数（也称冲激偶）5、冲激函数性质 例1.4.1 计算下列各题。（1） （2） （3） （4）解：（1）法一：，由式（1.4-23）有：（2），由式（1.4-24）：（3）时，；时，。积分区间包含0，由式（1.4-24）：得： （4）当，即时，；当，即

11、时，。而积分区间为（-3，0），不包含1，故，所以积分为0。五、系统的描述已知描述系统的框图，列写其微分方程或差分方程的一般步骤是：（1）选中间变量。对于连续系统，设最靠近系统输出端的积分器的输出设为x(t)；对于离散系统，设最靠近系统输入端的延迟单元的输入设为x(k)。（2）写出各加法器输出信号的方程。（3）消去中间变量。例1.5.2：已知框图，写出系统的微分方程。x(t)x(t)x”(t)解：注意从加法器的输入、输出入手写方程。如图设辅助变量。注意：对微分方程(连续系统)，辅助变量的设置方法为：将最靠近系统输出端的积分器的输出设为x(t)。即：由此，可以得：所以得：（纵向相加即可，上式的系

12、数根据f(t)的关系式系数确定）例1.5.3：已知框图，写出系统的差分方程。x(k)x(k-1)x(k-2)解：注意从加法器的输入、输出入手写方程。如图设辅助变量。注意：对差分方程(离散系统)，辅助变量的设置方法为：将最靠近系统输入端的延迟单元的输入设为x(k)。 即： 由此可得：所以得：（纵向相加即可，上式的系数根据f(k)的关系式系数确定）根据LTI系统的线性和时不变性，有一类类似于作业题1.27或1.29的题目：1.27某LTI连续系统，其初始状态一定，已知当激励为时，其全响应为：。若初始状态不变，激励为时，其全响应为：。求初始状态不变而激励为时系统的全响应。解：因为LTI系统，所以，满

13、足可分解特性和零输入、零状态线性。联立求解有：1.29某二阶LTI连续系统的初始状态为和，已知：当，时，其零输入响应为；当，时，其零输入响应为；当，而输入为时，其全响应为。求当，输入为时的全响应。解：设输入为时的零状态响应为，有：故有：所以，所求系统全响应为：。第二章 连续系统的时域分析一、LTI连续系统的响应1、微分方程的经典解设f(t)是单输入-单输出系统的激励，y(t)为响应，则描述LTI连续系统激励与响应之间关系的数学模型是n阶常系数线性微分方程：即：式中aj（j0,1,m）均为常数，an1。该微分方程的经典解：齐次解是齐次微分方程的解。齐次解yh(t)的函数形式由微分方程的特征根确定

14、，仅与系统本身的特性有关，而与激励f(t)的函数形式无关，称为系统的固有响应或自由响应。特解的函数形式与激励函数的形式有关。它的函数形式由激励确定，称为强迫响应。2、零输入响应LTI系统完全响应y(t)也可分为零输入响应和零状态响应。零输入响应是激励为零时仅由系统的初始状态x(0)所引起的响应，用yzi(t)表示。在零输入条件下，微分方程式等号右端为零，化为齐次方程。即若其特征根均为单根，则其输入响应：式中，Czij为待定常数。由于输入为零，故初始值y(j)zi(0+)y(j)zi(0-)y(j) (0-)，(j=0,1,2,.,n-1)由初始状态即可确定各待定常数。若特征根不是单根，则根据表

15、2-1写出响应，然后，确定响应中的待定常数即可。3、零状态响应零状态响应是系统的初始状态为零时，仅由输入信号f(t)引起的响应，用yzs(t)表示。这时，微分方程仍是非齐次方程，即初始状态y(j)zs(0-)0。若微分方程的特征根均为单根，则其零状态响应为式中，Czsj为待定常数，yp(t)为方程的特解。4、冲激响应由单位冲激函数(t)所引起的零状态响应称为单位冲激响应，简称冲激响应，记为h(t)。5、阶跃响应由单位阶跃函数(t)所引起的零状态响应称为单位阶跃响应，简称阶跃响应，记为g(t)。6、全响应如果系统的初始状态不为零，在激励f(t)的作用下，LTI系统的响应称为全响应，它是零输入响应

16、和零状态响应之和，即：其各阶导数为：对上式，t=0-也成立，故有 (1)对于零状态响应，在t=0-时刻激励尚未接入，故应有y(j)zs(0-)0 (2) 对于零输入响应，由于激励为零，故有y(j)zi(0+)y(j)zi(0-)y(j) (0-) (3)根据给定的初始状态（即0-值），利用式（1）、（2）、（3）及前述由0-值求0+值的方法，可求得零输入响应和零状态响应的0+值。综上所述，LTI系统的全响应可分为自由（固有）响应和强迫响应，也可分为零输入响应和零状态响应。若微分方程的特征根均为单根，它们的关系是注：零输入响应为第一项，零状态响应为后两项；自由响应为前两项，强迫响应为后一项。式中

17、：即：可见，两种分解方式有明显的区别。虽然自由响应和零输入响应都是其次方程的解，但二者系数各不相同，仅由系统的初始状态所决定，而要由系统的初始状态和激励信号共同确定。在初始状态为零时，零输入响应等于零，但在激励信号的作用下，自由响应并不为零。也就是说，系统的自由响应包含零输入响应以及零状态响应的一部分。例2.1-7 描述某LTI系统的微分方程为已知y(0-)=2,y(0-)=1,求该系统的零输入响应、零状态响应和全响应。解：（1）零输入响应yzi(t)满足方程，【y(j)zi(0+)y(j)zi(0-)y(j) (0-)】其0+值：yzi(0+)yzi(0-)y (0-)2，yzi(0+)yz

18、i(0-)y(0-)1。根据特征方程可得特征根为：，故零输入响应 （1）将初始值代入上式及其导数得由上式可解得。将它们代入（1）式，得系统的零输入响应为： （a1）（2）零状态响应yzs(t)是初始状态为零，且时，描述系统的微分方程的解，即yzs(t)满足方程： （2）初始状态：y(j)zs(0-)0。先求yzs(0+) yzs(0+)，由于式（2）等号右端有，令yzs”(t)a(t)+r0(t)（3）对上式等号两端从-到t积分，得：yzs(t)r1(t)（4）yzs(t)r2(t)（5）将三式（3）（4）（5）代入式（2），得：所以，a2。对（3）（4）两端从0-到0+积分，并考虑到，可求得

19、。对于t>0，式（2）可写为，不难求得齐次解为，特解为3（2P=6）。于是有 （6）将初始值代入上式及其导数，得：，将其代入式（6），得系统的零状态响应为 (a2)（3）全响应y(t)由式(a1)、(a2)可得系统的全响应为 其中，为自由响应，3为强迫响应（即特解）。例2.1-8描述某LTI系统的微分方程为若已知y(0+)=3，y(0+)=1，求该系统的零输入响应和零状态响应。解：本例中已知的是0+时刻的初始值，即 （1） 按上式无法区分零输入响应和零状态响应在t=0+时的值。此时，可先求零状态响应。由于零状态响应是指y(j)zs(0-)0时方程的解，因此本例中的零状态响应的求法和结果与

20、例2.1-7相同，即由上式及其导数可求得，将它们代入到式（1）得：。本例中，零输入响应的形式也和例2.1-7相同，即：将初始值代入，有由上式解得，于是得该系统的零输入响应为：二、卷积积分1、定义一般地，已知定义在区间（-，）上的两个函数f1(t)和f2(t)，则定义积分为f1(t)与f2(t)的卷积积分，简称卷积。记为LTI系统的零状态响应是激励与冲激响应的卷积积分，即：例2.3-2 设。求卷积积分 （1） （2） 解：（1）对于，当时为零，故其积分下限可写为：0；对于，当，即：时为零，故其积分上限可写为：t；同时，考虑到时，故有：由于积分上限应该大于积分下限，故上式在t>0时成立，故应

21、写为：（2）对于，当时为零，故其积分下限可写为：0；对于，当，即：时为零，故其积分上限可写为：t-2；故有：由于积分上限应该大于积分下限，故上式在t-2>0时成立，故应写为：2、图解法卷积过程可分解为四步：（1）换元： t换为得f1()， f2()（2）反转平移：由f2()反转 f2()右移t f2(t-)（3）乘积： f1() f2(t-)（4）积分： 从到对乘积项积分，即：计算积分注意：t为参变量。3、卷积积分的性质交换律： f1(t)* f2(t) =f2(t)* f1(t)（2.4-1）分配律： f1(t)* f2(t)+ f3(t) =f1(t)* f2(t)+ f1(t)*

22、f3(t) （2.4-2）结合律： f1(t)* f2(t)* f3(t) =f1(t)* f2(t) * f3(t) （2.4-3）（2.4-4）（2.4-5）（2.4-6）（2.4-7）若则（2.4-8）若：则：（2.4-14）若：则：（2.4-15）f1()=f2()=0时，（2.4-16a）（2.4-17）2.24某LTI系统的冲激响应，当输入为时，其零状态响应，求输入信号。解：法一：时域法（卷积法） 特征根为=-2，激励，其指数为-1-2 设特解为P代入微分方程有：P=1，即特解为：齐次解设为：，则全解为：=0（因为此时f(t)未接入系统） =0=C+1 C=-1 法二：复频域法，时

23、域卷积对应于复频域乘积，故有：，解得：，求得其逆变换为：第四章 傅里叶变换和系统的频域分析一、（周期信号的）傅里叶级数1、三角形是傅里叶级数： 1）f(t)为偶函数纵坐标对称，(bn=0，展开为余弦级数，包含直流分量)2）f(t)为奇函数对称于原点，（an =0，展开为正弦级数，不含直流分量）3）f(t)为奇谐函数f(t) =-f(t±T/2)（即：f(t)前半周期平移T/2后，与后半周期波形相对于横坐标对称）。只含奇次谐波分量，不含偶次谐波分量。4）f(t)为偶谐函数f(t) = f(t±T/2)（f(t)前半周期平移T/2后与后半周期重合）。只含偶次谐波分量，而不含奇次

24、谐波分量。2、指数形式傅里叶级数：3、周期信号的频谱将An和的关系分别画在以为横轴的平面上得到的两个图，分别称为幅度（振幅）频谱图（简称幅度谱）和相位频谱图（简称相位谱）如图4.3-1（a）、（c）所示。在频谱图中代表各谐波分量振幅和相位的垂线称之为谱线，每一根谱线所在位置的n值即为该次谐波的角频率。连接各谱线顶点的曲线（如图中虚线所示）称为包络线，它反映了各分量幅度随频率变化的情况。因为三角形式的傅立叶级数展开式中n0，故其振幅及相位谱仅在频谱图的右半平面，所以称这种频谱为单边谱。而指数形式傅立叶级数的展开式中n可以取任何整数，因此频谱图两侧都有谱线存在，故称之为双边幅度谱，即画出|Fn|和

25、的关系，如图4.3-1（b）、（d）所示。（其中|Fn|=|F-n|=An/2）。若Fn为实数，也可直接画Fn（此时用Fn的正负来表示相位为0或），此时常将幅度谱和相位谱画在一张图上（参看图4.3-3）。由图可见，周期信号的谱线只出现在频率为等离散频率上，即周期信号的频谱是离散谱。周期信号频谱的特点：1)周期信号的频谱具有谐波(离散)性，谱线位置是基频的整数倍；2)一般具有收敛性，总趋势减小；3）谱线的结构与波形参数的关系：(a) T一定，变小，此时（谱线间隔）不变。两零点之间的谱线数目：1/=（2/）/(2/T)=T/ 增多。(b) 一定，T增大，间隔减小，频谱变密，幅度减小。如果周期T无限

26、增长（这时就成为非周期信号），那么，谱线间隔将趋近于零，周期信号的离散频谱就过渡到非周期信号的连续频谱。各频率分量的幅度也趋近于无穷小。二、非周期信号的频谱傅里叶变换1、傅里叶变换定义式（4.4-4）称为函数f (t)的傅里叶变换（积分），式（4.4-5）称为函数F(j)的傅里叶逆变换（或反变换）。F(j)称为f(t)的傅里叶变换或频谱密度函数，简称频谱，而f(t)称为F(j)的傅里叶反变换或原函数。也可简记为或F(j)一般是复函数，写为式中|F(j)|和分别是频谱函数F(j）的模和相位。R()和X()分别是它的实部和虚部。说明：(1)前面推导并未遵循严格的数学步骤。可证明，函数f(t)的傅里

27、叶变换存在的充分条件但非必要条件是在无穷区间内f(t)绝对可积，即：(2)用下列关系还可方便计算一些积分2、常用函数的傅里叶变换3、傅里叶变换的性质表4-2 傅立叶变换的性质名称时域频域定义线性奇偶性f(t)为实函数f(t)为虚函数反转对称性尺度变换时移特性频移特性卷积定理时域频域时域微分时域积分频域微分频域积分相关定理R12()R21()F R12() = F1(j) F2*(j) F R21() =F1*(j) F2(j)4、周期信号的傅里叶变换 （4.7-8）周期信号fT(t)的傅立叶系数Fn与其第一个周期的单脉冲信号频谱F0(j)关系为：三、LTI系统的频域分析1、频率响应Y(j)=H

28、(j)F(j) （4.8-3） （4.8-4） （4.8-5）2、无失真传输所谓信号无失真传输是指系统的输出信号与输入信号相比，只有幅度的大小和出现时间的先后不同，而没有波形上的变化。即输入信号为f(t)，经过无失真传输后，输出信号应为即输出信号的幅度是输入信号的K倍，而且比输入信号延时了td秒。其频谱关系为： 系统要实现无失真传输，对系统h(t)，H(j)的要求是：(a) 对h(t)的要求：(b) 对H(j)的要求：，即四、取样定理所谓“取样”就是利用取样脉冲序列s(t)从连续信号f(t)中“抽取”一系列离散样本值的过程。这样得到的离散信号称为取样信号，记为fs(t)： 冲激取样：现在以冲激

29、取样为例，研究如何从取样信号恢复原信号并引出取样定理。设有冲激取样信号，其取样角频率（为原信号的最高角频率）。及其频谱如图4.9-5(d)和(a)所示。为了从中无失真地恢复，选择一个理想低通滤波器，其频率响应为幅度为，截止角频率为，即：如图4.9-5(b)所示。由图4.9-5(a)、(b)、(c)可见即恢复了原信号的频谱函数。时域取样定理：一个频谱在区间（-wm，wm)以外为0的带限信号f(t)，可唯一地由其在均匀间隔Ts Ts1/(2fm) 上的样点值f(nTs)确定。 注意：为恢复原信号，必须满足两个条件：（1）f(t)必须是带限信号，其频谱函数在处处为零；（2）取样频率不能太低，必须fs

30、2fm，或者说，取样间隔不能太大，必须Ts1/(2fm)，否则将发生混叠。通常把最低允许的取样频率fs=2fm称为奈奎斯特（Nyquist)频率；把最大允许的取样间隔Ts=1/(2fm)称为奈奎斯特间隔。例：若对f(t)进行理想取样，其奈奎斯特取样频率为fs，则对进行取样，其奈奎斯特取样频率为多少？解：奈奎斯特取样频率fs=2fm，为解决本题，需先求的最大频率fm。根据傅里叶变换性质：尺度变换时移特性得到：若原信号的最大频率为fm，则，即频域发生了展宽，展宽倍数为2，故其最大频率为：2fm，因此，其奈奎斯特频率为2fs例：已知信号f(t)=Sa(2t)，如图(a)所示，用对其进行取样。 (1)

31、确定奈奎斯特取样角频率； (2)若取ws=6wm，求取样信号fs(t)=f(t)T(t),并画出波形图； (3)求Fs(j)=Ffs(t)，并画出频谱； (4)确定低通滤波器的截止频率。（中科院2003年考研题）解:(1)确定奈奎斯特取样角频率；故，奈奎斯特取样角频率为wsmin=2wm=2×2=4(rad/s) (2) 取ws=6wm ,求取样信号fs(t)=f(t)T(t),并画出波形图；而ws=6wm=6×2=12rad/s，故:所以，(3) 求Fs(j)=Ffs(t)，并画出频谱；法一：直接对取样信号fs(t)进行傅氏变换；法二：对f(t)和T(t)进行傅氏变换，根

32、据频域卷积定理求解。(采用此法)(4) 确定低通滤波器的截止频率。 截止频率应满足：wmwcws- wm，即：2rad/swc10rad/s。 第五章 连续系统的S域分析一、拉普拉斯变换1、双边拉普拉斯变换结论：（双边拉普拉斯变换）1）对于双边拉普拉斯变换而言，Fb(S)和收敛域一起，可以唯一地确定f(t)。即：2）不同的信号可以有相同的Fb (S)，但他们的收敛域不同；不同信号如果有相同的收敛域，则他们的Fb (S)必然不同！2、单边拉氏变换1）定义：单边拉普拉斯变换对可写为：2）典型变换对；常用的单元信号的拉氏变换如下表所示。f(t)F(s)f(t)F(s)f(t)F(s)13、拉普拉斯变

33、换的性质表5-1 单边拉普拉斯变换的性质注：（0为收敛坐标）名称时域 f(t)F(s) s域定义线性a1f1(t)+a2f2(t)a1F1(s)+a2F2(s)，=Res>max(1,2)尺度变换f(at) (1/a)F(s/a)，=Res>a0时移f(t-t0)(t-t0)e-st 0F(s) , =Res>0复频移，=Res>0+a时域微分f (t) sF(s) f(0-)，=Res>0时域积分，=Res>max(0,0)时域卷积f1(t)*f2(t) F1(s)F2(s)，=Res>max(1,2)时域相乘s域微分，=Res> 0s域积分，

34、=Res> 0初值定理，F(s)为真分式终值定理，s=0在sF(s)的收敛域内例1：已知：，求和。解：由于F(s)为真分式，故有：由于sF(s)的极点坐标为，故其收敛域为Res>0=-1，s=0点在其收敛域内，所以有：例2：已知：，求和。解：由于F(s)为假分式，故将其化为真分式：，求取初值时，利用真分式即可：。由例1可知：s=0点在其收敛域内，故有：4、拉普拉斯逆变换若F(s)是s的实系数有理真分式（m<n)，则可写为：式中分母多项式A(s)称为F(s)的特征多项式，方程A(s)=0称为特征方程，它的根称为特征根，也称为F(s)的固有频率（或自然频率）。n个特征根pi称为F

35、(s)的极点。1）F(s)为单极点（特征根为单根）， 由上述拉氏逆变换，并利用线性性质，就可得F(s)的原函数。例1：已知求其逆变换。解：此函数为真分式，因此直接利用部分分式展开法即可。例2：已知求其逆变换。解：由于此函数为假分式，所以需要先利用长除法将假分式转换为整式和真分式之和，然后再对真分式进行部分分式展开进行求解。故所以， ，由时域微分定理f(t)sF(s)f(0-)，得：2）F(s)有共轭单极点(特征根为共轭单根：p1,2 = ±j)现在只分析共轭极点的情况，后半部分的逆变换根据展开形式而定（即可利用单极点情况求解）。以下两种方式求拉氏逆变换需要板书。例3：解：即：即：所以

36、，3）F(s)有重极点（特征根为重根）若A(s) = 0在s = p1处有r重根，即p1p2p3pr，其余（n-r）个根pr+1,pn都不等于p1，则象函数F(s)的展开式可写为：上式中，F2(S)是除重根以外的项。式（1）中F1(s)部分函数形式为，故需要求出该因式的拉氏逆变换，因：，利用复频移特性，可得：所以，（1）式中重根部分象函数F1(s)的原函数为：如果F(s)有复重极点，则可以用类似于复单根的方法导出相应的逆变换关系式。如F(s)有二重复根，则F(s)可展开为可以证明，系数求解方法同上。求得系数后，可用下式求得其逆变换。例1：已知，求其逆变换。解： 说明：当象函数中含有（n为常数）

37、等类似项时，这些项并不参与部分分式运算，需利用时移性质求解。如：，而，所以，再利用拉氏变换时移性质：可得：二、复频域分析1、微分方程的变换解描述n阶系统的微分方程的一般形式为系统的初始状态为y(0-)，y(0-)，y(n-1) (0-)。取拉普拉斯变换：若f(t)在t=0时接入，则在t=0-时f(t)及其各阶导数均为零，即f(j)(0-)0(j=0,1,m)。因而f(t)及其各阶导数的拉氏变换为：f(j)(t)sjF(s) （5.4-3）取（5.4-1）的拉氏变换并将（5.4-2）（5.4-3）代入，得：上式可解得：式中，是方程（5.4-1）的特征多项式；，多项式A(s)和B(s)的系数只与微

38、分方程的系数ai、bj有关；也是s的多项式，其系数与ai和响应的各初始状态y(p)(0-)有关而与激励无关。由（5.4-5）可见，其第一项与初始状态有关而与输入无关，因而是零输入响应yzi(t)的象函数，记为Yzi(s)；其第二项与激励有关而与初始状态无关，因而是零状态响应yzs(t)的象函数，记为Yzs(s)。于是（5.4-5）可写为：取上式拉氏逆变换，得到系统的全响应y(t)。例1 描述某LTI系统的微分方程为 y"(t) + 5y'(t) + 6y(t) = 2f '(t)+ 6 f (t)已知初始状态y(0-) = 1，y'(0-)= -1，激励f (

39、t) = 5coste(t)，求系统的全响应y(t)。解：由拉氏变换时域微分特性：，方程取拉氏变换，得整理得Yzi(s)Yzs(s)带入初始条件：（典型拉氏变换对：，且f(t)=5coste(t)）部分分式展开：前两项为零输入响应的象函数；后三项为零状态响应的象函数；前三项为自由响应的象函数；后两项为强迫响应的象函数。根据典型变换对知：上式后两项为共轭单极点的情况，特征根为共轭单根：p1,2=±j=±j，所以=0、=1。下面根据两个公式计算该部分的原函数。1）由分式系数可知，A=2，B=-1，故： 2）由分式系数可知，故：上述两种求法结果一致：根据辅助角公式：，可知：根据s

40、in(/2-)=cos可知：对象函数Y(s)求逆变换得：在系统分析中，有时已知时刻的初始值，由于激励已经接入，而及其各阶导数在时刻的值常不等于零，这时应设法求得初始状态对于任何，均有：在时刻，显然有，因而，对于零输入响应，应该有，于是有例 5.4-3 描述LTI系统的微分方程为已知输入。求系统的零输入响应和零状态响应。解：由于本题给出的是初始值（即0+时刻的值），而不是初始状态（即0-时刻的值），所以，在求解零输入响应时不能把初始值当成初始状态使用，因此本题有两种解法。解法一：首先利用拉氏变换求解零状态响应，然后利用时域方法求解零输入响应。对方程进行拉氏变换，得解得：将代入上式，得故得零状态响

41、应为：由上式得：根据式5.4-9可得设零输入响应为因为特征方程所以特征根为，有重根，故齐次解为，将零输入初始值（即式5.4-14）代入得，所以得零输入响应为：解法二：首先利用拉氏变换求解零状态响应，并利用零状态响应，由系统的初始值求系统的初始状态（0+0-），然后利用拉氏变换的方法（即采用例1的方法）求解求解零输入响应。系统零状态响应求解方法如解法一，现将相关结果放于此：，。由式5.4-10可知所以系统零输入响应的象函数为：所以，系统的零输入响应为：2、系统函数系统函数H(s)定义为它只与系统的结构、元件参数有关，而与激励、初始状态无关。系统零状态响应的象函数可以写为：求其拉氏逆变换即可得到零

42、状态响应。由于系统的冲激响应h(t)是输入为(t)时系统的零状态响应，由于(t)的拉氏变换为1，即，所以由上式知，系统冲激响应的拉氏变换为即系统的冲激响应和系统函数是拉氏变换对。例5.4-6 已知当输入f (t)= e-te(t)时，某LTI因果系统的零状态响应：yzs(t) = (3e-t -4e-2t + e-3t)e(t)求该系统的冲激响应和描述该系统的微分方程。 解：对输入和零状态响应取拉氏变换，有根据系统函数的定义，有：而系统函数和冲激响应是一对拉氏变换，所以，h(t)= (4e-2t -2e-3t) e(t)根据n阶LTI系统微分方程的一般形式和系统函数H(s)的定义：以及A(s)

43、和B(s)的定义和，可知系统函数H(s)的分母、分子多项式的系数与系统微分方程的系数一一对应，所以，可知系统的微分方程为：y"(t)+5y'(t)+6y(t) = 2f '(t)+ 8f (t)由系统函数求微分方程的解法二：根据系统函数H(s)的定义：可知，即有s2Yzs(s) + 5sYzs(s) + 6Yzs(s) = 2sF(s)+ 8F(s)取逆变换 yzs"(t)+5yzs'(t)+6yzs(t) = 2f '(t)+ 8f (t) 所以，可知系统的微分方程为：y"(t)+5y'(t)+6y(t) = 2f 

44、9;(t)+ 8f (t)3、系统的s域框图表5-2 基本运算部件的s域模型名称时域模型s域模型数乘器(标量乘法器)加法器积分器积分器(零状态)例 5.4-7 某LTI系统的时域框图如图5.4-1(a)所示，已知输入，求冲激响应h(t)和零状态响应，若系统的初始状态为，求系统的零输入响应。解：根据图(a)画出系统零状态s域框图如图5.4-1(b)所示。设最右端的积分器（s-1）的输出信号为X(s)，则其输入为sX(s)，因而左端积分器的输入为s2X(s)，由左端加法器的输出可列方程：由右端加法器的输出可列方程：联立以上二式，消去中间变量，得由此可得系统函数：所以系统的冲激响应为：由于，所以故系

45、统的零状态响应为：由系统函数的分母多项式，可知零输入响应满足微分方程取上式的拉氏变换，得解得：根据式5.4-10，知，代入数据，得故系统的零输入响应为：第三章 离散系统的时域分析一、LTI离散系统的响应1、差分方程的经典解差分方程与微分方程经典解类似，也有齐次解和特解两部分组成即：1）齐次解齐次方程：其特征方程为，即其根称为差分方程的特征根。齐次解的形式取决于特征根，如表3-1所示。2）特解特解的函数形式与激励的形式类似，如表3-2所示。3）全解2、零输入响应和零状态响应系统的激励为零，仅由系统的初始状态引起的响应，称为零输入响应，用表示。在零输入条件下，差分方程等号右端为零，化为了齐次方程，

46、即系统的初始状态为零，仅由激励引起的响应，称为零状态响应，用表示。在零状态条件下，差分方程仍为非齐次方程，即例3.1-4：若描述某离散系统的差分方程为已知激励，k0，初始状态y(1)=0, y(2)=1/2，求系统的零输入响应、零状态响应和全响应。解：（1）求零输入响应。满足方程其初始状态：，首先递推求出初始值：特征方程为：其特征根为，其齐次解为：将初始值代入并解得，故其零输入响应为：，k0（2）零状态响应。根据定义，零状态响应满足： （1）递推求初始值，分别求出齐次解和特解，得：由特征方程求得特征根为，设其齐次解形式（见本例（1）。由表3-2（特解表）设特解形式为P2k，代入方程（1）得，方

47、程左右两端应该相等，故，从而求得P=1/3，所以特解为。代入初始值求得，所以，k0（3）全响应二、单位序列和单位序列响应1、单位序列和单位阶跃序列1）单位序列（单位样值序列、单位取样序列、单位脉冲序列、单位函数）单位序列定义（如图3.2-1（a）所示）：取样性质：偶函数：d(k)与d(t)区别：d(t)用面积表示强度，(幅度为¥，强度为面积) d(k)的值就是k=0时的瞬时值（不是面积） d(t)：奇异信号，数学抽象函数；d(k)：非奇异信号，可实现信号。可利用单位序列d(k)表示任意序列。例：如图示序列，用d(k)表示之。2）单位阶跃序列定义（如图3.2-2（a）所示）：可见，作用

48、类似于，但二者有较大差别：奇异信号，数学抽象函数；在t0处发生阶跃，此点常不定义或定义为1/2。：非奇异信号，可实现信号；在k0处定义为1。与d(k)的关系：（后向差分）可以看作是无数个出现在不同序号上的单位序列信号之和，即：2、单位序列响应和阶跃响应1）单位序列响应定义：由单位序列(k)所引起的零状态响应称为单位序列响应或单位样值响应或单位取样响应，或简称单位响应，记为h(k)。h(k)=T0,(k)。例3.2-2：如图3.2-4所示的离散系统，求其单位序列响应。解：（1）列写差分方程。根据题图，左端加法器的输出为x(k)，相应延迟单元的输出为x(k-1)、x(k-2)。由左端加法器的输出可

49、列方程：x(k)=x(k-1)+2x(k-2)+f(k)改写为：x(k)-x(k-1)-2x(k-2)f(k) （1）由右端加法器的输出可列方程：y(k)x(k)-x(k-2)对上式平移得：y(k-1)x(k-1)-x(k-3)y(k-2)x(k-2)-x(k-4)将以上三式中y(k)及其移位序列按照式（1）中x(k)、x(k-1)、x(k-2)的系数配置相应的系数，并求和，得系统的差分方程为：y(k) y(k 1) 2y(k 2)=f(k) f(k 2)根据h(k)的定义有h(k) h(k 1) 2h(k 2)=(k)(k 2)且初始状态：h(1) = h(2) = 0。（2）求h(k)由于

50、上式中等号右端包含了(k)和(k 2)，因而不能认为k>0时输入为零（因为k=2时，(k2)=1）。所以，需要利用线性性质和移位不变性质（时不变性）求得系统的单位序列响应。令只有(k)作用时，系统的单位序列响应h1(k)，它满足h1(k) h1(k 1) 2h1(k 2)=(k) （2）且初始状态：h1(1) = h1(2) = 0令只有(k-2)作用时，系统的单位序列响应h2(k)，它满足h2(k) h2(k 1) 2h2(k 2)=(k-2) （3）且初始状态：h2(1) = h2(2) = 0。根据线性性质，h(k) = h1(k)+h2(k)比较式（2）（3），根据移位不变性质（时不变性）得：h2(k) h1(k 2)所以，系统的单位序列响应为：（因为h1(k)上例已经求得）2）阶跃响应定义：由单位阶跃序列(k)所引起的零状态响应称为单位阶跃响应或阶跃响应，记为g(k)。g(k)=T0,(k)。表3-3 几种数列的求和公式序号公式说明12可为正或负整数，但34可为正或负整数56可为正或负整数，但7三、卷积和1、卷积和的定义已知定义在区间（ ，）上的两个函数f1(k)和f2(k)，则定义为f1(t)与f2(t)的卷积和，简称卷积；记为注意：求和是在虚设的变量i下进行的，i为求和变量，k为参变量。结果仍为k的函数。1） f1(k)为因果序列。即k<0时