2019_2020学年高中数学第一章导数及其应用1.3.3函数的最大小值与导数练习新人教A版选修2_2

1、1.3.3函数的最大（小）值与导数£ _ xi/vrij'.rii i.iiH Alu n i ilui i A M ,< 限时规范训练基础练习1 .函数y = 3的最大值为（）xA. e 1B. eD.10T2 .已知函数f(x)=ex eln x,则f(x)的最小值为()A. eB. e1Di.-e【答案】A兀3 .函数f (x) = x+2cos x在0, 2上取最大值时，x的值为()兀A. 0B.6兀兀C 7D-5【答案】B4. (2019年黑龙江哈尔滨模拟)函数f(x)=$2ln x的最小值为()1A. 2 B . 1C. 0 D .不存在【答案】A5 .设

2、f (x), g(x)是定义在a, b上的可导函数且 f' ( x)> g' ( x),令 F( x) = f (x) g( x),则F(x)的最小值为 .【答案】f(a) -g(a)【解析】F' (x)=f，(x)-g，(x)>0,所以函数F(x)在定义域内单调递增.所以F(x)min= F(a) = f (a) -g(a).4x一 .一6 .函数f (x) = *2 + 1，xC 2,2的取大值是 ,取小值是 .【答案】2 2 ",4 x2+1 4x - 2x 4 x+1 x 1 人，“，口【解析】f ( x) =. + 1 2=+ 1 2,令

3、 f (x)=0,解得 x=±1.又f(2) = , f( 1)= 2, f(1)=2, f(2)=，所以函数的最大值是2,最小值55是2.7.已知a是实数，函数f (x) =x2(x a).当f' (1) = 3时，求a的值及曲线y=f(x)在点(1, f(1)处的切线方程；(2)求f (x)在区间0,2上的最大值.2解：(1) f (x) = 3x -2ax.因为 f' (1)=3 2a= 3,所以 a= 0.当 a=0 时，f (1) =1, f' (1) = 3,所以曲线y = f(x)在点(1 , f(1)处的切线方程为 y-1 = 3(x-1),即

4、3x-y-2=0.人22a(2)令 f' (x)=0,解得 x1=0, x2 =. 3，2ar,，、一、，当了W0,即a<0时，f(x)在0,2上单倜递增，3从而f ( x) max= f (2) =8 一 4a.,2ar,a当三>2,即a>3时，f(x)在0,2上单倜递减， 3从而f(x) max= f(0) =0.2a2a 2a 当OvvZ,即0va<3时，f (x)在0, "3"上单倜递减，在 "3, 2上单倜递增，8 4a, 0<a<2, 从而f ( x) max0, 2 <a< 3.84a, a&l

5、t;2,综上所述，f ( x) max0, a>2.8.已知函数 f(x) = x3+3x2+9x+a.(1)求f (x)的单调递减区间；(2)若f (x)在区间2,2上的最大值是20,求它在该区间上的最小值.解：(1) f ' (x) = 3x2 + 6x+9.令 f' (x)<0,解得 xv1 或 x>3.，函数f(x)的单调递减区间为(一00, 1), (3 , +8).(2) -. f(-2) = 8+12-18+a=2+a,f(2) =- 8+12 + 18 + a=22+a,f(2) >f(-2).在(一1,3)上 f ' (x)&g

6、t;0,，f(x)在(-1,2)上单调递增.又由于f(x)在(一2, 1)上单调递减，f(2)和f( 1)分别是f(x)在区间 2,2上的最大值和最小值.于是有22 + a=20,解得a=- 2. - f (x) = x + 3x + 9x 2. f( 1) =1+ 3-9-2=- 7,即函数f(x)在区间2,2上的最小值为一 靛9. (2019年山东济南期末)设直线x = t与函数 则当| MN达到最小值时t的值为()A. 1 B. 1 C.手【答案】D【解析】因为f(x)的图象始终在 g(x)的上方,x2 ln x,贝U h' (x) =2x -=-.令 h' (x x x

7、7.力提升f (x) = x2, g( x) = In x的图象分别交于点M N,D.半2、-.所以 | MN = f (x) g( x) = x ln x.设 h( x)=2x2-1J262>=-=0,得*=手，所以h(x)在0,当上单调递减，在 乎，+oo上单调递增，所以当x =,时有最小值，故 t=.-5 -10. (2017年山西大同三模)已知函数f(x) = x4cos x+m4+2x(你R),若导函数f' ( x)在区间4,4上有最大值16,则导函数f' (x)在区间4,4上的最小值为()A. - 16B. 12C. 12D. 16【答案】B【解析】f (x)

8、 = x4cos x+mx + 2x, . f ' (x)=4x3cos xx4sin x+ 2mx+ 2,令 g(x) = 4x3cos x x4sin x+2mx. g( x)为奇函数，: f' (x)在区间4,4上有最大值 16,，g(x) 在区间4,4上有最大值14,，g(x)在区间4,4上的最小值为一14,，f' (x)在区间 4,4上有最小值一12.故选B.xC(0,1 , f(x)>011. (2018年江西南昌模拟)已知函数f(x) =ax3-3x+1,且对任意恒成立，则实数a的取值范围是【答案】4 , +oo )【解析】当xC (0,1时，不等式

9、3ax - 3x +1 > 0可化为3x-1 3x-1a>x.设 g(x) =x, xC(0,13x33x-1 3x216 x-24.令 g， x a1,(x) =0,得 x = 2. g (x)与 g(x)随x的变化情况如下表:x1 0，21212，1g' (x)十0一g(x)极大值4故g(x)的最大值为4,实数a的取值范围是4 , +8).2x12. 已知函数 f (x) =-ln x, xC1,3.8求f (x)的最大值与最小值；(2)若任意xe 1,3，任意t e 0,2,有f (x) V4at恒成立，求实数 a的取值范围.解：(1) f' (x)=x 1 , xC 1,3.4 x令 f ' (x) =0,解得 x=2.当xC1,2)时，f1 (x)<0,即f(x)单调递减；当xC(2,3时，f' (x)>0,即f(x)单调递增.所以x= 2为极小值点，也是最小值点.又f(1) =1, f(2) =1-ln 2 , f(3) =9-ln 3 , f(3) -f(1) =9-In 3 -=1-ln 3 < 0,82888所以最大值为f (1) =!最小值为f (2) =1In 2.82(