任意角与弧度制课件

1、任意角与弧度制1.1 1.1 任意角和弧度制任意角和弧度制 1.1.1 1.1.1 任意角任意角第一章第一章 三角函数三角函数 高中新课程数学必修高中新课程数学必修任意角与弧度制知识探究（一）：角的概念的推广知识探究（一）：角的概念的推广 思考思考1 1：对于角的图形特点有如下两种认对于角的图形特点有如下两种认识：识：角是由平面内一点引出的两条射角是由平面内一点引出的两条射线所组成的图形（如图线所组成的图形（如图1 1）；）；角是由平角是由平面内一条射线绕其端点从一个位置旋转面内一条射线绕其端点从一个位置旋转到另一个位置所组成的图形（如图到另一个位置所组成的图形（如图2 2）. . 图图2 2

2、图图1 1任意角与弧度制思考思考2 2：如图，一条射线的端点是如图，一条射线的端点是O O，它，它从起始位置从起始位置OAOA旋转到终止位置旋转到终止位置OBOB，形成，形成了一个角了一个角，其中点，其中点O O，射线，射线OAOA、OBOB分别分别叫什么名称？叫什么名称？A AOB B始边始边终终边边顶点顶点任意角与弧度制思考思考3 3：为了区分形成角的两种不同的旋为了区分形成角的两种不同的旋转方向，可以作怎样的规定？如果一条转方向，可以作怎样的规定？如果一条射线没有作任何旋转，它还形成一个角射线没有作任何旋转，它还形成一个角吗？吗？ 规定：规定：按按逆时针逆时针方向旋转形成的角叫做方向旋转

3、形成的角叫做正角正角，按按顺时针顺时针方向旋转形成的角叫做方向旋转形成的角叫做负角负角如果一条射线没有作任何旋转，则称它如果一条射线没有作任何旋转，则称它形成了一个形成了一个零角零角. .任意角与弧度制角的概念经过推广后，已包括正角的概念经过推广后，已包括正角、负角和零角角、负角和零角在不引起混淆的情况下，在不引起混淆的情况下，“角角 ”或或“ ”可以简化成可以简化成“ ”；如果如果 是零角是零角 = 0,零角的终边与始零角的终边与始边重合边重合 ；注意注意任意角与弧度制画图表示一个大小一定的角，画图表示一个大小一定的角，先画一条射线作为角的始边，先画一条射线作为角的始边，再由角的正负确定角的

4、旋转再由角的正负确定角的旋转方向，再由角的绝对值大小方向，再由角的绝对值大小确定角的旋转量，画出角的确定角的旋转量，画出角的终边，并用带箭头的螺旋线终边，并用带箭头的螺旋线加以标注加以标注. . B B2 2A AB B1 1O O思考思考4 4：度量一个角的大小，既要考虑旋转方度量一个角的大小，既要考虑旋转方向，又要考虑旋转量，通过上述规定，角的向，又要考虑旋转量，通过上述规定，角的范围就扩展到了任意大小范围就扩展到了任意大小. . 对于对于210210， 150150，660660，你能用图形表示这，你能用图形表示这些角吗？你能总结一下作图的要点吗？些角吗？你能总结一下作图的要点吗？ 任意

5、角与弧度制思考思考5 5：如果你的手表慢了如果你的手表慢了2020分钟，或快分钟，或快了了1.251.25小时，你应该将分钟分别旋转多小时，你应该将分钟分别旋转多少度才能将时间校准？少度才能将时间校准？ 120120，450450. .12963任意角与弧度制思考思考7 7：一个角的始边与终边可以重合吗？一个角的始边与终边可以重合吗？如果可以，这样的角的大小有什么特点？如果可以，这样的角的大小有什么特点？ k360k360（kZkZ） 思考思考6 6：任意两个角的数量大小可以相加、任意两个角的数量大小可以相加、相减，如相减，如 50 508080=130=130， 50 508080= =30

6、30，你能解释一下这两个式，你能解释一下这两个式子的几何意义吗？子的几何意义吗？ 以以5050角的终边为始边，逆时针（或顺角的终边为始边，逆时针（或顺时针）旋转时针）旋转8080所成的角所成的角. . 任意角与弧度制知识探究（二）：知识探究（二）：象限角象限角 思考思考1 1：为了进一步研究角的需要，我们为了进一步研究角的需要，我们常在直角坐标系内讨论角，并使角的顶常在直角坐标系内讨论角，并使角的顶点与原点重合点与原点重合, ,角的始边与角的始边与x x轴的非负半轴的非负半轴重合，那么对一个任意角，角的终边轴重合，那么对一个任意角，角的终边可能落在哪些位置？可能落在哪些位置？ xoy任意角与弧

7、度制思考思考2 2：如果角的终边在第几象限，我们如果角的终边在第几象限，我们就说这个角是就说这个角是第几象限的角第几象限的角；如果角的；如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于终边在坐标轴上，就认为这个角不属于如何象限，或称这个角为如何象限，或称这个角为轴线角轴线角. .那么下那么下列各角：列各角：-50-50，405405，210210, , -200-200，450450分别是第几象限的角？分别是第几象限的角？50 xyoxyo210450 xyo405xyo200 xyo任意角与弧度制思考思考3 3：锐角与第一象限的角是什么逻辑锐角与第一象限的角是什么逻辑关系？钝角与第二象限的角是什么

8、逻辑关系？钝角与第二象限的角是什么逻辑关系？直角与轴线角是什么逻辑关系？关系？直角与轴线角是什么逻辑关系？思考思考4 4：第二象限的角一定比第一象限的第二象限的角一定比第一象限的角大吗？角大吗？ 象限角只能反映角的终边所在象限，不象限角只能反映角的终边所在象限，不能反映角的大小能反映角的大小. 任意角与弧度制思考思考5 5：在直角坐标系中，在直角坐标系中，135135角的终角的终边在什么位置？终边在该位置的角一定边在什么位置？终边在该位置的角一定是是135135吗？吗？xyo任意角与弧度制练习练习1、下列命题正确的是、下列命题正确的是 （ ）A、终边相同的角一定相等、终边相同的角一定相等B、第

9、一象限角都是锐角、第一象限角都是锐角C、锐角都是第一象限角、锐角都是第一象限角D、小于、小于90的角都是锐角的角都是锐角2、A=小于小于90的角，的角，B=第一象限第一象限角，则角，则AB=（ ）A、锐角、锐角B、小于、小于90的角的角C、第一象限角、第一象限角D、以上都不对、以上都不对任意角与弧度制3、已知角、已知角是第三象限角，则角是第三象限角，则角-的终边在（）的终边在（）A、第一象限、第一象限 B、第二象限、第二象限 C、第三象限、第三象限 D、第四象限、第四象限 4 4、 若若 是第二象限的角，则是第二象限的角，则1801800 0- - 是（是（ ） A A 第一象限第一象限 B

10、B第二象限第二象限 C C第三象限第三象限 D D第四象限第四象限 任意角与弧度制5、已知角、已知角的终边在下图中阴影所表示的的终边在下图中阴影所表示的范围内（不包括边界），那么范围内（不包括边界），那么 30 xy任意角与弧度制知识探究（三）：知识探究（三）：终边相同的角终边相同的角 思考思考1 1：3232，328328，392392是第几是第几象限的角？这些角有什么内在联系？象限的角？这些角有什么内在联系？32392xyo o328任意角与弧度制思考思考2 2：与与3232角终边相同的角有多少个？角终边相同的角有多少个？这些角与这些角与3232角在数量上相差多少？角在数量上相差多少？ 思

11、考思考3 3：所有与所有与3232角终边相同的角，角终边相同的角，连同连同3232角在内，可构成一个集合角在内，可构成一个集合S S，你能用描述法表示集合你能用描述法表示集合S S吗？吗？ S=|=S=|=k360k360，kZkZ，即任，即任一与一与终边相同的角，都可以表示成角终边相同的角，都可以表示成角与整数个周角的和与整数个周角的和. .思考思考4 4：一般地，所有与角一般地，所有与角终边相同的终边相同的角，连同角角，连同角在内所构成的集合在内所构成的集合S S可以怎可以怎样表示？样表示？ 任意角与弧度制（3）下列角的终边相同的是（）A4kkk，42与与与与B322kk，3C2kkk，2

12、 D 12kkk ，3任意角与弧度制思考思考5 5：终边在终边在x x轴正半轴、负半轴，轴正半轴、负半轴，y y轴轴正半轴、负半轴上的角分别如何表示？正半轴、负半轴上的角分别如何表示？ x轴正半轴：= k360，kZ ； x轴负半轴：= 180k360，kZ ；y轴正半轴：= 90k360，kZ ； y轴负半轴：= 270k360，kZ .思考思考6 6：终边在终边在x x轴、轴、y y轴上的角的集合分轴上的角的集合分别如何表示？别如何表示？ 终边在x轴上：S=|=k180，kZ；终边在y轴上：S=|=90k180， kZ. 任意角与弧度制思考思考7 7：第一、二、三、四象限的角的集第一、二、

13、三、四象限的角的集合分别如何表示？合分别如何表示？ 第一象限：第一象限：S=|k360S=|k3609090k360k360，kZkZ；第二象限：第二象限：S=|90S=|90k360k360180180k360k360，kZkZ；第三象限：第三象限：S=|180S=|180k360k360270270k360k360，kZkZ；第四象限：第四象限：S=|S=|9090k360k360k360k360，kZ.kZ.任意角与弧度制思考思考8 8：如果如果是第二象限的角，那么是第二象限的角，那么22、/2/2分别是第几象限的角？分别是第几象限的角？9090k360k360180180k360k36

14、0180180k720k72023602360k720k7204545k180k180/290/290k180k180任意角与弧度制理论迁移理论迁移 例例1 1 在在0 0360360范围内，找出范围内，找出与与9509501212角终边相同的角，并判角终边相同的角，并判定它是第几象限角定它是第几象限角. . 129 1294848，第二象限角，第二象限角. .任意角与弧度制S=|=45S=|=45k180k180，kZ.kZ.315315，-135-135，4545，225225，405405，585585. . 例例2 2 写出终边在直线写出终边在直线y=xy=x上的角的集上的角的集合合S

15、 S，并把，并把S S中适合不等式中适合不等式-360-360 720720的元素写出来的元素写出来. . 任意角与弧度制理论迁移理论迁移 例例1 1 在在0 0360360范围内，找出范围内，找出与与9509501212角终边相同的角，并判角终边相同的角，并判定它是第几象限角定它是第几象限角. . 129 1294848，第二象限角，第二象限角. . 例例2 2 求与求与39003900终边相同的最小终边相同的最小正角和最大负角正角和最大负角. . 300 300，-60-60. .任意角与弧度制S=|=45S=|=45k180k180，kZ.kZ. 例例3 3 写出终边在直线写出终边在直线

16、y=xy=x上的角的集上的角的集合合S S，并把，并把S S中适合不等式中适合不等式-360-360 720720的元素写出来的元素写出来. . 315315，-135-135，4545，225225，405405，585585. . 任意角与弧度制 例例4 4 已知角已知角的终边与的终边与3030角的角的终边关于终边关于x x轴对称，试在轴对称，试在0 0360360范范围内，找出与围内，找出与 终边相同的角终边相同的角. . 3q110110， 230230， 350350. .任意角与弧度制任意角与弧度制探究探究1 1：弧度的概念弧度的概念思考思考1 1：在平面几何中，在平面几何中，1

17、1的角是怎样的角是怎样定义的？定义的？ 将圆周分成将圆周分成360360等份，每一段圆弧所等份，每一段圆弧所对的圆心角就是对的圆心角就是1 1的角的角. . 思考思考2 2：在半径为在半径为r r的圆中，圆心角的圆中，圆心角n n所所对的圆弧长如何计算？对的圆弧长如何计算？ nrl3602任意角与弧度制2360rlnp=思考思考3 3：如图，把长度等于半径长的圆弧如图，把长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做所对的圆心角叫做1 1弧度的角弧度的角，记作，记作1rad1rad，读作读作1 1弧度弧度. . 那么，那么，1 1弧度圆心角的大小弧度圆心角的大小与所在圆的半径的大小是否有关？为什与所在圆

18、的半径的大小是否有关？为什么？么？O OA AB Br rr r1rad1rad任意角与弧度制思考思考4 4：约定：正角的弧度数为正数，负约定：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数角的弧度数为负数，零角的弧度数为为0.0.如果将半径为如果将半径为r r圆的一条圆的一条半径半径OAOA，绕圆心顺时针旋转到，绕圆心顺时针旋转到OBOB，若弧，若弧ABAB长为长为2r2r，那么，那么AOBAOB的大小为多少弧度？的大小为多少弧度？2rad.2rad.B2rOAr思考思考5 5：如果半径为如果半径为r r的圆的圆心角的圆的圆心角所所对的弧长为对的弧长为l，那么，角，那么，角的弧度数的绝

19、的弧度数的绝对值如何计算？对值如何计算？ rl任意角与弧度制弧度制的性质弧度制的性质 角角 的弧度数的绝对值的弧度数的绝对值| |=整圆整圆所对的圆心角为所对的圆心角为半圆半圆所对的圆心角为所对的圆心角为正角正角的弧度数是一个的弧度数是一个正数正数负角负角的弧度数是一个的弧度数是一个负数负数零角零角的弧度数是的弧度数是零零. rr.2 2 rr. rl任意角与弧度制思考思考6 6：半径为半径为r r的圆的圆心与原点重合，的圆的圆心与原点重合，角的始边与角的始边与x x轴的非负半轴重合，交圆于轴的非负半轴重合，交圆于点点A A，终边与圆交于点，终边与圆交于点B B，下表中，下表中AOBAOB的的

20、弧度数分别是多少？弧度数分别是多少？ 弧弧ABAB的长的长r r2r2rOBOB旋转的方向旋转的方向 逆时逆时针针逆时逆时针针顺时顺时针针顺时顺时针针顺时顺时针针AOBAOB的弧度的弧度数数r2 r3 r2-1-1-2-23任意角与弧度制探究（二）：度与弧度的换算探究（二）：度与弧度的换算 思考思考1 1：一个圆周角以度为单位度量是多一个圆周角以度为单位度量是多少度？以弧度为单位度量是多少弧度？少度？以弧度为单位度量是多少弧度？由此可得度与弧度有怎样的换算关系？由此可得度与弧度有怎样的换算关系？ 思考思考2 2：根据上述关系，根据上述关系，1 1等于多少弧等于多少弧度？度？1rad1rad等于

21、多少度？等于多少度？ radrad01745. 018010815730.571801000rad 180180 rad.rad. 任意角与弧度制思考思考3 3：根据度与弧度的换算关系，下表根据度与弧度的换算关系，下表中各特殊角对应的弧度数分别是多少？中各特殊角对应的弧度数分别是多少？ 今后用弧度制表示角时，今后用弧度制表示角时，“弧度弧度”二字二字或或“rad”“rad”通常略去不写，而只写该角所通常略去不写，而只写该角所对应的弧度数对应的弧度数. .如如=2=2表示表示是是2rad2rad的角的角. .思考思考4 4：在弧度制下，角的集合与实数集在弧度制下，角的集合与实数集R R之间可以建

22、立一个一一对应关系，这个之间可以建立一个一一对应关系，这个对应关系是如何理解的？对应关系是如何理解的？ 度度 0 00 030300 045450 060600 090900 01201200 01351350 01501500 01801800 02702700 03603600 0弧弧度度60 0432233456322任意角与弧度制思考思考5 5：已知一个扇形所在圆的半径为已知一个扇形所在圆的半径为R R，弧长为弧长为l，圆心角为，圆心角为（ ）那么）那么扇形的面积如何计算？扇形的面积如何计算？ 022211222lSl RRaa=思考思考6 6：在弧度制下，与角在弧度制下，与角终边相同的终边相同的角如何表示？角如何表示？