2019-2020年整理2000年-年考研数学一历年真题完整版(word版)汇编

1、2000年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、填空题(本题共5小题，每小题3分，满分15分.把答案填在题中横线上)(1)22xx2 dx=.0(2)曲面x2 2y2 3z2 21在点(1, 2, 2)的法线方程为 .(3)微分方程xy 3y 0的通解为.1 21 x11(4)已知方程组 2 3 a 2 x23无解，则a =.2 a 2x30(5)设两个相互独立的事件A和B都不发生的概率为 1 , A发生B不发生的I率与 B发生A不9发生的概率相等，则P(A)=.二、选择题(本题共5小题，每小题3分，满分15分.每小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号

2、内)(1)设f(x)、g(x)是恒大于零的可导函数，且f (x)g(x) f(x)g(x) 0 ,则当a x b时，有(A) f(x)g(b)f(b)g(x)(B) f(x)g(a)f (a)g(x)(C) f(x)g(x) f(b)g(b)(D) f(x)g(x)f (a)g(a)(2)设S：x2 y2 z2 a2(z 0),&为S在第一卦限中的部分，则有(A)xdS4xdS(B)ydS 4xdSs9sq(C)zdS4xdS(D)xyzdS 4xyzdSSS1SS1(3)设级数un收敛，则必收敛的级数为n 1(A)( 1)n(B)U2n 1nn1(C)(U2n 1 U2n)(D)(U

3、n Un 1)n 1n1(4)设n维列向量组 小J", am(m n)线性无关，则n维列向量组 团|”,即线性无关的充分必要条件为(A)向量组01M11可由向量组 加口，际线性表示(B)向量组0,|“，即可由向量组%,I。，线性表示(C)向量组知口，%与向量组 同“，饱等价)矩阵A (如仙)与矩阵B (ft,HI，一)等价(5)设二维随机变量(X,Y)服从二维正态分布,则随机变量X Y与 X Y不相关的充分必要条件为2222(A) E(X) E(Y)(B) E(X ) E(X)E(Y ) E(Y)(C) E(X2) E(Y2)(D) E(X2) E(X)2 E(Y2) E(Y)2(本

4、题满分6分)1sin x|x).i 2 ex求 xim(41 ex四、(本题满分5分)x、，x、 一2z设zf(xy, ) g(一)，其中f具有二阶连续偏导数，g具有二阶连续导数，求y yx y五、(本题满分6分)计算曲线积分I Q xdy2 yd2x ,其中L是以点(1,0)为中心，R为半径的圆周(R 1),取逆时针 UL 4x y方向.六、(本题满分7分)设对于半空间 x 0内任意的光滑有向封闭曲面 S,都有 Qxf(x)dydz xyf (x)dzdx e2x zdxdy 0,其中函数f (x)在(0,)内具有连续的一阶导数，且lim f (x) 1,求 f (x).x 0七、(本题满分

5、6分)-1 xn ，、，"、一，求哥级数 1的收敛区间,并讨论该区间端点处的收敛性nnn 1 3（ 2） n八、（本题满分7分）设有一半径为R的球体，P0是此球的表面上的一个定点，球体上任一点的密度与该点到P0距离的平方成正比（比例常数k 0）,求球体的重心位置.九、（本题满分6分）设函数f （x）在0,上连续,且f (x)dx0，0 f（x）cosxdx 0.试证:在（0，）内至少存在两个不同的点1, 2，使f（Jf(2)0.十、（本题满分6分）设矩阵A的伴随矩阵A，且ABA 1 BA 1 3E,其中E为4阶单位矩阵，求矩阵B .卜一、（本题满分8分）某适应性生产线每年1一一 ，一

6、一 一 ，1 月份进行熟练工与非熟练工的人数统计，然后将-熟练工支援其他生产部6门，其缺额由招收新的非熟练工补齐.新、老非熟练工经过培训及实践至年终考核有2 ,， 士成为熟练工.设5第n年1月份统计的熟练工与非熟练工所占百分比分别为Xn和yn ,记成向量xnVn求xn 1与xn的关系式并写成矩阵形式：xn 1 A xn.Vn 1VnVn 1Vn八41（2）验证“，戈 是A的两个线性无关的特征向量，并求出相应的特征值11tx1当1V112时，求xn 11 Vn 12十二、（本题满分8分）某流水线上每个产品不合格的概率为p（0 p 1）,各产品合格与否相对独立，当出现1个不合格产品时即停机检修.设

7、开机后第1次停机时已生产了的产品个数为 X,求X的数学期望E（X）和方差D(X).十三、(本题满分6分)2e 2(x ) x设某种元件的使用寿命 X的概率密度为f(x; ) e，其中0为未知参数.又设0 xXl,X2,| | | ,Xn是X的一组样本观测值,求参数 的最大似然估计值2001年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、填空题(本题共5小题，每小题3分，满分15分.把答案填在题中横线上)(1)设y eX(asinx bcosx)(a,b为任意常数)为某二阶常系数线性齐次微分方程的通解，则该方程为.(2) rJx2 y2 z2，则 div(grad r)(i, 2,2) =.01

8、y(3)交换二次积分的积分次序 ：dy 2 f(x,y)dx=. 2_1(4)设 A A 4E 。，则(A 2E) =.(5) D(X) 2,则根据车贝晓夫不等式有估计PX E(X)|2 .二、选择题(本题共5小题，每小题3分，满分15分.每小题给出的四个选项中，只有一个符合题目 要求，把所选项前的字母填在题后的括号内)(1)设函数f(x)在定义域内可导，y f(x)的图形如右图所示，则y f(x)的图形为(A)(B)1则(2)设 f(x, y)在点(0,0)的附近有定义，且 fx(0,0) 3, fy(0,0)(A)dz |(0,0)3dx dy(B)曲面zf(x,y)在(0,0, f (0

9、,0)处的法向量为3,1,1(C)曲线f (x, y)° 在(0,0, f(0,0)处的切向量为1,0,3(D)曲线"x'y)在(0,0, f (0,0)处的切向量为3,0,10(3)设 f(0)0则f(x)在x=0处可导四、(本题满分6分)f (1(B) lim -h 0/A、 f(1(A) lim 一h 0cosh)十十二存在h2(C)网(4)设 A Af(h sinh)h21 11 11 11 1存在f(2h) f(h)谷入(D) lim 存在h 0 h(A)合同且相似(C)不合同但相似11111111,B4000000000000000，则A与B(B)合同但

10、不相似(D)不合同且不相似(5)将一枚硬币重复掷n次，以X和Y分别表示正面向上和反面向上的次数，则X和Y相关系数(A) -1(B)0(C)(D)1(本题满分6分)arctanex , 2dx.e设函数 z f(x,y)在点(1,1)可微，且 f(1,1) 1,fx(1,1) 2,fy(1,1) 3, (x)f(x,f(x,x),求_ddx3(x) x 1 .五、(本题满分8分)设 f (x)arctan x x11x0,将f (x)展开成x的哥级数，并求0ni1( 1) 的和.4n2六、(本题满分7分)计算 I p (y2 z2)dx (2z2 x2)dy (3x2 y2)dz,其中 L 是平

11、面 x y z 2 与柱面Vx |y 1的交线，从Z轴正向看去，L为逆时针方向.七、(本题满分7分)设f(x)在(1,1)内具有二阶连续导数且f (x) 0.证明：(1)对于 x ( 1,0) (0,1)，存在惟一的(x) (0,1)，使 f(x) = f(0) + xf ( (x)x)成立.(2) lim (x) 0.5.x 0八、(本题满分8分)设有一高度为h(t)(t为时间)的雪堆在融化过程，其侧面满足方程 z h(t) 丝一匕)(设长度 h(t)单位为厘米，时间单位为小时，已知体积减少的速率与侧面积成正比(系数为，问高度为130厘米的雪堆全部融化需多少时间九、(本题满分6分)设如。2,

12、|, 物为线性方程组AX O的一个基础解系，自 G %t20(2 ,t10(212 a3,“| ,Bst1OCst2 的，其中t1,t2为实常数，试问t1,t2满足什么条件时 自，3,|, Bs也为AX O的一个基础解系十、(本题满分8分)已知三阶矩阵A和三维向量x,使得x,Ax,A2x线性无关，且满足A3x 3Ax 2A2x .(1)记 P (x,Ax,A2x),求 B 使 A PBP 1.(2)计算行列式 A E .设某班车起点站上客人数X服从参数为 (0)的泊松分布，每位乘客在中途下车的概率为 p(0 p 1),且中途下车与否相互独立.Y为中途下车的人数，求：(1)在发车时有n个乘客的条

13、件下，中途有m人下车的概率.(2)二维随机变量(X,Y)的概率分布.十二、(本题满分7分)设XN( , 2)抽取简单随机样本 Xi,X2,|,X2n(n 2),2nn样本均值 X Xi ,Y (Xi Xn i 2X)2，求 E(Y).2n i ii i2002年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷(2)(4)准型f、填空题(本题共5小题，每小题3分，满分15分.把答案填在题中横线上) dx =e xln2 x已知 ey 6xy x2 1 0 ,贝U y (0) =.21yy y0满足初始条件 y(0) 1,y (0)的特解是.2已知实二次型f(Xi,X2, x3)a(x；x22x2)4xi

14、X24xX34x2x3经正交变换可化为标26 yl，贝U a =.设随机变量X N( , 2),且二次方程y2 4y X 0无实根的概率为，则.二、选择题(本题共5小题，每小题3分，满分15分.每小题给出的四个选项中，只有一个符合题目 要求，把所选项前的字母填在题后的括号内)(1)考虑二元函数f(x, y)的四条性质：f(x,y)在点(x0,yO)处连续，f(x, y)在点(x°, y°)处的一阶偏导数连续，f(x,y)在点(x0,y0)处可微，f(x, y)在点(x°, y°)处的一阶偏导数存在.则有：(A)(B)(C) a(D)(2)设un 0 ,且

15、lim 2 1,则级数 (n unn1)11(')为unun 1(A)发散(C)条件收敛(B)绝对收敛(D)收敛性不能判定.设函数f(x)在R上有界且可导，则(A)当 lim f (x) 0时，必有 lim f (x)(B)当limxf (x)存在时，必有lim f (x) 0x(C)当 lim f (x) 0时，必有 lim f (x)(D)lim f (x)存在时，必有x 0lim f (x) 0 .x 0(4)设有三张不同平面，其方程为aix bi ycizdi (i1,2,3)它们所组成的线性方程组的系数矩阵与增广矩阵的秩都为2,则这三张平面可能的位置关系为(5)设X和Y是相互

16、独立的连续型随机变量它们的密度函数分别为fX (x)和fY (y),分布函数分别为Fx(x)和Fy(y),则(A)fX (x) + fY(y)必为密度函数(B)fX (x) fY(y)必为密度函数(C)FX (x) + FY (y)必为某一随机变量的分布函数(D) FX (x) FY(y)必为某一随机变量的分布函数.(本题满分6分)设函数f (x)在x 0的某邻域具有阶连续导数，且f(0)f(0) 0,当h 0时，若af(h) bf(2h) f(0) o(h),试求 a,b 的值.四、(本题满分7分)已知两曲线yf (x)与 yarctanx .2e t dt在点(0,0)处的切线相同.求此切

17、线的方程，并求极限 0lim nf (2).五、(本题满分计算二重积分7分)2 2、emax x ,ydxdy ,其中 D ( x, y)| 0 x 1,0 y 1.六、(本题满分8分)设函数f (x)在R上具有一阶连续导数，L是上半平面(y >0)内的有向分段光滑曲线，起点为(a,b),终点为(c,d ).、一 19x记 I 1 y f (xy)dx -y f (xy) 1dy, yy(1)证明曲线积分I与路径L无关.(2)当ab cd时，求I的值.七、(本题满分7分)3nx(1)验证函数y(x) ( x )满足微分方程y y y ex.n 0(3n)!3nx(2)求帚级数y(x) 的

18、和函数.n 0(3n)!八、(本题满分7分)设有一小山，取它的底面所在的平面为xoy面，其底部所占的区域为D (x, y)|x2 y2 xy 75,小山的高度函数为 h(x, y) 75 x2 y2 xy .(1)设M (xo, y0)为区域D上一点，问h(x, y)在该点沿平面上何方向的方向导数最大若此方向的方向导数为g(xo, yo),写出g(xo, yo)的表达式.(2)现欲利用此小山开展攀岩活动，为此需要在山脚下寻找一山坡最大的点作为攀登的起点.也就是说要在D的边界线上找出使(1)中g(x, y)达到最大值的点.试确定攀登起点的位置.九、(本题满分6分)已知四阶方阵A (0C1,0C2

19、,0(3 ,0C4 ),%,0(2 , 0C3 ,供4均为四维列向量，其中02 ,03,04线性无关，% 2a2a3 .若0o1a2a3a4,求线性方程组 Ax0的通解.十、(本题满分8分)设A,B为同阶方阵，(1)若A,B相似，证明A,B的特征多项式相等.(2)举一个二阶方阵的例子说明(1)的逆命题不成立.(3)当A,B为实对称矩阵时，证明(1)的逆命题成立.十一、（本题满分7分）设维随机变量X的概率密度为1 xf(x)0 x x其它一 cos一220、对X独立地重复观察4次，用Y表示观察值大于 的次数，求Y2的数学期望3十二、（本题满分7分）设总体X的概率分布为X0123P22 (1)21

20、 21其中（0-）是未知参数，利用总体X的如下样本值3,1,3,0,3,1,2,3.求的矩估计和最大似然估计值.2003年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷、填空题(本题共6小题，每小题4分，满分24分.把答案填在题中横线上)1lim (cosx)ln(1x 0(2)曲面z2 . 一一y与平面2x 4y z 0平行的切平面的方程是(4)设x2an cosnx(n 0)，则 a2 =1到基ft1的过渡矩阵为2维随机变(X,Y)的概率密度f(x, y)6xP X Y 1(6)已知一批零件的长度X (单位:cm)服从正态分布 N (,1),从中随机地抽取16个零件，得到长度的平均值为40 (c

21、m),则的置信度为的置信区间是(注：标准正态分布函数值(1.96) 0.975, (1.645) 0.95.),只有一个符合题目二、选择题(本题共6小题，每小题4分，满分24分.每小题给出的四个选项中 要求，把所选项前的字母填在题后的括号内)设函数f (x)在()内连续，其导函数的图形如图所示,则f (x)有(A) 一个极小值点和两个极大值点(B)两个极小值点和一个极大值点(C)两个极小值点和两个极大值点(D)三个极小值点和一个极大值点(2)设an, bn, Cn均为非负数列，且 lim an0 , lim bnnn1, lim Cn,则必有n(A) anbn对任意n成立(B) bnCn对任意

22、n成立(C)极限lim ancn不存在n(D)极限lim bnCn不存在n0留滓1,则(3)已知函数f (x, y)在点(0,0)的某个邻域内连续，且lim x 0,y(A)点(0,0)不是f (x, y)的极值点(B)点(0,0)是f (x,y)的极大值点(C)点(0,0)是f (x, y)的极小值点(D)根据所给条件无法判断点(0,0)是否为f(x, y)的极值点(4)设向量组I:%的,口，即可由向量组II:十、(本题满分8分)(A)当r s时，向量组(C)当r s时，向量组II必线性相关I必线性相关(B)当 r(D)当 rS时，向量组II必线性相关S时，向量组I必线性相关(5)设有齐次线

23、性方程组Ax 0和Bx 0,其中A,B均为mn矩阵，现有4个命题:若Ax 0的解均是Bx 0的解，则秩(A)秩(B)若秩(A)秩(B),则Ax 0的解均是Bx 0的解若Ax 0与Bx 0同解，则秩(A)秩(B)若秩(A)秩(B),则Ax 0与Bx0同解以上命题中正确的是(A)(C)(B)(D)1(6)设随机变量 Xt(n)(n 1),Y X，则(A) Y 2(n)(B) Y 2(n 1)(C) Y F(n,1)(D)Y F(1,n)三、(本题满分10分)过坐标原点作曲线y ln x的切线，该切线与曲线y lnx及x轴围成平面图形 D .求D的面积A.(2)求D绕直线x e旋转一周所得旋转体的体

24、积四、(本题满分12分)1 2x( 1)n ,一将函数f (x) arctan展开成x的帚级数，并求级数 的和.1 2xn 0 2n 1五、(本题满分10分)已知平面区域 D (x, y) 0 x ,0 y , L为D的正向边界.试证:sin xsin yye dx xe dysin xye dx.八 一(1) |'Lxesinydy(2)xesinydysin x2ye dx 2六、(本题满分10分)某建筑工程打地基时，需用汽锤将桩打进土层 设土层对桩的阻力的大小与桩被打进地下的深度成正比.汽锤每次击打，都将克服土层对桩的阻力而作功(比例系数为k.k 0).汽锤第一次击打将桩打进地下

25、a m.根据设计方案，要求汽锤每次击打桩时所作的功与前一次击打时所作的功之比为常数r(0 r1).问(2)设函数y y(x)在()内具有二阶导数，且y 0,x x(y)是y y(x)的反函数.程.试将x x(y)所满足的微分方程d2x dy2(y sinx)(dx)3 0变换为y y(x)满足的微分方 dy(2)求变换后的微分方程满足初始条件y(0)0,y (0)3 -的解.2汽锤击打桩3次后，可将桩打进地下多深若击打次数不限，汽锤至多能将桩打进地下多深(注:m表示长度单位米.)七、(本题满分12分)、(本题满分12分)设函数f(x)连续且恒大于零，其中(t) (x,y, z)(1)讨论F(t

26、)在区间(0,(2)证明当t 0时，F(t)九、(本题满分10分)f(x2(t)y2 z2)dv2-, G(t)f (x y )dD(t)22.z t,D(t) ( x, y)内的单调性.2 4G(t).-22f(x y )dD(t)t 21 f(x )dxt2.3设矩阵A 211 , B P 1A P ,求B12E的特征值与特征向量 ，其中一* .A为A的伴随矩阵，E为3阶单位矩阵已知平面上三条不同直线的方程分别为11: ax 2by 3c 0,12 ：bx 2cy 3a 0,13:cx 2ay 3b 0.试证这三条直线交于一点的充分必要条件为a b c 0.十一、(本题满分10分)已知甲、

27、乙两箱中装有同种产品，其中甲箱中装有3件合格品和3件次品，乙箱中仅装有3件合格 品.从甲箱中任取3件产品放入乙箱后，求：(1)乙箱中次品件数的数学期望.(2)从乙箱中任取一件产品是次品的概率.十二、(本题满分8分)设总体X的概率密度为f(x) 2e2(X)X 0 x 0其中 0是未知参数.从总体X中抽取简单随机样本X1,X2, ,Xn ,记? min(Xi，X2， ,Xn).求总体X的分布函数F(x).(2)求统计量？的分布函数F?(x).(3)如果用？作为的估计量，讨论它是否具有无偏性2004年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、填空题(本题共6小题，每小题4分，满分24分.把答案填

28、在题中横线上)(1)曲线y lnx上与直线x y 1垂直的切线方程为 .(2)已知 f (ex) xex,且 f(1) 0,则 f(x)=.设L为正向圆周x2 y22在第一象限中的部分，则曲线积分Xdy 2ydx的值为4x-dy 2y 0(x 0)的通解为 dxc d2v2 1设矩阵A 1 20 0(4)欧拉方程x2d4 dx20 ,矩B$ B满足ABA 2BA E ,其中A为A的伴随矩阵，E是单1位矩阵，则B =(6)设随机变量X服从参数为的指数分布，则P X V DX =、选择题(本题共8小题，每小题4分，满分32分.每小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的

29、括号内)X 2(7)把x 0时的无穷小量cost dt,0前一个的高阶无穷小，则正确的排列次序是(A),x2, X 3tan Jtdt, sint dt ,使排在后面的是00(B),(D)(A) f(x)在(0,)内单调增加(B) f(x)在(，0)内单调减少(C)对任意的 x (0,)有 f(x) f (0)(D)对任意的 x (,0)有 f(x) f (0)(C)(8)设函数f(x)连续，且f (0) 0,则存在 0,使得(9)设 an为正项级数，下列结论中正确的是 n 1(A)若lim nan=0,则级数 an收敛 nn 1(B)若存在非零常数，使得lim nan ,则级数 an发散nr

30、(C)若级数n2an 收敛,则 lim n an 0n1(D)若级数 an发散,则存在非零常数,使得lim nann 1nt t(10)设 f (x)为连续函数，F(t) dy y f (x)dx,则 F (2)等于(A) 2 f (B) f(2)(C)f(2)(D) 0(11)足AQ设A是3阶方阵，将A的第1列与第2列交换得B ,再把B的第2列加到第3列得C,则满 C的可逆矩阵Q为(A)(B) 10(C)0(D) 10(12)设A,B为满足ABO的任意两个非零矩阵，则必有(A)A的列向量组线性相关,B的行向量组线性相关(B)A的列向量组线性相关,B的列向量组线性相关(C)A的行向量组线性相关

31、,B的行向量组线性相关(D)A的行向量组线性相关,B的列向量组线性相关(13)设随机变量X服从正态分布 N(0,1),对给定的(01),数u满足PXPXx) ，则x等于(A)(C)U1_2(D) Ui(14)设随机变量Xi，X2,Xn(n 1)独立同分布，且其方差为 2-10.令Y - nnXi ,则i 1(B) u1 2(B) Cov(Xi,Y)(D) D(Xi Y)三、解答题(本题共9小题，满分94分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)(15)(本题?黄分12分)2224设e a b e ,证明 ln b In a (b a).e(16)(本题3t分11分)某种飞机在机场降落时，为了

32、减少滑行距离，在触地白瞬间，飞机尾部张开减速伞，以增大阻力，使 飞机迅速减速并停下.现有一质量为 9000kg的飞机，着陆时的水平速度为700km/h经测试，减速伞打开后，飞机所受的总阻力与飞机的速度成正比(比例系数为k 6.0 106).问从着陆点算起，飞机滑行的最长距离是多少(注:kg表示千克，km/h表示千米/小时)(17)(本题?茜分12分)计算曲面积分I2x3dydz 2y3dzdx 3(z2 1)dxdy,其中 是曲面z 1 x2 y2(z 0)的上侧.(18)(本题?黄分11分)设有方程xn nx 1 0,其中n为正整数.证明此方程存在惟一正实根xn,并证明当1时，级数xn收敛.

33、n 1(19)(本题?薪分12分)2 一 _ _2_2_ _z(x, y)ze由 x 6xy 10y 2yz z 180确定的函数，求z z(x, y)的极值点和极值.(20)(本题3黄分9分)设有齐次线性方程组(1 a)x x2 W xn 0,2xi (2 a)x2 2xn 0,lllllllllllllllllnxinx2(n a)xn0,试问a取何值时，该方程组有非零解，并求出其通解.(n 2)(21)(本题3黄分9分)123设矩阵A1 43的特征方程有一个二重根,求a的值，并讨论A是否可相似对角化(22)(本题3黄分9分)111设 A,B 为随机事件，且 P(A) 一,P(B|A) 1

34、,P(A|B) 1 ,令4321,龈生，1, B发生，XY0, A不发生；0, B不发生.求:(1)二维随机变量(X,Y)的概率分布(2) X和Y的相关系数XY .(23)(本题3黄分9分)设总体X的分布函数为其中未知参数1,1,1F(x, )1 70,1,Xi,X2, ,Xn为来自总体X的简单随机样本,求:(1)的矩估计量.(2)的最大似然估计量.2005年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷、填空题(本题共6小题，每小题4分，满分24分.把答案填在题中横线上)(1)曲线y2x2x-的斜渐近线方程为1(2)微分方程xy2y1xln x满足y(1) 一的解为 9(3)设函数 u(x, y,

35、 z)2221x y z1 皿 u ，单位向量n十1,1,1,则一612183n(1,2,3)(4)设是由锥面z.,：x2 y2与半球面z：Rx2 y2围成的空间区域，是的整个边界的外侧，则 xdydz ydzdx zdxdy2 a2 4 a3, % 3 a2 9 a3),(5)设出, 0C2,为均为3维列向量，记矩阵A (a1,02,oc3), B ( o)a2a3,a1如果A 1,那么B(6)从数1,2,3,4 中任取一个数，记为X,再从1,2, ,X中任取一个数，记为Y,则P丫 2二二、选择题(本题共8小题，每小题4分，满分32分.每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目 要求，把所选项

36、前的字母填在题后的括号内)设函数f (x) lim n：1 n 、3n，则 f(x)在(A)处处可导(B)恰有一个不可导点(C)恰有两个不可导点(D)至少有三个不可导点(8)设F( x)是连续函数f(x)的一个原函数,"MN"表示"M的充分必要条件是N",则必有(A) F(x)是偶函数f (x)是奇函数(B) F(x)是奇函数f(x)是偶函数(C) F(x)是周期函数f (x)是周期函数(D) F(x)是单调函数f(x)是单调函数(9)设函数u(x, y)(x y) (x y)(t)dt ,其中函数 具有二阶导数， 具有阶导数，则必有2(A)2x2u2y

37、22u u(B)x y(C)(D)(10)设有三元方程xy zlny exz 1,根据隐函数存在定理，存在点(0,1,1)的一个邻域，在此邻域内该方程(A)只能确定一个具有连续偏导数的隐函数z z(x,y)(B)可确定两个具有连续偏导数的隐函数x(y,z)和z(x, y)(C)可确定两个具有连续偏导数的隐函数y(x,z)和z(x, y)(D)可确定两个具有连续偏导数的隐函数x(y,z)和y(x,z)(11)设2是矩阵A的两个不同的特征值,对应的特征向量分别为%, 0C2,则%, A( % a2)线性无关的充分必要条件是(A)(B) 20(C)(D) 20(12)设A为n(n2)阶可逆矩阵、 *

38、， *.、"，. ，.一 一，一 * *，交换A的第1行与第2行得矩阵B.A ,B分别为A,B的伴随矩阵，则(A)交换A的第列与第2列得(B)交换A的第1行与第2行得B(C)交换A的第列与第2列得(D)交换A的第1行与第2行得B(13)设二维随机变量(X,Y)的概率分布为, - -Y_010a1bY 1相互独立，则已知随机事件X0与X(A) a 02 b0.3(B) a 0.4,b0.1(C) a 0.3,b0.2(D) a 0.1,b0.4(14)设 Xi，X2，,Xn(n2)为来自总体N(0,1)的简单随机样本2,X为样本均值，S2为样本方差，则(A)nX N(0,1)(B)nS

39、2 2(n)(C)(n 1)Xt(n 1)2(D) (nn 1)X1 F(1,n 1)X2、解答题(本题共9小题，满分94分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)(15)(本题?。分11分)设D (x,y)x2 y2 J2,x 0, y 0 , 1 x2 y2表示不超过1 x2 y2的最大整数计算二重积分 xy1 x2 y2dxdy.D(16)(本题?薪分12分)1求哥级数(1) (1 )x2n的收敛区间与和函数 f(x).n 1n(2n 1)(17)(本题?荫分11分)如图，曲线C的方程为y f (x)，点(3, 2)是它的一个拐点，直线11与12分别是曲线 C在点(0,0)与(3,2)

40、处的切线，其 ,交点为(2,4).设函数f(x)具有三阶连续导数，计算定积分2-(x x) f (x)dx.(18)(本题?薪分12分)已知函数f (x)在0,1上连续，在(0,1)内可导，且f (0) 0, f (1) 1.证明：存在 (0,1),使得f( ) 1(2)存在两个不同的点，(0,1)，使得f ( )f ( ) 1.(19)(本题?菌分12分)设函数(y)具有连续导数，在围绕原点的任意分段光滑简单闭曲线L上，曲线积分p (吗2xyd1y的值恒为同一常数.J 2x y(1)证明：对右半平面x 0内的任意分段光滑简单闭曲线c,有口(y)dx 2xydy 0.C2x2y4(2)求函数

41、(y)的表达式.(20)(本题3黄分9分)已知二次型 “Xi,X2,X3) (1 a)x： (1 a)x2 2x22(1 a)为x2 的秩为 2.(1)求a的值；(2)求正交变换x Qy ,把f (x1, x2,x3)化成标准形.(3)求方程 f (Xi , X2 ,X3) =0 的解.(21)(本题3茜分9分)1 2 3已知3阶矩阵A的第一行是(a,b,c),a,b,c不全为零，矩阵B 2 4 6( k为常数),且3 6kAB O ,求线性方程组 Ax 0的通解.(22)(本题3黄分9分)1 | 0 x 1,0 y 2x01其它设二维随机变量(X,Y)的概率密度为f(x, y)求:(1) (

42、X,Y)的边缘概率密度fX(x), fY(y).(2) Z 2X Y的概率密度fZ(z).(23)(本题3黄分9分)设Xi，X2， ,Xn(n 2)为来自总体N(0,1)的简单随机样本，X为样本均值，记YiXi X,i 1,2, ,n.求：(1) Yi 的方差 DYi,i 1,2, ,n.(2) Yi 与 Yn 的协方差 Cov(Y,Yn).2006年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、填空题(本题共6小题，每小题4分，满分24分.把答案填在题中横线上)xln(1 x)(1) lim .x 0 1 cosx (2)微分方程y y(1 x)的通解是 . x(3)设 是锥面z &_

43、y7( o z i )的下侧，则xdydz 2ydzdx 3(z 1)dxdy (4)点(2,1, 0)到平面3x 4y 5z 0的距离z=.(5)设矩阵A2 1,E为2阶单位矩阵，矩阵B满足BA B 2E,则B =.1 2(6)设随机变量X与Y相互独立，且均服从区间0,3上的均匀分布，则P maxX,Y 1 =.二、选择题(本题共8小题，每小题4分，满分32分.目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内)每小题给出的四个选项中,只有一项符合题 设函数y f(x)具有二阶导数，且f (x)0,(x)0,x为自变量x在x0处的增量，y与dy分别为f(x)在点x0处对应的增量与微分，若0,则(A)

44、0 dx y(B) 0dy(C) y dy 0(D) dy(8)设f(x, y)为连续函数，则d 0f (r cos , r sin0)rdr等于二1 x2(A) 02 dx x f (x, y)dy_1 y2(C) 02dy y f (x, y)dx二1 x2(B) 02 dx 0 f (x, y)dy(C) 02 dy 0 f (x, y)dx(9)若级数 an收敛，则级数n 1(A)an收敛n 1(B) ( 1)n an 收敛n 1(C) an an 1 收敛n 1(10)设f(x, y)与(x, y)均为可微函数，且1y(x, y) 0 .已知(x0, y0)是f (x, y)在约束条

45、件(22)(本题?薪分9分)(x, y) 0下的一个极值点，下列选项正确的是(A)若 fx(xo, yo)0,则 fy(xo, yo)0(B)若 fx(xo, y。)0,则 fyUy。)0(C)若 fx(x。，y。) 0,则 fy(x0,y0) 0(D)若 fx(x°, y°) 0,则 fy(x0,y0) 0(11)设内, a2,|, %,均为n维列向量，A是mn矩阵，下列选项正确的是(A)若%,0C2,|, %,线性相关，则A%, A%,A %,线性相关(B)若%,的，|”, %,线性相关，则A%, AOt2,|, A %,线性无关(C)若出,oc2,|, as,线性无关

46、，则A%, A0C2,|, A %,线性相关(D)若%,oc2,|, as,线性无关，则A%, Aa2J " , A ocs,线性无关.(12)设A为3阶矩阵，将A的第2行加到第1行得B ,再将B的第1列的-1倍加到第2列得C ,(A)1_P 1AP一 _ _ 1(B) C PAP 1(C)PTAP(D) C PAP T(13)设A,B为随机事件，且P(B) 0, P(A|B) 1,则必有(A) P(aJb)P(A)(B) P(aJb)P(B)(C) P(A B)P(A)(D) P(A B)P(B)(14)设随机变量X服从正态分布N(212), Y服从正态分布N(2,25,且 P|

47、X1I 1P| Y 2 | 1,则(A)(B) 1(C)(D) 1三、解答题(本题共9小题，满分94分.解答应写出文字说明、(15)(本题?薪分10分)证明过程或演算步骤)22.1 xy .设区域D= x, y x y 1,x 0，计算二重积分I2_JLdxdy.d 1 x y(16)(本题?黄分12分)设数列 xn 满足 0 xi,x 1 sinxn n 1,2,.求：(1)证明lim xn存在，并求之. x1x d xn2(2)计算 lim .xxn(17)(本题?茜分12分)将函数f x一x一2展开成2 x x(18)(本题?黄分12分)x的哥级数. 22设函数f u在0,内具有二阶导数

48、，且z f Jx2 y2满足等式 一Z 一 0.x y验证f ufu- 0.u(2)若f 10, f 11,求函数f (u)的表达式.(19)(本题?薪分12分)设在上半平面Dx, y y 0内，数f x, y是有连续偏导数，且对任意的t 0都有一2 一f tx,ty t f x, y .证明：对L内的任意分段光滑的有向简单闭曲线L ,都有P yf(x, y)dxuxf(x, y)dy 0.(20)(本题3黄分9分)已知非齐次线性方程组Xi4x1ax1X2 X3 X43x2 5x3x2 3x3X4bx4有3个线性无关的解，(1)证明方程组系数矩阵A的秩r A2.(2)求a, b的值及方程组的通

49、解.(21)(本题?荫分9分)设3阶实对称矩阵 A的各行元素之和均为3,向量出T1,2, 1 ,屹0, 1,1 T是线性方程组Ax 0的两个解.(1)求A的特征值与特征向量.(2)求正交矩阵Q和对角矩阵A，使得QTAQA .1, 1 x 021随机变量x的概率密度为fx x1,0 x 2令y x2,F x,y为二维随机变量（X,Y）的分40,其它布函数.(1)求Y的概率密度fY y .1(2) F -,4 .20 x 111x2，其中 是未知参数0其它(23)(本题3黄分9分)设总体X的概率密度为F(X,0)(01), X1,X2.,Xn为来自总体X的简单随机样本，记N为样本值x1,x2.,xn中小于1的个数，求的最大似然估计.2007年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、选择题(本题共10小题，每小题4分，满分40分，在每小题给的四个选项中，只有一项符合题 目要求，把所选项前的字母填在题后括号内)(1)当X