2018考研数学冲刺模拟卷-答案与解析(数学一)

1、2021考研数学冲刺模拟卷数学一答案与解析只有一项符合、选择题：18小题，每题4分，共32分，以下每题给出的四个选项中,题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上. 学习文档仅供参考1假设函数(A) ab14A.lim1 .cosxf(x) ； b, x2ax:0,x0在x 0处连续，那么(B)ab(C) ab 0(D) ab 2.cosx2axlimx 01 2 -x42ax1 一、f (x)在 x4a0处连续14a2设函数A.f (x)可导，且 f2(x)f'(x) 0,那么Af (1)f( 1)Bf(1) f( 1)C|f(1)f( 1)Df(1)f( 1)f2(x)f

2、(x) 0,号) 3f3( 1)3f(1) f ( 1),所以选Ao(1,2,0)3设函数 f (x, y, z)x2y一 1，、fn 1,2,2,那么 v3nA12【答案】D.B6C4D2【解析】gradf(1,2,0)4,1,0一 (1,2,0) ngradf n1 2 24,1,0 一,一 ,一2.3 3 3选D.4甲乙两人赛跑，计时开始时,甲在乙前方10单位:m处，图中实线表示甲的速度V2 (t),三块阴影局部面积的数值曲线v M(t)单位：m/s，虚线表示乙的速度曲线 V依次为10,20,3,计时开始后乙超过上甲的时刻记为t0单位：s，那么v(m/ s)Ato 1005101520

3、25 30B15 tg 20t(s)Ct025t0 25【答案】D.【解析】从0到t0这段时间内甲乙的位移分别为；v1(t)dt, ：v2(t)dt,那么乙要超过甲，那25时满足，应选D.t0，、，、. 一、r,0 v2(t) v1(t)dt10,当 t05设A 为mxn阶矩阵，且r A - m< n ,那么以下结论正确的选项是AA的任意m阶子式都不等于零BA的任意m个列向量线性无关C方程组AX二b一定有无穷多解D矩阵A经过初等行变换可化为Em：O【答案】C.【解析】对于选项 C, m=r A <r A <min m,n =m=r A =m、n所以选项 C正确，对于选项A和B

4、, r(A尸m ,由秩的定义可得，存在一个 m阶行列式不为零，从而 m阶行列 式所在的列向量组线性无关，所以选项A和B不正确对于选项D,矩阵A经过初等行变换和列变换才可化为Em：O ,所以选项D不正确TTT6设 q=1, 0, 2,c,，电=0, 2, 1, C2,%= 1, 2, 3, C3T羯=1, 0, 1, 0 淇中c i1,2,3为任意实数，那么A马，,%,必线性相关b,乙,4,%必线性无关C可,外,%必线性相关【答案】D.D%尸3,%必线性无关1011【解析】经初等行变换0心0110 C3 一 C1 - C210 00所以r qa2比3&4 s 4,从而选项a和b均不正确r

5、 % 式3至3,从而选项c不正确123利用排除法可得正确答案为 D"1 0、经初等行变换 011对于选项D, 口2&%-，0 0 1、0 0 0>从而可得r %二3二向量的个数，所以心心m4必线性无关7设二维随机变量 X,Y的联合分布函数为 F x,y，边缘分布函数分别为 FFY y ,那么 P X > x,Y > y 二A1-Fxx Fy yB11-FxX乩1-Fy y _c2-Fxx -Fy y+F x, yD1-Fxx- Fy y + Fx, y【答案】D.【解析】设A = X <x , B = Y < y，那么FX x =P X x ,F

6、Y y = PYy,F x, y 二 PX 工 x,Yy 所以P X >x,Y >y = P AB = P A+ B= 1-P A+B= 1-P A -P B +P AB= 1-Fx x -Fy y +F x, y所以正确答案为D8设总体X服从正态分布N(0, 2), X1,，Xn是取自总体X的简单随机样本，其均值、方差分别为 X, S2.那么学习文档仅供参考一2XAX_F(1, nS21)2(n 1)XB 2F(1, nS21)2nX -。丁F(1,【答案】C.【解析】1)F(1, n1)XN 0,(7Jn0,1(7n-1 S2而_2n-1 S2所以2一(7所以正确答案为二、填空

7、题：9(9)函数f(x)2n (n一2nX仃2.22/ n1 ,且X与S相互独立2 j”1n -1 仃 2-n-1 S2彳k广12nXF 1,n- 1S2C.14小题，每题4分，共24分，请将答案写在答题纸,指定位置上.ln(1 2x)的麦克劳林公式中xn项的系数为2n(n 1)!n!2n(n 1)!(1 2x)nf(n)(0)2n(n 1)!,故xn项的系数为1)!O(10)微分万程y 2y 4y0的通解为y【答案】y ex(c1cos、3xq sin J3x),c1,c2为任意常数.【解析】齐次特征方程为21,21、,3i学习文档仅供参考故通解为e x(Gcosj3x 02 sin J3x

8、) , c1,c2 为任意常数(11)ay dx2 2xydy为某函数的全微分,那么 a .2x y【答案】a 1.2525解析由题意可得，上4ax,y 2ay_Q4x,y 2y，故ay(2x y ) x(2xy )(12)哥级数 ( n 21)n 1nxn 1在区间(1,1)内的和函数S(x) 2x x2(1 x)2n 1 n 1n 1 n【解析】(1) nx ( 1) xn 2n 222x 2x x21 x (1 x)13设见尸为四维非零的正交向量，且A -叨T ,那么A的所有特征值为 .【答案】0,0,0,0 【解析】设矩阵 A的特征值为4 ,那么A2的特征值为22由风齐为四维非零的正交

9、向量 => / o 0从而A2 =叫下姐T=值/尹仪万丁二0所以A2的特征值又2 = 0 => A的特征值为0= 0所以4阶矩阵A的4个特征值均为0.14 设二维随机变量 X,Y 服从正态分布N ”,”;疗2户2;0,那么cov X, XY2 =.【答案】仃2 口2 + *2【解析】X,YN凡/炉产2;0=E X =凡E Y 二 RD X 二b 2,D Y =2,/Y= 0所以QXY =0 = X与Y相互独立n X2与Y2相互独立，X与Y2相互独立E X2 =D X +E X 丁 = /+/同理 E Y2 =/ +2从而cov X,XY2 =E X2Y2 -E X E XY2=E

10、X2 E Y2 -E X E X E Y2二 er2 +*2 2 _必272 + ,小=(72 <72 +答题纸指定位置上.解容许写出文字说明、证明过程或演算步骤 15此题总分值10分设函数f U在0,内具有二阶导数，且z f Jx2 y2满足等式2 yz x xz y一y2z,假设f 00, f 01,求函数f u的表达式.【解析】(I)由于题目是验证，只要将二阶偏导数求出来代入题目中给的等式就可以了2x22x yz;f x2y2Jy丁 22 x2 X y 22；x_y22x y同理2z2 y2z2y2x22x y2y22x y122x y2y22 3 2x y2 x2 32 y2z,

11、即 f (u) f (u):那么对应的特征方程为故 f(u) C1e2x C2ex.y2),2f(u).r2 r 2 0 , r1 1,r22,一111 院一由f0 0,f 01,得 C1,C2,即 f(u) e -ex333316此题总分值n k ln n k In n10 分求 lim 2n k in1【答案】-.4【解析】原limnn k 2 ln(1k 1 n1o xln(1 x)dx1 1212 1-0 1n(1 x)dx -(ln(1 x) x 01x21 1 dx)x17此题总分值10分设函数fx连续，且xtf 3x t dt0【arccotx： 2:2. f3求 f x dx的

12、值.2【解析】令u 3x t,那么t 3x u ,所以dtxtf 3x t dt02x(3x u) f u du3xx12du代入 tf 3x t dt arccotx023x2 (3x u) f u du3x3xf2xdu3xuf u2xdu1arccotx 23x将等式3x2x3x化简得u du3xf2xuf u du2x12 一-arccotx两边对x求寻得 2du 3M3 f (3x) 2f(2x) 3xf (3x) 3 2xf (2x)2x1 x43xf2xx du 2xf (2x) i1 x31令x 1得，3 f u du 2f (2),，化简得2113f u du218此题总分值

13、10分设y f (x)是区间0,1上的任一非负连续函数，f(x)在区间2 f (x)一 1 一(0,1)内可导，且f (x)，试证明在(0,1)内，xf (x) f (t)dt 0存在唯一头根xx11【解析】(1)要证 x0 (0,1)，使 x0 f (5)f(x)dx;令(x) xf (x) f (t)dt ,要证x)xx0 (0,1)，使(x0) 0 .可以对(x)的原函数 (x)(t)dt使用罗尔定理:(0) 0,又由理,(2)中的1(1)0分部f (x)在0,1连续11 1(x)dx 0xf(x)dx0( x f(t)dt)dx1xf01(x)dx xxf(t)dt(x)在0,1连续,

14、10xf(x)dx 0,(x)在0,1连续，在(0,1)可导.根据罗尔定x (0,1)，使()(%) 0.由(x) xf (x) f(x) f (x) xf(x)2 f (x)0,知(x)在(0,1)内单调增，故(1)x0是唯一的.19此题总分值10分计算曲面积分1,-dS,其中 z是球面22、，一一za被平面z h(0 ha)截出的顶部。【答案】2 alna h【解析】由题意可知,1dS za-22dxdy, Dd a x y(x, y)22ia h dxdy y2a2 h2 ra d00a2dr r,aaln .h20此题总分值11分设生产2，叮3,叮4,#均为四维列向量,A-b1产2,4

15、,% ,非齐次线性方程组AX =广的通解为k -1, 2, 0, 3+ 2, -3,1,(I)求方程组/，电，%X一用的通解;(n)求方程组 /,%,%,%+/，X一用的通解.【解析】(I )由AX 的通解为k -1,2, 0,T 3+2, -3,1,一1可得 r A =r A|二3,A0,A-3q,肛 火, 生r-r20、3,2、-31、5,二一比1 + 2鼠 2 + 34 = 0 =2冈一3%+13+54 =力所以可由 %,a3,a4线性表出， 户可由%,%,%,火线性表出即 用可由线性表出从而 r 纥，% % 二r %, %,%,尸=3所以方程组 %,%,% X -只有唯一解+2X 得

16、£二% +4+11%所以程组 &,%,% X一的唯一解为X =1,1,11 T；可由线性表出。2,13,。4234（ 八一120=03(n)由(I)可得。1可由。243,口4线性表出, 1234经初等行变换从而 %,%,%必,%+6,0T002M3,%,0,0所以 r /%,%+#/ =r。2,4,町=3<5所以齐次线性方程组的 q,%,%,%,%+ X=0根底解系中有2个线性无关的解向量,非齐次线性房出租q,%,%,%+尸X -#有无穷多解由（I）中的 % +2%+3% =0= aaaaap2q 34+%+5%=f即2、-32跖-3% +% + 5。4 一A =00

17、%,6,%,%,%+/1 =0611所以线性无关且用%+ X0的根底解系为410由 %,%&4,%+B0 =B-1/ 2 '-3可得 /，%,%,%,%+川X 一户的一个特解为刀二15<0/所以4,%+-X尸的通解为:ki20 +k23k2是任意常数）6x2x321此题总分值 11 分设二次型 f x1,x2,x3, =5x12 + ax22 + 3x32 -2x1 x2 + 6x1 x3的1 0 0、矩阵合同于 010.10 0 0 ）（i）求常数a ；（n）用正交变换法化二次型 f x1, x2, x3为标准形.5 -1 3、【解析】（i）此二次型对应的实对称矩阵 A

18、 = -1 a -3、3 -3 3?1 0 0、因为实对称矩阵A与0 1 0合同<0 0 0,所以|a| = 0而 A=6 a 5 = 0,解得 a = 55-冗 -13（n） A -Ae = 1 5一3 二2 4北幺一9二03-3 3 一 冗解得矩阵A的特征值为 4=04=4 4= 91， 2， 3当4二0时，解齐次线性方程组 AX =0，5a 二 r<35一3经初等行变换3)10-1 12 -1001解得4 =o对应的一个线性无关的特征向量为%二i、2 ，当4 =4时，解解齐次线性方程组 A 4E X = 0IA -4E =-1经初等行变换1-3-0 0(003、10，I解得A

19、2 =4对应的一个线性无关的特征向量为% = 1。当4 =9时，解解齐次线性方程组 A-9E X = 01A-9E =-1<3经初等行变换-3->0 1-1Jj 1,解得2 =9对应的一个线性无关的特征向量为以3二 一133因为矩阵A有三个不同的特征值，所以三个特征值对应的特征向量均正交将，&2, %单位化得 , , ,/116Q26)111不1加0从而正交变换矩阵1 、61.62J6121721 、 不 _ 1 一国122在正交变换X = QY ,使得f 4y2十9y3 .22此题总分值11分将三封信随机地投入编号为1 ,2,3,4的四个邮筒.记X为1号邮筒内信的数目，Y

20、为有信的邮筒数目.求：I（X,Y）的联合概率分布；nY的边缘分布；出在X 0条件下，关于Y的条件分布.【解析】IX的所有可能取值为0,1,2,3 ;Y的所有可能取值为1,2,3从而（X,Y）的所有可能取值为0,1，0,2，0,3，1,1，1,21,32,12,22,33,13,23,3P X =0,Y =1P X =0,Y =2P X =0,Y =3C3_ 3C4c4c464C32C3c2 _ 18 _ 9C；C；c46432P3_ 6 . 3C4c4c464 32P X =1,Y =1 =0P X =1,Y =2P X =1,Y =3c3c3c4c4 c496412c3 只2 _ 18_ 9

21、c4c4c46432P X =2,Y =1 =0P X =2,Y =2c32c3 _ 9c4c；c：64P X =2,Y = 3 二 0 所以（X ,Y）的联合概率分布为7一12303/649/323/32109/649/32209/64031/6400nY的所有可能取值为1,2,3由（X,Y）的联合分布律得P Y =1=P X =0,Y=1 +P X =1,Y = 1 +P X =2,Y = 1 +P X = 3,Y = 1= 4 = 164 16P Y =2=P X= 0,Y= 2 + P X = 1,Y = 2 +P X=2,Y = 2 +P X =3,Y =2二 36 二264 16P Y =3=P X = 0,Y = 3 + P X = 1,Y = 3 +P X =2,Y =3 +P X =3,Y =3= 24 = 364 8二 2764所以Y的边缘分布Y123P Y k1/169/163/8出Y的所有可能取值为1,2,3P X 二0 二P X = 0,Y = 1 +P X = 0,Y = 2 +P X = 0,Y = 3从而P Y T X 0P X -0,Y-11P X -09P Y =2 X =