2020届高三一轮复习高中数学《必修1》知识汇编

1、高中数学必修1知识汇编§高初中衔接知识(补充)几个公式： (a b)3 =a3 3a4 5b 3ab2 b3，变：(a -b)3 = a3 -3a2b 3ab2 -b3【注】齐3次；a降幕b升幕；杨辉三角。贝勾(a b c) 2 = a2 b2 c2 2ab 2bc 2ca立方和:a3 b3 = (a b)(a2ab b2)立方差:a3 -b3 = (a -b)(a2 ab b2)K例化简：(a 2)(a -2)(a6 4a2 16)；(x -3y-4z)2 ；已知：x=- ,y=卫，求：x3+y3的值； 2+J32+13因式分解：-27x r8 ；3a2b-8化4。根的符号：两个正

2、根二；两个负根二J x-A + xA 0 ;凶 X2 > 0" *X2 a 0A>0、一正一负根二禺 X2；一零根二C = o ；两根相反数二J；一根为±1二,b = 0K例 U X2 5x 6 : x2 (p q)x pq : 2x2 7x 6 二 4x2 4x-15 5222K练习 4x -15x 9 : 3x x-2 : 4x -27xy 18y ; 6x2 5x -50 : mx2 -(2m 1)x m T一兀二次方程:ax2 bxc = 0(a = 0)【知识点】1 '根的情况： >0;=0;<0 ； 2、韦达定理：当.：-0时，【

3、题型】：求两根的代数式的值：对称式；非对称式。: _0 , ： 011例1函数y二X(X R)，求值域。析：判别式法十字相乘法:1例2一元二次方程(1 _k)x2 -2X - 1 =0有两个不相等的实根，求K的范围.7E 印一”0析：JZ>01例3已知X、y满足x2 y2xy 2x - y 1 = 0，试求：X、y的值解：看成 X 的方程，x2 (y2)x y2 -y -1=0 有根，,1 _ 0 gp-3y2_0. y = 0X1 *X2 ° a .x 2x 1 =0. x = -11例42若Xi,X2是方程x , 2X-2006 =0的两根，求: X； +X22 ;，+&#

4、177; ；(人一5)(X2-5)： % X2：+X； X2 ； ® x+ x23X-1 X2a - b c= 0K例 5若 a b 且 a?.8a 5 =0,b2 8b 5=0，求一a一1 b一1K例63若t是一元二次方程的根，A二b2 -4ac，M =(2at - b)2，比较： M析：作差，M -：二 4a2t2 4abt b2b? 4ac 二 4a(at2 bt c) = 0 »:二 MK例7已知：关于X的方程x2, 3xm =0两根的平方和为11,求a21 2K例83已知：关于X的方程X -(k 1)A -k *1 =0，问：(i)k取何值时,方程有两个正根；4若

5、方程两是矩形的两边，且对角线为,5，求k.解不等式:八x>a的解集为x acxca) 1、绝对值丕等.式：_(H石“砂"Lj a i|x ca的解集为'xxna或x£a>(M x <3 :x >5 ;K变式X 1 -3x兰4/x2 >a的解集为5-Ja v x(需2、平方不等式,ix2 ca的解集为 必> Ua或x v -%/a'1例x2乞8 :x231 变式 X (2x1)2 乞 18 3、一元二次不等式：图象法（口诀：大于的取两边，小于的夹中间）；符号法图象法：禾I 用二次函数图象求解K例X X2_X_6=0 ； y=

6、x?_x_6 ; x2_x_6 0析：由y=0得，即抛物线与x轴的交点的横坐标 由y>0得，即抛物 线在x轴上方的图象，所对应的x的范围由图可知：（3）的角星集为：、xx”-2或x 3 '【推广】：全部情况如下表：只对a>0研究，对a<0的化为a>0求解心>0心二0A <0y = ax2 +bx +c (a>0)ILX=X2V2ax +bx+c = 0 (a>0)-b±VXXr 2a-bXi X2 2a无解2ax +bx+cr>0(a>0)Ixxv 为或 X <X2 b:J X X 工-一 )A2a：R （恒成

7、立）2ax +bx +c <0(a>0)&l为 < XVX2（无解或恒不成立）（无解或恒不成立）【注】1、先化为aX）;2、口诀：大于的取两边,小于的夹中间；【总结】：由表可知，解一元二次不等式的三步骤:1、化为标准式：ax +bx+c AO （VO） ; a AO<2、求根：ax2+bx+c = 0 的根3、据口诀写解集,J22221K例 1 3X -7XA0 ;（2）.X2x-3 0 ;-X4X-4 : : 0 ： X-X04符号法：【知识点】1、法则：两数相乘，同号得正，异号得负；2、步骤：先因式分解；再据符号法则化为不等式组求解。K例 1 （X2） （X

8、3） 0 ；（x3） （X4）辽 0 ；（3 X） （X4） E0 X(X9) 3(X 厂3)K练习 1 x23x-18 乞 0 ； 一 x?x 3x1 ；【小结】两种方法的优劣：图象法，难理解，但直观，能直接写出解集；符号法，好理解，但不能 直接写出解集，计算量增大，有些不等式组无解；建议都用图象法或第二种方法干脆不教，以免学 生老用第二种方法。 4、高次不等式的解法-穿线法1 引例 1 3 (x 2)(x_1)(x 3)0析：三个一次式；当三正或一正两负时，不等式成立；三个零点，分四段;1 弓 I例 23 (2_x)(x_4)(x01 引例 33 (x 3)(x -1)5(x 1)_0(x

9、 1)(X-2)6(X 3)(x-4)空 0【总结】穿线法的关键：先因式分解为一次式的积；画线时从最右边的上方向下穿过；偶次方的零点穿而不过；奇次方的看成一次方的。K练习Rx2(x1)(x-3)_0； 5(x2.1)(x2)3(x_3) ： ： ： 0分式不等式的解法：f (x) co4 (x) > 0俪手存° ； ®占r° ； ®八2 ； ®昆匕"【知识点】法一：解分式不等式应等价变形化为整式不等式来解；法二：符号法则法。 法一：,八0(或0)=f(x)g(x)0(或 0) ; 3Ao(或兰 o) if (') g (

10、') AO (或兰 0) g(x) g(x) ,g(x)八。个，3岂或一的等价转换为什么？二。52K例13不等式3x2 x2乞。的解集为：仁6析：解集的端点为方程3x2 - x -2 = 0的根。一元二次不等式解集的含义：【知识点】若已知二次不等式ax2 bx c 0(或 0)的解集，则有四重含义：a的符号可知；相应方程的根可知；韦达定理"主)b、c的符号可知2 2 2 2推广若ax be汕的解集为：沁违，则：可知a>0;x诚.是方程aX WO的根；韦达定理：Jba ；由可得bcO,ccO22 1K例2设关于X的不等式ax+bx+1>0的解集为J X1 <x

11、<:，求abJ3：析：法一：把端点值代入，可求；法二：利用韦达定理可求；K例3二次不等式ax2+bx+c<0的解集为或，求：不等式ex2bx + a>0的解集 3 2：析：由解集含义可知a>0,韦达定理可知、八2'1、1 " 2K变式二次不等式ax+bx+ccO的解集为J xxw-或XA-帚求：不等式cx+bx + a0的解集J 3 2：【结论】不等式ax2 bx c :。与ex2 bxaO的两根互为倒数。K变式2A = Ox2 3x +2 兰0，B = Ax2 （a +1）x +a兰0，若 AB，求a的范围；（2匿AJ B，求a的范围；（3若A =

12、B，求a的范围；1变式31A=x24x+3c0>,122xa8-0：且4= B，求a的范围；含参的一元一次不等式：【知识点】首项系数为参数则须讨论：（分=0 ； >0 ； <0）1例。已知，A-：匕°cax + 1兰5，=,2心 ，若A-B，求a的范围；若B-A, 求a的范围；A与B能相等？若能，求a,若不能，请说明理由；解：分三种情况：当a=0时 A=R则A二B成立；11、a 24<2±-± ¥22 a a| 1当a>0时，贝u A=XVX <4，由A B得a'.1兰2当a<0时，贝兰X，仁 a

13、63; -841心 2综上得：当4= B时a的范围为raa ： ： ： -8或a - 2八a=0时，显然B A ;42n(/ Y /ai分三种情况：当A - ； y y = x2 2x 4 :< 解：A = 九 坪a>0 时，由 BA 得£ a 2 0 ： a<2->2当a=0时，B=R AG B成立,16a8-4f 16a2 41当a>0时'y>，由A匚B得_>2兰3二一兰a兰14ao 4a 1 - o n4当a<0时，由B9 A得2- 2, a口A 4当a<0时，y巴 ？，显然人第2f成立4a综上得：当B A时，a的范

14、围为当且仅当A、B互为包含时，A=B由、 得a=2B=yy =ax22x+4a>,且 A匚 B，求 a 的范围 综上得，乞a乞14含参的一元二次不等式：K例 12 解不等式：x2 - (2m 1)x m2 m : ： 0析：(x-m)(x - m-1) ： ： ： 0，.论二m或xa m 7原不等式的解集为x mx ： ： ：例2解不等式：ax2 -2 _2x-ax(a R)解：原不等式可化为： ax2 (a - 2)x - 2_0. (ax - 2)(x 1)_0当a=0时,原不等式可化为：-2(X-1)_0，X乞J，则解集为XX_-1，2当a>0时，禺l 1公2=>0，则

15、解集为'x 乂三.1a8当a<0时,原不等式可化为：(X )(X, 1)A0. XA -1, X29由于（1）二于是当a=-2时,为=X2 = -1 ,则解集为21 <-，则解集为） ax-1Alof综上得，（略）【小结】：参数的不同取值，对不等式的次数有影响；对二次函数的开口有影响；对函数与系有影响；分类讨论要全X轴的位置关 面，须不重不漏。【知识点】：解参数不等式的步骤和讨论原则：化为标准不等式（ax2 bxc Of. 0）, aO）二次项系数讨论（=0; .0； ： ： ： 0；）参数讨论的三原则：J根的情况讨论（也二。，也：0,也v 0） 根的大小讨论(Xi = X

16、2, XiV X2,Xiv X2)用口诀写解集K例 32 解不等式；(m 3)x -1 (x 1)0解：当m=3时，原不等式可化为：-（xi）O.x： ： ： -i，则解集为：XX:： i当m>-3时,原不等式可化为：（x- A）（X j） oXi则解集为JX J 或 X m+3当m<-3时,原不等式可化为:I当m=-4时，Xi=X2=i，则解集为空集>-1，则解集为J x 1 ：m+3x 1<x<im + 3,1Hi当m<-4时，< .1 ,川融隹汨 im + 3综上得（略）第一章集合与函数_§ 1.1集合的含义与表示集合的元素性质：确定性

17、；互异性；无序性。K例判断是否是集合:接近于o的数的总体（） 比较小的数的总体（）正三角形的总体（.2的近似数的总体（K例23数集2x,x2 -X冲的元素x满足条件：xA2析：由互异性知得，x式2且XH1且xAOX2 X HXK例32已知，=a 22a25a, 10且3A，求a23解：-3 A. a -2 - -3 或 2a 5a - -3. a -1 或 a =2但a = -1时，a2 - -3且2a2 5a - -3与互异性矛盾，舍去3a =2【注】求解后一定要注意检验互异性。K例4已知，xA10,X/,求X解：当x2=1时，X二1而x=l时，集合为1,0,11舍去；x=l时，集合为1,0

18、,-仃符合当X2 =0时，不满足互异性，舍去当x2二X时，x = 0或x二-1，由上可知，都舍去综上得，x=-l元素与集合的关系：c“)K例12辨：a与a不同：前者为元素，后者为单元素集合；0与0不同K例2设P, Q为两个非空集合，定义集合 P+Q= a + baA P,b"Q，若P= 。,2,5，Q= 1,2,6),则PK)中的元素的个数是个析：PQ1,2,3,4,6,7,8,11互异性K例 3 2 已知：集合 M=°x=3 n, n e Z, N='xx = 3 n+1, nAZ> , P = (xx = 3 n-1,n ' Z，且a 三 M,b：

19、二 N,c： =P，设 d=ab+c/ij( )Ad MBd Ncd PD以上都不对析:设 a=3n,b=3nw-l,c=e=3s-1,!J!fJ d=3(nnH"S-l)+l,选 B集合的表示法，求法：“x + v = 3K例方程组y的解集是3, 5, 6, 7x _ y = _1:x=1,y=2e1,2?管(1,2)?，(x,y)x=1 或 y =2八; Rx,y)x=1 且 y=2>；(x,y)/i 衣 *x,y)(x 1 )2 + (y 2)2 = 0 > .*2JK变式下面三个集合；Jy=x?+1 > ；yy = x2+n;(x,y) y = X2+1&g

20、t; »它们是相等的集合吗？析：二口 ；®= <yy:9 p是抛物线存仝1上的点11K例设集合A中的元素满足：1 A；若a'A则A1 -a若2A，求A中的所有元素；集合A能否为单元素集合？若能，求出该元素；若不能说明理由；1 1111解：2 A1庆，又一倡A, A2 A1-21-(-1) 22±2一 1 , A中有三个元素：2，-1，一 2一、1 2若A是单兀素集合，贝V aa-a*1=0, a-3 ： ： ： 0.方程无解，a不可能为单元素集1 a合K练习X已知，a Z，A = §x,y)ax-y乞3且(2，1)A,(1 ,-4)- A，

21、则满足条件的a的值为解：(2T)A,(1, V)，A. 2a-1 _3且 a4 3-1 ： ： a_2,x aZ -. a=0,l,2已知，4 1,a2,(a-1产，求a解： 4 1a2,(aT)2 二 a2=4 或(aT)2=4a-二 2或 a-1 或 a-3当a=2时(a-1) =1不满足互异性当a=-l时,a2 =1不满足互异性当a=2或a=3时，经检验符合题意综上得：a=-2或a=3§ 1.2集合间的基本关系子集与真子集：A二B, A二民$ - A .： $K例13判断：空集没有子集(F )空集是任何一个集合的真子集(F )任何一个集合必有两个或两个以上的子集(F )若7二人

22、则A=：G ( T )"0?0,1"F )事二;。？( T ) r0,-1,1 r-1,0,1( T ) 0 壬(F )0,0) 二。 ( F )K例 25已知，M = tx, y) y 二卜 , N = Ax, y)|y| =|x >，那么()析：N = H(x,y) y 二 x 选 dK例3已知，A-J,3,2m-仆，B3,m2若B A,则m=析：B 二 A. m2=2m-1. m = 1K 例 43 已知 »A = &xc-1<x>2) B = <x4x + pc0 且 A3B，求 p 范围析：B =.4x + pvo) =

23、(xxv -p 卜 t A3 W -八 v 1 二 p 4SHDO卫J24集合相等：【知识点】AB且B Au A二BK例 1 X 集合 Axx=2n 1,nZ，Byy=4k_1 ,k Z?,求证:a二B证:先证4B设 xA 则 x =2n 1 且 n Z当n为偶数时，可设n=2m m Z , x=4dh-1 ,. X B当 n 为奇数时，可设 n=2ml m Z , x=2 (2m-l) +l=4m-l,. xB不论n是奇数还是偶数，都有-XB 力=B再证A- B设 y B 则 y =4k 1 或 y =4k -1 且 k Zy =4k 1 =2(2k) 1 或 y =4k -1 =2(2k-

24、1) 1k Z 2k Z2k 1ZyAA 二 B综上得：A=B注：证明集合相等，一一列出比较；看代表元素是否一致且元素共同特征即满足的条件是否一致。K练习X1、已知，集合A=O_x ： ： ： 4, B =x ： ： ： a，若aB，求实数a的范围2' 设 Ax,x2,xy B=A x, y?,且 a=B 求 x,y 的值3、若集合 A = *x2 x -6 二 0 B =mx 1 = 0，且 B _ A，求 m 的值4、满足条件1,2;二M讣2,3,4,5?的集合M的个数有 个§ 1.3集合的基本运算并集：/l.x人但*更B【知识点】AuB = &xEA或xB”或“

25、有三重含义：2.x芒A但xAB3.x A 且 BK例 1 3(1) A = ； xx ： ： ： A, Bj xx 3；则 A_. B-(2) A = &xc3, B=XXA让则 AuB= 析:画数轴来说明K例 2D M =©y =2x2 +1 且 x R, N =»|y = X2 +1，则 M u N = RK例 33 设 A= Jx2 +4x = 0)，B = 'xx2 +2(a +1)x + a2 -1 = 0> »若A B = A,求a的值；若A B二B ,求a的值；解：x2 4x = 0. X1 = 0, X2 = 4. /A -

26、4,0若A_.B=A,. BM,而a有4个子集当 B-A ,：=4(a 1)24(a2-1) ： ： 0. a ： ： ： -1当 8 =. a2 0. a = 1而当a=l时,B=A，舍去；当a=-l时，8 = f0 符合题意当 B = '-4 /时，.a? - 8a 7 = 0. a = 7 或 a = 1而当a=7时，B12饵/舍去，a=l也舍去0当B=b,v时，卢T -, 玄=1la2 -8a +7 =0综上得：a = 1 AB = B.AB又 A-； -4,01又B至多有2个元素，二A=B，由得a=l1例45A= 1,3,x?, B1,xH, A 8”,3, X,则满足条件的x的个数为解:A B/,3,X?A, B)1,X910 I B 二 A.x2=3 或 xx当 x2 =3. x=W3而 = .、3时,A1,3, ._3符合题意；a = _.3时,A=1