2019年数学选修2-1测试题Ⅳ

1、2019年数学选修2-1测试题IV单选题(共5道)1、已知正四棱柱 ABCD-A1B1C1D1, AA1=2AB则Cg平面BDC1 所成角的 正弦值等于()2、已知函数f (x) =x2+bx的图象在点A (1, f (1)处的切线斜率为3,数歹I不匚的前n项为Sn贝U S2011的值为()2U1 I AB - 2009Co 15?3、若曲线y=x4的一条切线l与直线x+4y-8=0垂直，则l的方程为()A4x-y-3=0Bx+4y-5=0C4x-y+3=0Dx+4y+3=04、f (x)与g (x)是定义在R上的两个可导函数，若f (x), g (x)满足f' ( x) =g'

2、; ( x),则 f (x)与 g (x)满足()Af (x) =g (x)Bf (x) =g (x) =0Cf (x) -g (x)为常数函数Df (x) +g (x)为常数函数5、方程寸+匚=1表示的图形是()I tI I clA 一条直线B两条平行线段C一个正方形D一个正方形(除去四个顶点)简答题(共5道)6、已知函数/I-、一端帕r(三R)(1)若函数，(力的图象在工=2处的切线方程为y=x-Fi ,求口力的值;(2)若函数"力在L+与为增函数，求口的取值范围.7、在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1, E, F分别为A1B1, CD的中点.(1)求直线EC与AF所成

3、角的余弦值；(2)求二面角E-AF-B的余弦值.8、设点P (x0, y0)在直线x=m (y ± m 0<mK 1)上，过点P作双曲线 x2-y2=1的两条切线PA PB,切点为 A B,定点M(- , 0),(1)求证：三点A、M B共线；(2)过点A作直线x-y=0的垂线，垂足为N,试求AAMN勺重心G所在曲线 方程。9、如图，在四棱锥?-中，底面ABC电正方形，侧棱网底面ABCD FD=DC , E是PC的中点，作石产邦交PB于点F.(1)证明PAH平面EDB ；(2)证明PB 平面EFD(3)求二面角C -PB -0的大小.p10、-W如图，在底面为菱形 ABCD勺四

4、棱柱ABCD-A1B1C1D1,/ABC=60 , AA1=AB=2 A1B=A1D=2 .(1)求证：AA仕面ABCD(2)若点E在A1D上，且二2,求二面角 E-AC-D.填空题(共5道)11、已知向量F二(1, 1, 0), f=(-1,0,2),且 kra与 2rq互相垂直, 则k值是.12、设平面a与向量a= ( 1,2 , 4)垂直，平面B与向量b=(2,4, 一8)垂直，则平面a与B位置关系是.13、(理)若一条直线与一个正方体的各个面所成的角都为9 ,则sin 0 =.14、在棱长为1的正方体 ABCD-A1B1C1D1, M和N分别为A1B1和BB1的 中点，那么直线AM与C

5、N所成角的余弦值是 .15、设 f (x) =xlnx，若 f' ( x0) =2,贝U x0=()。1-答案：tc解：设AB=1,则AA1=Z分别以币7%口；匚；、万7的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系，如下图所示:(1, 0, 0), B (1,1, 2), C (1, 0, 2), DR= (1,1, 0),QC| = (1, 0,一而-2),口仃=(1,0,0),环二(x,y,z)为平面BDC酌一个法向量，贝唯一一-,；_,、，取"=(2,-2,1),设Cg平面BDC1 所成角为8,则sin 8 二|三尸;x-2- = 0h|二,，故选A.2-答案：t

6、c解：: f' (x) =2x+b, f(1) =2+b=3,b=1, . f (x) =x2+x,S2011=(1-2)+(弓 W)+(201 I -2012)3口12,故选 A3-答案：A4-答案：C5-答案：tcI <7 I 2 2解：x>0, y>0,方程二二=1 为 x+y=1 ； x>0, y< 0,方程二 + =1 为 x-y=1 ； x lylLil y2 .222x<0, y>0,方程3±=1 为-x+y=1 ； x<0, y<0,方程言勺=1 为-x+-y=1 ； .方程已上=1表示的图形是一个正方形（

7、除去四个顶点）.故选：D.Ill lyl1-答案：（1） a=2,5=T2;（2 ） 第一问中利用,3一；且由 小）工1 =工彳j得到，c）= 2 + b = 2-口In 2 = 3 = -21n，第二问中，利用函 数”工）在L+Q为增函数等价于 六 三。在艮+工）上包成立，分离参数法求解 a的范围。解：1分（1）八工）二2工二二1二”2吩；f（2）= 2 +:= 2-nln2 = -21n 2 2（2）八力*-io在口=十h）上包成立.1分得在周二(-2 , 1,0), 5=(2, -1,2). .cos2-答案：（1）建立空间直角坐标系.a<11分(0,1, 0), C (0, 2,

8、 0), E (2, 1, 2),< % &> =1=-1 故直线EC与AF所成角的余弦值为 +./ 丁 IJ ' T J J * JI M I（2）平面ABCD勺一个法向量为：1=（0, 0, 1）.设平面AEF的一个法向量为>(x, y, z), v 5=(-2 ,1,0), &二(0, 1, 2),令 x=1,则 y=2,n 1 n-'a'Tjz=-1?y=(1, 2, -1), /.cos9=|p -|=| 7=|=.由图知二面角 E-AF-B为I rt| 11 n 锐二面角，其余弦值为3-答案：解：（1）设月M）项起办），由已

9、知得到必740，且君-W-i 设切线PA的方程为：由，= .得U-M*-"血-蝌）囚-011MJ：-。， 从而_止5-570-好口-帆）、*1-出-0,解得也=；，因此PA的方程为：97# , 同理PB的方程为：Fim%）,又已仅%在PA PB上，所以w研1,丫仍"叫T,即 点用”,乳栉门:都在直线为¥皿-：上，又 mJ,0）也在直线为尸 】上，所以三点 A、M B共线(2)垂线AN的方程为：¥-力=一丈+所，由-2；：；色得垂足妣口工-3- -设重心G (x, y),所以所二,由4-rf-1 ,可得I9*一3± 1 M=即为重心G所在曲线方程

10、。NN94-答案：(1)略(2)略(3)名解：如图所示建立空间直角坐标系,D为坐标原点.设DC = ".(1)证明：连结AC, AC交BD于G.连结EG.依题意得 MO，。)”砒他暮广底面ABC此正方形，.二G是此正方形的中心，故点 G的坐标为且加皿faY总喙二百一茁.这表明 上R式EG .而户平面EDBaE。平面EDB二Ri，平面EDB (2)证明：依题意得R3&O).而/MF)。又荏二故而£二F5 DE ,由已知EF-PB ,且所以产E 平面EFD.(3)解：设点F的坐标为a J.万-丽 则(飞环工口-G-13.0-g从而看"江宣=乂京=Q-箝&

11、;所以H由条件 EF PB 知，迸互=u 即“城dg-Jjcj一上、二解得，-!。二，点F的坐标为与多且理7爵汐®7春土学.瓦而“IT-与叫即凡?_LF。,故“项是二面角U-四-D的平面角.丁竟已唉吃,吟一且叫屈”亲力口网=后+卷+三邛"4T”-奇条-而巳 4-4,所以，二面角C-PC-D的大小为？本试题主要考查了立体几何中线面平行的判定， 线面垂直的判定，以及二面角的求解的综 合运用试题。体现了运用向量求解立体几何的代数手法的好处。5-答案：解：(1)证明：: A1A=AB=2 A1B=2T,A1A±A 又; 四边形 ABC电菱形. AD=AB=2 又 A1D=

12、2f,. A1AL AR = AB?面 ABCD AD?面 ABCD ABA AD=A.A1AL面 ABCD(2);ABC时菱形且/ ABC=60 , ABC为正三角形；取 BC中点F,.-.AF± BGAD/ BG - AF±AR如下图，以A为原点，直线AF、AD AA1分另为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系;0, 0), B(3,-1 , 0), C(B, 1A |E(0, 0, 2);=2, AE (0z)； 葡 i“e = Q42土y+二. 03 33 +Y = 0A (0,0), D (0, 2, 0), A1);设平面ACE勺法向量为7 =(x, y,令x=1

13、得” 二(1,一回，第)；I -» n I 2>=-=-=1“电I又平面ABCD勺法向量仁二(0, 0, 2); . cos<Ni 1"=生=亚；二面角E-AC-D的大小为30° .解：(1)证明：V A1A=AB=2 A1B=如，A1AL AB; 乂 ,:四边形 ABC此菱 形. . AD=AB=2又 A1D#, ARAB?面 ABCD AD? 面 ABCD ABA AD=A .A1AL面 ABCD(2);ABC时菱形且/ ABC=60 , ABC为正三角形；取 BC中点F,.AF，BGAD/ BG AFI AR如下图，以A为原点，直线AF、AD AA1分另为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系;D (0, 2, 0) , A10, 0), B(3,-1 , 0), C(R, 1, 0),z)；,T )；设平面ACE勺法向量为勺=(x, y,令x二i所=(1,回，啊)；1 I又平面 ABCD勺法向量1= (0, 0, 2); a cos< 1,/2>=2 4 1 = La h I I fi I而角E-AC-D的大小为30解：: 向量 1= (1, 1, 0),讣(-1 , 0, 2), "二#二 (k-1 , k