2019-0学年无锡市中学高一上期末数学试卷含解析(强化班)

1、2019-2020学年江苏省无锡市 XX中学高一（上）期末数学试卷（强化班）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分.请把答案直接填写在答题纸相应位 置上.1. （5 分）已知 M=x| -2<x< 2, N=x|x< 1,则（？rM） n N=.2. （5分）设x, yCR,向量£（置，口不二y），三亿-4）且，工，447，则x+y=3. （5分）已知向量,与夹角为45。，且昌=1, |2；工|:倔，则后仁4. （5 分）已知 cos 且 aC （一件0）,贝U sin （兀a） =.32 ）5. （5分）设 2a=5b=m,且=J=2, m=.a b6

2、. （5分）将函数y=sin （2x-）的图象先向左平移 三个单位，再将图象上各点的横坐标变 JQ为原来的2倍（纵坐标不变），那么所得图象的解析式为y=.7. （5分）若函数 厂,）gl+1r的图象与x轴有公共点，则m的取值范围是.8. （5分）设向量X, b满足|：|二2«,匕=（2, 1）,且方与b的方向相反，则口的坐标为9. （5分）若8是4ABC的一个内角，且就nGc赘白二，贝U sin & cos 0的值为.10. （5分）已知角 小的终边经过点P （1, - 2）,函数f （x） =sin （x+Q （>0）图象的相 邻两条对称轴之间的距离等于 ,则f（二匚

3、）二.312 （3-a）11. （5分）已知f （x） =、八 是（-00, +oo）上的增函数，那么实数a的取值范V d围是12. （5分）如图，在 ABC中，D是BC的中点，E, F是AD上的两个三等分点，BA?C=4,BF?CF =-1 ,则丽?无的值是a2-ab, Mb13. （5分）对于实数a和b,定义运算”:力，设f （x） = （2x-1） * （x-j/pb, a>b1）,且关于x的方程为f （x） =m （mCR）恰有三个互不相等的实数根 xi , x2, x3,则实数m 的取值范围是 ； X1+X2+X3的取值范围是 .14. (5分)已知函数f (x) =sin (

4、叶小)(0, |加工)，x=一二为f (x)的零点，xL244为y=f (x)图象的对称轴，且f (x)在(=，且L)单调，则的最大值为 1836二、解答题：本大题共6题，共90分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15. (14 分)设函数 f2gH+8 J S K，其中。 必2；(I )若f (x)的最小正周期为阳求f (x)的单调增区问；(H)若函数f (x)的图象的一条对称轴为 J器，求的值.16. (14分)已知 ABC中.(1)设而?H=?X?IE,求证： ABC是等腰三角形；(2)设向量 W= (2sinC,-近),t= (sin2C, 2cos2 - 1), Hs / t

5、,若 sinA,求 sin - 2J3B)的化17. (14分)如图，半径为1,圆心角为手的圆弧标上有一点C.(1)若C为圆弧AB的中点，点D在线段OA上运动，求|而湿|的最小值；(2)若D, E分别为线段OA, OB的中点，当C在圆弧U上运动时，求而？示的取值范围.18. (16分)某仓库为了保持库内的湿度和温度，四周墙上均装有如图所示的自动通风设施. 该 设施的下部ABCD是矩形，其中AB=2米，BC=0.5米.上部CmD是个半圆，固定点E为CD的 中点.4EMN是由电脑控制其形状变化的三角通风窗(阴影部分均不通风) ，MN是可以沿设 施边框上下滑动且始终保持和 AB平行的伸缩横杆(MN和

6、AB、DC不重合).(1)当MN和AB之间的距离为1米时，求此时三角通风窗 EMN的通风面积；(2)设MN与AB之间的距离为x米，试将三角通风窗EMN的通风面积S (平方米)表示成 关于x的函数S=f (x);(3)当MN与AB之间的距离为多少米时，三角通风窗 EMN的通风面积最大？并求出这个最 大面积.0AEc,v19. (16分)如图，正方形(1)求PQ的最小值；i8ABCD中边长为1, P、Q分别为BG CD上的点， CPQ周长为2.(2)试探究求/ PAQ是否为定值，若是给出证明；不是说明理由.(x) =x| x - a|+ 2x.(1)若函数f (x)在R上是增函数，求实数a的取值范

7、围；(2)求所有的实数a,使得对任意x 1, 2时，函数f (x)的图象包在函数g (x) =2x+1图象的下方；(3)若存在a -4, 4,使得关于x的方程f (x) =tf (a)有三个不相等的实数根，求实数 t的取值范围.高一（上）期末数学试卷（强化班）参考答案与试题解析一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分.请把答案直接填写在答题纸相应位 置上.1. （5 分）已知 M=x| -2<x< 2, N=x|x< 1,则（？rM） A N= x|x< -2.【解答】 解：V M=x| -2<x< 2, N=x|x< 1,?rM=x| x&

8、lt; - 2 或 x>2,则（？rM） n N=x| x< - 2.故答案为：x|x<-22. （5 分）设 x, yCR,向量力二i），E=（L G 二=（2, T）且 a 13, E /则 x+y= 0 【解答】解：:序1国,那#工- =2x- 4=0, 2y+4=0,贝U x=2, y=- 2.x+y=0.故答案为：0.3. （5分）已知向量,吊夹角为45。，且白，12；工上伤b则后|=_.【解答】解：:砾,粉>=不5。，g=1a*b-1 a | | b |cos4S?c，=- | | 2 : 卜:一 ： J = : .1I 1：'= ',二.

9、1/ = 111解得.-:故答案为：3 .：4. （5 分）已知 cos a=，且 aC （ 一 , 0）,贝U sin （九一a）= 一4【解答】解：:cos a坐，且aC （ A，0）,则 sin （九一a） =sin a =二.3故答案为：-二5. （5 分）设 2a=5b=m,且二工二2, bm= VTci .【解答】解：: 2a=5b=m,a=log2m, b=log5m,由换底公式得,小口口.2+ 1口/smcil+Z，；m2=10, .m>0, a D m m m故应填.Ill6. (5 分)将函数 y=sin (2x-J）的图象先向左平移三个单位，再将图象上各点的横坐标变

10、为原来的（纵坐标不变），那么所得图象的解析式为y=sin（4x+-）【解答】解：将函数y=sin （2x-）的图象先向左平移得到函数 y=sin2 (x+=?)- =sin (2x+-S-)的图象,将所得图象上所有的点的横坐标变为原来的（纵坐标不变），则所得到的图象对应的函数解析式为：y=sin （4x+-J故答案为：sin （4x+&7. （5分）若函数 打（，）1卜”+的图象与x轴有公共点，则m的取俏范围是 -1、0）.【解答】解：作出函数式上）J '2）'"）1的图象如图，由图象可知0Vg （x） < 1,则m<2口 K<1g (x)

11、+m< 1+m,即 m<f (x) < 1+m,1 < m<0,要使函数产9）1十1r的图象与x轴有公共点,(nrCO故答案为：-1 , 0）.8. （5分）设向量层E满足 片仁2娓,短（2, 1）,且卞与E的方向相反，则之的坐标为（-4, -2）.【解答】解：设k= （x, y）,.gfE的方向相反，. . a=Xb= （2入，玲，（右0）.又.|"2相，«402+九2二2后，解得人=2,a= （ - 4, - 2）.故答案为：（-4, - 2）.9. （5分）若8是4ABC的一个内角，且年也白8石白二，则sin & cos曲勺值为一

12、一 . o2【解答】解：: 8是4ABC的一个内角，且5mBs3。二白，口10. （5分）已知角 小的终边经过点P （1, - 2）,函数f （x） =sin （叶小）（>0）图象的相邻两条对称轴之间的距离等于 子，则f（、）=Jb 乙_L U【解答】解：函数f （x） =sin （+（!）图象的相邻两条对称轴之间的距离等于 j3函数f （x）的周期T=H, 3:0 - （JL）=3二.角小的终边经过点P (1, -2), .sin小三刍区，cos小丑.55f(-)=sin (3?-!+(|) =sin (S-+(|) =-,1242故答案为：-'Flo(sin(+cos

13、76;) =ZZ?5)=-v 10 2510rf3-a?x-a (x<l)11. (5 分)已知 f (x) = 1是10g_X(K>l)L a围是.I2-【解答】解：=f (x)= ，一是1 口九 «>1)冬3>0Aa-a<0（oo, +oo）上的增函数，那么实数a的取值范OO, +OO）上的增函数,12. （5分）如图，在 ABC中，D是BC的中点,-1 ,则BE?CE的值是占.8E, F是AD上的两个三等分点，BA?CA=4,?CF =【解答】解：: D是BC的中点，E, F是AD上的两个三等分点,BF=lS+DF, CF=-而+而， BA=BI&

14、gt;3而，CA=-|BI1+3DF,和百而2-证=-1,BA?O=9DF2 -防=4, 奇得,西书， 又施=而+2而，应=丽+2而,BE?CE=4D?2 -苗得，故答案为：一813.2-ab, a<b，设 f (x) = (2x 1) * (x b2_abs b1),且关于x的方程为f (x) =m (mCR)恰有三个互不相等的实数根 xi, x2, X3,则实数的取值范围是_(5xi+x2+x3的取值范围是主逅.i)_.ko工沁，其0屋T我匕、b'-3 a>bf (x) = (2x 1) * (x 1)=则当x=0时，函数取得极小值0,当x=1时，函数取得极大值彳 故关

15、于x的方程为f (x) =m (mCR)恰有三个互不相等的实数根x1，x2, x3时, 实数m的取值范围是(Q,看)令 f (x) =i-,贝U x=l；",或 x=i-不妨令x1<x2<x3时则 1 J 3 < x1<0, x2+x3=14 x1+x2+x3的取值范围是， 1)故答案为：(.0, »片普，1)14. (5分)已知函数f (x) =sin (叶小)(>0, |(|)| <), x=一三为f (x)的零点，x卫 244为y=f (x)图象的对称轴，且f (x)在(2L,且L)单调，则的最大值为 9 .1836【解答】解：二,

16、函数f (x) =sin (叶小)(>0, |(|)| <), x=为f (x)的零点，x=L为 244y=f (x)图象的对称轴，() + 小=n 彳 n Z,且 2+(|)=n +2-, n Z, 442.相减可得 匹=(n' n) QL=kt+-L, k Z,即=2+1,即为奇数. 222f (x)在(JL,小)单调， 1836(1)若f (x)在(工，耳匚)单调递增， 1836则 CD23L+(|)>2k7t-,且 w?+(|)<2k7+-, k Z, 182362即一匹小0 2k：+工，且 co?-+(t<2kTi+-, k Z ， IS236Z

17、把可得3-庐冗，.0 12,故有奇数 的最大值为11. 36当=11 时，一七L+(|)=k' kCZ, : | 加 &；,小二一子.此时f (x) =sin (11x- )在(三,4r)上不单调，不满足题意. 41836当 =9时，一9： + d =k£ kCZ, : | 加 W""，小二-，此时f (x) =sin (9xg-)在(工，丝-)上单调递减，不满足题意；故此时无解.(2)若f (x)在)单调递减,，且?I? +g2k Jc*k Z,即一口 一小& - 2k 九一 口 , 且 cd+() 2k 冗，门，,k C Z ,18L3

18、6工把可得之庐冗，0 12,故有奇数 的最大值为11.当二11时，一一-+小=k , kCZ,| 加 W-7J-,(|)=-.此时f (x) =sin (11x-4)在(与，4t7-)上不单调，不满足题意.41 o 30止匕时 f （x） =sin （9x+2L）在（2L 418票)上单调递减，满足题意;故的最大值为9.故答案为：9.二、解答题：本大题共6题，共90分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15. (14分)设函数f(汽)二与in2始工+亡口/k,其中0< <2;(I )若f (x)的最小正周期为阳求f (x)的单调增区问；(H)若函数f (x)的图象的一条对称轴

19、为了上，求的值.【解答】解：(I) , f (x) =sin2+1+二呼(2分)22=sin (2 +)卷.(3 分).1=砥>0,CD =1 （4 分）令一口益冗42篮2kn，kEZ,(5分)TTTIT得一n耳, kC工，(6分) 36所以f (x)的单调增区间为:_+k允，先kn,k£Z(7分)(H ) f(x)=fin(2 3对吊的一条对称轴方程为,(9分)加冬春(11分)又0V<2,S .k=0,（13 分）16. (14分)已知 ABC中.(1)设而?SEX?!E,求证： ABC是等腰三角形；(2)设向量？= (2sinC,一禽),=(sin2C, 2coS2

20、1),且W /1,若 sinA=L ,求 sin (ZL 233B)的化【解答】(1)证明：V bc?ca=ca?S, .,辰版一箴)二惠丽*2),正国2,即辰|二|面.ABC是等腰三角形；(2)解：康(2sinC,-店),t= (sin2C, 28拄1),且弓/t ,贝射与T,二一VsinSC，贝2$inCccG二小的n2C ,iu得51口20-/3/口20,sin2c=0,.PC (0,冗)， 厂加.一 12衣，C- sinB=cosA=二，cosB=EinA=4- .广冗右 - 1 2V6-1I 一sinC-2-B)=-2-cosB -ysin&=(1)若C为圆弧AB的中点，点D

21、在线段OA上运动，求|枳+3|的最小值；(2)若D, E分别为线段OA, OB的中点，当C在圆弧菽上运动时，求通通的取值范围.【解答】解：(1)以O为原点，OA为x轴建立直角坐标系，则0), BS, -1), C设 D (t, 0) (0&t01),贝U 0C + 0D=(t, ")，17. (14分)如图，半径为1,圆心角为三，的圆弧标上有一点C所以 |CC + CO |(2)由题意 口乐 0), E(0, 4),设 C (cosQ sin M BE 0,得几所以五丘:(c口三白sin ) (gds9 ' sin。+-)=l+-sin9 3S3=哼式门(8二)+1

22、ba因为白E及-1n,则任沦1日)e K，亨，所以通而E p 1哼-18. (16分)某仓库为了保持库内的湿度和温度，四周墙上均装有如图所示的自动通风设施. 该 设施的下部ABCD是矩形，其中AB=2米，BC=0.5米.上部CmD是个半圆，固定点E为CD的 中点.4EMN是由电脑控制其形状变化的三角通风窗(阴影部分均不通风) ，MN是可以沿设 施边框上下滑动且始终保持和 AB平行的伸缩横杆(MN和AB、DC不重合).(1)当MN和AB之间的距离为1米时，求此时三角通风窗 EMN的通风面积；(2)设MN与AB之间的距离为x米，试将三角通风窗EMN的通风面积S (平方米)表示成 关于x的函数S=f

23、 (x);(3)当MN与AB之间的距离为多少米时，三角通风窗 EMN的通风面积最大？并求出这个最大面积.【解答】解：(1)由题意，当MN和AB之间的距离为1米时，MN应位于DC上方，且此时 EMN中MN边上的高为0.5米，又因为EM=EN=1米，所以MN=/j米，所以知,与平方米， 即三角通风窗EMN的通风面积为卓平方米(2)当MN在矩形区域内滑动，即xg (0, 时，4EMN的面积吟当MN在半圆形区域内滑动，即x,争时，EMN的面积距(3)当MN在矩形区域内滑动时，f (x)在区间9, L)上单调递减，则f (x) <f (0)工; 22921 1j%+ 1一(耳上)当MN在半圆形区域

24、内滑动，二<旦等号成立2222时,卜4西+1)因此当悬(近41)(米)时，每个三角形得到最大通风面积为 7平方米.19. (16分)如图，正方形 ABCD中边长为1, P、Q分别为BG CD上的点， CPQ周长为2.(1)求PQ的最小值；(2)试探究求/ PAQ是否为定值，若是给出证明；不是说明理由.AB【解答】解：设/ CPQ=，则CP=PQcoS, CQ=PQsine14V5兮in( 9 +%-)2L啊 件 2(2)分别以AB, AD所在直线为x轴、y轴建立平面直角坐标系, 设 Q (x, 1), P (1 , y),设/ DAQ= , P PAB书1-浒1"也1,)F，即

25、 xy+ (x+y) =1又 tan a = x tan 0 =y.几 ， c、 兀20. (16 分)已知函数 f (x) =x|x-a|+2x.(1)若函数f (x)在R上是增函数，求实数a的取值范围；(2)求所有的实数a,使得对任意x 1, 2时，函数f (x)的图象包在函数g (x) =2x+1图 象的下方；(3)若存在a -4, 4,使得关于x的方程f (x) =tf (a)有三个不相等的实数根，求实数 t的取值范围.【解答】解：(1)f (x) =x |x-a 1+2 产x2+(2-q) xf 工已-x+(2+a)x, j<Ca由f (x)在R上是增函数，则2<a<2