第11章 恒定电流的磁场

1、 磁悬浮磁悬浮列车以电磁力将列车浮起，使列车在高速行驶中始终与轨列车以电磁力将列车浮起，使列车在高速行驶中始终与轨道保持道保持1厘米左右的距离，由于避免了与轨道的直接接触，行驶速度也厘米左右的距离，由于避免了与轨道的直接接触，行驶速度也大大提高，可达到大大提高，可达到550km/h或更高。或更高。11.1.1 基本磁现象基本磁现象NS磁磁场场 磁现象磁现象(1)磁体磁体磁体磁体 磁现象磁现象(2)磁体磁体电流电流INS 磁现象磁现象(3)SNIF磁体磁体电流电流 磁现象磁现象(4)电流电流电流电流1I2IFF磁现象的本质？磁现象的本质？运动电荷运动电荷11.1 磁场磁场 磁感应强度磁感应强度(

2、分子电流分子电流)11.1.2 磁感应强度磁感应强度lIdLB电流元模型：电流元模型：lIdsinddlIF BFdlIdBFdBlIF ddu磁场力磁场力 与与 和和 满足满足B安培力公式安培力公式lId0dF定义定义磁感应强度磁感应强度 的的方向方向:定义定义磁感应强度磁感应强度 的大小的大小: :lIFBddmax 说明说明在该点处静止小磁针的在该点处静止小磁针的N极指向极指向【实验规律实验规律】电流元受力：电流元受力：BB磁感应强度有磁感应强度有多种定义方法多种定义方法，除上述方法外，还可以用，除上述方法外，还可以用运运动电荷动电荷在磁场中的受力来定义。在磁场中的受力来定义。BqF v

3、),(zyxBB 0/qFE 引入试验电荷引入试验电荷q0 0lIdIrPBd实验结果实验结果点产生的点产生的lId在在P大小：大小：Bd点产生的点产生的lId在在P方向：方向：.Bdsin2rIdlkdB sin420rIdl270A/N104 真空中的磁导率真空中的磁导率SISI制中制中基本思路：基本思路：lIdIBdBBd? ?磁场叠磁场叠加原理加原理11.2.1 毕奥萨伐尔定律毕奥萨伐尔定律 11.2 毕奥萨伐尔定律毕奥萨伐尔定律 30d4drrlIBxxBBdyyBBdzzBBdBPlId例：例：PPlIdlIdlIdPPBdBd0dBBd的方向的方向 右手法则右手法则方向方向讨论讨

4、论BdBd30d4drrlIB例例1. 载流直导线的磁场载流直导线的磁场IalIdrB解解：20sind4drlIB求求距离载流直导线为距离载流直导线为a 处一点处一点P 的的磁感应强度磁感应强度 B分析分析2004rrlIdB选电流元选电流元的大小的大小Bd的方向的方向Bd的大小的大小Bd方向：如图方向：如图Bd20sind4drlIBB所以所以P1211.2.2 毕奥萨伐尔定律应用毕奥萨伐尔定律应用举例举例20sind4drlIBB12sin/ar dal2sind cotcotaal根据几何关系：根据几何关系：)cos(cos4210aIIPalIdrBl2140dsin aIB（1）无

5、限长直导线）无限长直导线)cos(cos4210aIB012aIB20方向：右螺旋法则方向：右螺旋法则（2）半无限长直导线）半无限长直导线PaI1201B)cos(cos0002180904aIBaI40Br讨讨 论论I12PBaIB40扩展扩展 无限长载流平板的磁场无限长载流平板的磁场IbPBdBd XBd解：解：bxIIdd rIBdd20 xPdBBcosdBrsecdbyxI202200secd22bxbyIXY0dx求求: 平板中线正上方垂直距平板中线正上方垂直距 离为离为 y 的的P点处点处的磁感的磁感 应强度应强度.(宽度为宽度为 b,电流为电流为 I ).分析分析磁场叠加磁场叠

6、加原理原理选择合适的选择合适的基础单元基础单元(y)100dbIBPybbIBP2arctan0yb2arctan1dsecd2yx tanyx IbPBdXBdXY0dx(y) 12020dbPsecxbyIBx方法方法:叠加原理叠加原理;基础单元基础单元;对称性对称性;投影投影;积分积分.（1） （2）（3）ybbIBBp2arctan0（1）by yIbyIbB2200ybyb22arctan( (无限长载流直导线无限长载流直导线) ) （2）by 22arctanybbIbIB2200i021无无限限大大板板031 BBiB02ii讨讨 论论方向方向:IbXY0B 1例例2. 载流圆线

7、圈的磁场载流圆线圈的磁场RX0I求轴线上一点求轴线上一点 P 的磁感应强度的磁感应强度.lIdBd20d4drlIBBd 根据对称性根据对称性0Bcosd4cosdd20rlIBBxrRcos2/32220)(2xRIRB方向满足右手定则方向满足右手定则r分析分析解解30d4drlRIBBxPBdB方法方法: 电流元电流元;dB的大小的大小,方向方向; 对称性对称性;投影投影;积分积分.x(1)0 x载流圆线圈的圆心处载流圆线圈的圆心处 200242RRIRIB 讨论讨论一段圆弧在圆心处产生的磁场一段圆弧在圆心处产生的磁场RIB40204RIlI2/32220)(2RxIRB(2) 轴线上的磁

8、感应强度轴线上的磁感应强度Rx 3202xIRB302 xISneneISm定义定义m302xmB磁矩磁矩SI磁感应强度磁感应强度“磁偶极子磁偶极子”例题例题求绕轴旋转、带电为求绕轴旋转、带电为 q 的圆盘轴线上的的圆盘轴线上的磁场磁场和和圆盘的磁矩圆盘的磁矩.OXRq解：解：2/ Rqrdrdq2rdrrdr22xpr2/322302/32220)(2d)(2ddxrrrxrIrBBd分析：分析： 旋旋 转转 电电 流流 叠加原理叠加原理 基础单元基础单元tqIddd )(2 2/32220 xRIRB圆盘圆心处圆盘圆心处 RB20nnprrIrmddd32RmRrrp0434d方向沿方向沿

9、 X 轴正向轴正向 xRxxRBBR222d2222002/322302/32220)(2d)(2ddxrrrxrIrB0 xrrIddrdrx302xmpBlInIdd 载流螺线管轴线上一点载流螺线管轴线上一点P的磁感应强度的磁感应强度BIRl dBdrlPcotRl 2222cscRlR2/322202/32220)(2d)(2ddlRlInRlRIRBdsin2d0nIB21dsin20nIB120coscos2nI12解解例例求求设有一均匀密绕螺线管设有一均匀密绕螺线管, 半径为半径为R, 单位长度上的匝数为单位长度上的匝数为n,螺线管通有电流螺线管通有电流I2/32220)(2RxI

10、RBdcscd2Rl(1) 无限长载流螺线管无限长载流螺线管1nIB002 讨论讨论(2) 半无限长载流螺线管半无限长载流螺线管 ,2 10 2012BnIIRl dBdrP12120coscos2nIB第第9章章 稳恒电流的磁场稳恒电流的磁场 (magnetic field) u 基本的磁现象基本的磁现象磁感应强度磁感应强度BlF IddB vqF安培力公式安培力公式毕毕 - - 沙定律及其应用沙定律及其应用200d4drrlIBlIdIrPBd200d4drrlIBB( (磁偶极子磁偶极子) )ISnmp磁距磁距定义定义nmIS302xmB)cos(cos4210aIBa12IyxxOP一

11、段载流直导线的磁场一段载流直导线的磁场 aIB20载流圆环的磁场载流圆环的磁场 IORxPx2/32220)(2RxIRBRx 302xmB匀角速度匀角速度旋旋转的均匀带电圆盘转的均匀带电圆盘xRxxRB22222220(1) 无限长载流螺线管无限长载流螺线管1nIB002 讨论讨论(2) 半无限长载流螺线管半无限长载流螺线管 ,2 10 2012BnIIRl dBdrP12120coscos2nIB(3) x LPcotRx 302xmB1xRxcot22cosxRx21211cosxRx22222cosxRxLxx222RLnIm 11.2.3 运动电荷的磁场运动电荷的磁场 30d4drr

12、lIBSnqIv电荷数密度电荷数密度NrrqBd4d30v一个电荷产生的磁场一个电荷产生的磁场304ddrrqNBBvNqlSnqlIdddvv电流强度电流强度NqlIddvSvn,q,lIdIrBd【构造电流元构造电流元】qpvr2004rrqBv如图的导线，已知电荷线密度为如图的导线，已知电荷线密度为 ，当绕，当绕 O 点以点以 转动时转动时解解 线段线段1：dddblq201d4dbbqBd40O 点的磁感应强度点的磁感应强度例例求求000141d4B线段线段2：同理同理0241BabO1234qdd vBd304rrqBvabO1234 线段线段3：rqdd203d4drrrBrrd4

13、0abrrBbaIn4d4003线段线段4：同理同理abBIn4044321BBBBB0)In11 (21abBdv02141 BB304rrqBv11.3 磁通量磁通量 磁场的高斯定理磁场的高斯定理主要内容：主要内容：1. 磁场线磁场线2. 磁场线的特征磁场线的特征4. 磁场的高斯定理磁场的高斯定理3. 磁通量磁通量 11.3.1 磁通量磁通量(1) 在磁场中画出一簇曲线在磁场中画出一簇曲线,让曲线上每一点的切线方向代让曲线上每一点的切线方向代表该点处磁感应强度表该点处磁感应强度B的方向的方向(2) 磁场的强弱由磁场线的疏密来表示磁场的强弱由磁场线的疏密来表示1. 磁场线磁场线BSdSBdd

14、m垂直磁感应强垂直磁感应强度的面元面积度的面元面积穿过面元的穿过面元的磁场线条数磁场线条数11.3 磁通量磁通量 磁场的高斯定理磁场的高斯定理2. 磁场线的特点磁场线的特点(1) 无头无尾的闭合曲线。无头无尾的闭合曲线。(2) 与电流相互套连，服从右手螺旋定则。与电流相互套连，服从右手螺旋定则。NSB磁棒的磁场线磁棒的磁场线载流长直导载流长直导线的磁场线线的磁场线载流圆线圈的磁场线载流圆线圈的磁场线IBIB(3) 磁场线不相交。磁场线不相交。3. 磁通量磁通量SBddmSBmdd通过面元的磁场线条数通过面元的磁场线条数 通过该面元的磁通量通过该面元的磁通量SdBneSdBSd对于有限曲面对于有

15、限曲面SmSBd磁场线穿入磁场线穿入对于闭合曲面对于闭合曲面SmSBd规定规定0m磁场线穿出磁场线穿出0mBBSdneSdBne11.3.2 磁场的高斯定理磁场的高斯定理磁场线都是闭合曲线磁场线都是闭合曲线 0dSmSB(磁磁场场高斯定理高斯定理)电流产生的磁感应线既没有起始点，也没有终止点，即磁电流产生的磁感应线既没有起始点，也没有终止点，即磁场线既没有源头，也没有尾闾场线既没有源头，也没有尾闾磁场是无源场（涡旋场）。磁场是无源场（涡旋场）。SiSqSE01d（正（正负负电荷电荷） （正（正负负磁荷磁荷） （磁单极磁单极） 例例 证明在磁场线为平行直线的空间中，同一根磁场线上各证明在磁场线为

16、平行直线的空间中，同一根磁场线上各点的磁感应强度值相等。点的磁感应强度值相等。abS解解SmSBdSBSBbabaBB 011.4 安培环路定理安培环路定理主要内容：主要内容：1. 安培环路定理安培环路定理 无限长均匀载流空心圆柱导体的磁场无限长均匀载流空心圆柱导体的磁场 无限长载流密绕螺线管的磁场无限长载流密绕螺线管的磁场 螺绕环电流的磁场分布螺绕环电流的磁场分布 无限大平面电流的磁场无限大平面电流的磁场 2. 安培环路定理的应用安培环路定理的应用静电场静电场: : 0d lE静电场是保守场静电场是保守场磁磁 场场: :?d lB 以无限长载流直导线为例以无限长载流直导线为例 rIB20Ll

17、BdLlBdcosLrrId20I0磁场的环流与环路中所磁场的环流与环路中所包围的包围的电流有关！电流有关！ ILPIBrrLrdld11.4.1 安培环路定理安培环路定理11.4 安培环路定理安培环路定理dr 若环路方向反向，情况如何？若环路方向反向，情况如何？IBrLld rdLlBdLrrId20I0 若环路中不包围电流的情况？若环路中不包围电流的情况？IL1dlI1B2B2dl1012 rIB1r2rL2022 rIBlBlBdd21对一对线元来说对一对线元来说 2211cosdcosdlBlB2201102d2drIrrIr0d环路不包围电流，则磁场环流为零环路不包围电流，则磁场环流

18、为零 规定：电流的正负规定：电流的正负. .0d LlBLlBdcosrdlldcosdcos 推广到一般情况推广到一般情况 kII 1nkII1 在环路在环路 L 中中 在环路在环路 L 外外 L1I2IiI1kInIkIP LiLlBlBd)(d则磁场环流为则磁场环流为 LilBd010kiiIkiLiI1(0内） 安培环路定理安培环路定理 )(0d内iLIlB环路上各点的磁环路上各点的磁场为所有电流的场为所有电流的贡献贡献真空中真空中,稳恒磁场的磁感应强度沿任意闭合路径稳恒磁场的磁感应强度沿任意闭合路径L 的线积分等的线积分等于真空磁导率于真空磁导率 0 0 乘以穿过该闭合路径所有电流的

19、代数和乘以穿过该闭合路径所有电流的代数和 。(1) 积分回路方向与电流方向呈右螺旋关系积分回路方向与电流方向呈右螺旋关系满足右螺旋关系时满足右螺旋关系时 0iI反之反之 0iI(2) 磁场是有旋场磁场是有旋场LlBd 与磁场力的功无关，仅是磁场与电流的关系与磁场力的功无关，仅是磁场与电流的关系 电流是磁场涡旋的轴心电流是磁场涡旋的轴心 (3) 安培环路定理只适用于闭合的载流导线，对于任意设想安培环路定理只适用于闭合的载流导线，对于任意设想的一段载流导线不成立的一段载流导线不成立aILLlBdLlaIdcoscos4210如图载流直导线如图载流直导线, 设设 4/2112aaI222240220

20、II0例例讨论讨论则则L L的环流为的环流为: :IB基本思路：基本思路：若电流分布具有某些对称性，则可用安培环路定理求电流若电流分布具有某些对称性，则可用安培环路定理求电流产生的磁场。产生的磁场。 iLIlB0dSIBi0例例 求无限长圆柱面电流的磁场分布。求无限长圆柱面电流的磁场分布。 RIrPL解解 系统具有轴对称性，圆周上各点的系统具有轴对称性，圆周上各点的 B 相同相同PIddIBddBP 点的磁感应强度点的磁感应强度沿圆周的切线方向沿圆周的切线方向 Rr LlBdLlB drB 2I0rIB2011.4.2 安培环路定理的应用安培环路定理的应用 LlBdcosLlB drB 2Rr

21、 在系统内以轴为圆心做一圆周在系统内以轴为圆心做一圆周00BRIRBOrrB1无限长圆柱形载流直导线的磁场分布无限长圆柱形载流直导线的磁场分布 Rr 区域：区域：rIB20区域：区域：Rr rB 220rj2RIj202 RIrB推广：推广：BRrrI 20Rr 0解解 设无限长均匀载流空心圆柱导体的内外半径分别为设无限长均匀载流空心圆柱导体的内外半径分别为R1、R2，电流沿轴向流动电流沿轴向流动LlBdLlBd0cosrB 2I0rIB202RIr1R2Rr LlBdLlBd0cosrB 221222120)(RRRrIPL21RrR例例求求圆柱导体内外的磁感应强度圆柱导体内外的磁感应强度

22、rRrRRIB21221220)(21Rr rB 2LlBdLlBd0cos00B磁场分布曲线磁场分布曲线 OBrRIB201R2RI1R2R解解 面对称面对称 BBPabcddacdbcablBlBlBlBlBdd ddddcbalBlBddBab2ab02/0B推广：推广：有厚度的无限大平面电流有厚度的无限大平面电流 jd2/0jdBjxB0 在外部在外部 在内部在内部 x例例求求设有一无限大均匀载流平面，流过单位宽度的电流强度为设有一无限大均匀载流平面，流过单位宽度的电流强度为 载流平面周围的磁感应强度载流平面周围的磁感应强度 u 磁场的高斯定理磁场的高斯定理0SmdSBu 磁场的安培环路定理磁场的安培环路定理)(0d内iLIlBLlBdcdaabclBlBddILI1L2LLabcdeaeccealBlBdd1dLlB2dLlBI0I00安培环路定理的应用安培环路定理的应用 无限长圆柱面电流的磁场分布