2020届北京市朝阳区高三上学期期中考试数学试题(解析word版)

1、北京市朝阳区20192020学年度高三年级第一学期期中试题数学试卷本试卷分为选择题（共40分）和非选择题（共110分）两部分考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回第一部分（选择题共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中， 选出符合题目要求的一项。1 .已知集合 A x Z x2 4 , B 1, 2,则 AUB （）A. 1B, 11 2C. （ 1,0, 1,2D. 2, 1,0 , 1,2【答案】C【解析】【分析】根据一元二次不等式的解法求得集合A ,根据并集定义求得结果.【详解】QAxZ2x21,0, 1

2、, B 1,2 AU B 1,0, 1,2 故选：C【点睛】本题考查集合运算中的并集运算，涉及到一元二次不等式的求解，属于基础题n 32 .已知 a e , n ,且 sin q =，贝lj tan q =（25p-3B.44C.34D.3【答案】B解析】由 si。 a e 得 cos a=- 1 sin2 一 4，所以一皿 5.C =故答案为：B o3,下列函数中，既是奇函数又在区间（0,1）上单调递）D. y 2x 2xI Og2 XDyx3与y sin x在 n 1上单调递减，可排a,B除：log2X为偶函数，可排除C ;根 据奇偶页3第性定义和单调性的性质可验证出 【详47? 1D正确

3、.上单调递增y0, 1上单调递减，A错误;B中,y sin x在0, 1上单调递增y sinX sinx在0, 1上单调递减，B错误;C中,I Og2 X I Og2 X yl0g2 X为偶函数,C错误;D中,2 '在0,1上单调递减,y 2X 2 '为奇函数2,在0,1上单调递增y 2、2 ,在0, 1上单调递增，D正确.故选：D【点睛】本题考查函数单调性和奇偶性的判断，属于基础题.4.关于函数f x sinx cosx有下述三个结论：函数千x的最小正周期为2 ；函数千x的最大值为2 ；n函数千x在区间，n上单调递减.2其中，所有正确结论的序号是（）A.B.C.D,【答案】B

4、解析1【分析】利用辅助角公式化简函数为千X 2sin x ；根据正弦型函数最小正周期和最值的求解可知正确，错误；利用x的范围求得义的范围，对应正弦函数的单调性可得千x单调性，知 正确4【详解】f x sin x cosx 2sin x4f X最小正周期T 2 ,正确；f X max 2 ,错误；max35裳I爵单请递戒,耀走情2 4 4 4 2故选：B【点睛】本题考查正弦型函数最小正周期、值域和单调区间的求解问题；处理正弦型函数单 调性问题的关键是能够采用整体对应的方式，利用角整体所处的范围与正弦函数图象相对 应，从而得到结论.5 .已知，是两个不同的平面，直线m ,下列命题中正确的是()A.

5、若 ，则m/B.若 ，贝lj mC.若m / ,则D.若m ,则【答案】D【解析】【分析】通过反例可确定A, B,C错误；由面面垂直的判定定理可知D正确.详解】若且m ,则m与相交、平行或m , A, B错误；若m/ /且m ，则与可能相交或平行，C错误；由面面垂直判定定理可知,D选项的已知条件符合定理，则 D正确.故选：D【点睛】本题考查立体几何中直线与平面、平面与平面位置关系的相关命题的判定，关键是 能够熟练掌握线面平行、面面平行、线面垂直和面面垂直的判定与性质定理.6 . 已知函数f (x) |x 2| kx 1恰有两个零点，则实数k的取值范围是()11A. (0, ) B. ( , 1

6、) C. (1, 2) D. (2 , ) 22【答案】B【解析】页分析】 将问题转化为g X x 2与y kx 1恒有两个交点，采用数形结合的方式作出 g x图象，由kx 1恒过0, 1可通过图像确定斜率的临界值，进而得到所求范围详解】 X x 2 kx 1恰有两个零点等价于g x x 2与y kx 1恒有两个交点"，则g x图象如下图所示: 2 x, x 2Q y kx 1恒过点B 0, 1页7第如上图所 当直线 k»1过A 2,0时，直线与g x有且仅有一个且当k2 ；, k2x 1与g：有且仅有个交点时当 k 2 1, gx一恒有两个交点, x 2与y kx即X恰有

7、两个零点故选：点睛】本题考查根据函数零点个数求解参数范围的问题，关键是能够将问题转化为两个函 数的交点个数问题，进而通过数形结合的方式来进行求解，属于常考题型7.已知an (n N* )为等比数列，贝lj的()“ ai a2 ”是" an为递减数列”A.充分而不必要条件B,必要而不充分条件C.充分必要条件【答案】B【解析】d.既不充分也不必要【分析】通过q 0且aiO ,可知虽然aia2 ,但此时数列不是递减数列，充分性不成立；根据递减数列的定义可知必要性成立，从而得到结果.【详解】当等比数列q 0且ai 0时，a2 aiq 0 ai , as a2q 0 a2此时an不是递减数列充

8、分性不成立当等比数列an为递减数列时，ai a2显然成立必要性成立综上所 述：“ ai a2 ”是" an为递减数列”的必要而不充分条件故选：B点睛】本题考查充分条件、必要条件的判定，涉及到数列单调性的定 义，属于基础题228.设Fl , F2为椭圆 7的两个焦点，M为C上一点且在第二象若MFF2为等腰三角形, 0,限5则点M的横坐标为（）A2答案】D解析】B.15C.15分析】根据椭圆方程求得 a, b, c根据等腰三角形可确定MF 4 ；由椭圆定2义知2 ；利用面积桥可 求得VM ,代入椭圆方程可即.求得详解】由椭圆方程a 3, b 5 , c2得：Q MEF2为等腰三角形且 M

9、在第二象限MF2F1F2 2c 4MF1 2a 2cMFlFz 2 216 1 152s 1 sM点纵坐标也 ，又M在椭圆C一FiF2 2 .3或2 XM 2 yM 2 XM2 (金)2 2点睛】本题考查椭圆几何性质的应用，关键是能够通过椭圆定义、焦距求得焦点三角 形的面积，利用面积求得点的纵坐标，进而利用椭圆方程求得结果9.在 ZkABC 中，BAC 90°, BCuuur uuurRC ；力卜 日apUUU理的取值范围A.C.1(U2(AU2【答案】B.D.AP1DP129第分析】取BC中点D,根据平面向量基本定理可将已知数量积化为“3,根据数量积定义得到uuur AP ccu

10、PAR);利用余弦定理表 示出uuur cosii 111kM代入化宜 得到APDP ；根据三角形两边之和大于第三边和临界点的情况可最终确定取值范围详解】取BC中点D ,则uuuruuuuu uuuuu uuurAP ADAP AD cosPADcoPAD在APD中,uuur uuur壬公口+AD由余弦定理得:uuur AP ccu PARuuur? ARcos2PADUU uu12uuurADuuur uuuu八 uuuun AP nrur21 ,即 ， /uu ' BC当P与B或C重合日dp?max Nuu'点上船,2,1故选：A点睛】本题考查向量模长的取值范围的求解问题，

11、涉及到平面向量基本定理、平面向量数量积运 算、余弦定理等知识的应用，综合性较强；解题关键是能够通过数量积的定值得到模长之间的等 量关系，属于较难题.10.已知集合A, B满足：(i) AUB Q, Al B(ii ) xiA,若 X2 Q 且 X2 xi ,则 X2 A；(iii) yi B,若 yz Q 且 y2 yi,则 y? B.给出以下命题：若集合A中没有最大数，则集合B中有最小数；若集合A中没有最大数，则集合B中可能没有最小数；若集合A中有最大数，则集合B中没有最小数；若集合A中有最大数，则集合B中可能有最小数.其中，所有正确结论的序号是()A.B.C,D.【答案】B【解析】根据并集

12、和交集的结果可知A CqB；由条件(ii) (iii)可知两集合的元素以xi为分界，可确定集合A,B的构成；当集合A有最大数时，根据有理数的特点可知大于xi的有理数无最小数，知正确；当集合A无最大数时，若xi a中的a为有理数或无理数，此时B可能最小数为a或无最小数，知正确 集合详解】若AUB Q, Al B A CqB则集合A为所有小于等于xi的有理数的集合，集合B为所有大于等于力的有理数的集合(J。Ayi无限接近xi ,即集合B为所有大于xi的有理数的集合当集合A有最大数，即xi有最大值时，大于xi的有理数无最小数，可知正确;当集合A无最大数，即xia时，a为集合B中的最小数；也可能a为无

13、理数，则yi a,集合B 中无最小数，可知正确故选：B点睛】本题考查根据并集和交集的结果确定集合、元素与集合关系的应用；本题的解题关键是明 确有理数的特点：无最大数也无最小数；本题较为抽象，对于学生的分析和解决问题能力有较高 要求第二部分(非选择题共110分)二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。r r r r11 .已知向量 a 1, 1 , b 3, m ,且 a / /b ,则 m 【答案】3【解析】【分析】根据向量平行的坐标表示可构造方程求得结果.【详解】Q a / /b 1 m 1 3 ,解得：m 3故答案为：3【点睛】本题考查向量平行的坐标表示，属于基础题12 .某三棱锥的三视

14、图如图所示，则该三棱锥的 ,最长棱的长度为 体积为【答案】(1). (2). 36【解析】【分析】由三视图还原几何体得到三棱锥P ABC ,根据三棱锥体积公式可求得体积；利用勾股定理可求 得最长棱AP页11第PD 平面 ABC, AB AC26AB2 AC2 PD2 3详解】由三视图还原几何体，可知几何体为如下图所示的三p ABCc贝ij AB AC PD1,Vp ABCs ABCPDc 最长棱AP AD2 PD2 棱锥 1故答案为： 6 ; 3点睛】本题考查根据三视图求解几何体体积和棱长的问题，关键是能够准确的通过三视图还原几 何体，属于常考题型.13 .已知直线x 2y a 0与圆0: x

15、 2相交于A, B两点（0为坐标原点），且VA0B为等腰直 角三角形，则实数a的值为答案】5解析】分析】根据等腰直角三角形边长可求得弦4AB 2 ,利用点到直线距离公式求得圆心到直线距离d ,根据垂径 定理构造方程可求得结果详解】Q A0B为等腰直角三角形0A 0B,又0A OB r 2AB 2 o 5 又圆0的圆心到直线距离d aoI 4 5AB 2 r2 d 2 2 2 I工，解得：a 5故答案为：5【点睛】本题考查根据直线被圆截得的弦长求解参数值的问题，涉及到点到直线距离公式、垂径定 理的应用；关键是能够明确直线被圆截得的弦长为2： dz,属于常考题型.II14.已知a , b是实数，给

16、出下列四个论断：a b；a 0；b 0 .以其中两个论断作 页10第为ab页25第（答案不唯一）11a b 0时，从而得到结果abQ千x 1在0,上单调递减x若a 0, b 。且b ,则“ab【点睛】本题考查不等式性质的应用fa11 f b，即-ab11故答案为：若a 0, b 0且、则 ab属于基础题.（答案不唯一）条件，余下的论断中选择一个作为结论，写出一个正确的命题:【答什0 j11"若a b案】， o且a b,则【解【分析】利用千 五 0,杜上的单倜可知当 X I 在 X lx,2ax , x a115.已知函数f x x（ a为常数）.若千1，贝IJ a ;若函数千x存在最

17、大xi , x a 2 e值，则a的取值范围是1答案】(1). 12(2). ( ,0解析】分析】1）分别在a 1和a 1两种情况下求得1，利用千11 x。当x2a时，求导得f x内；当a 1时，可知一时，e题意；当a 1时，可得f x在a,±单调性，得到x求得a ；2f x不存在最大值，不符合f 1 1；分别在 0 a 1、a 0和a 0三种情况下验证x a时函数的最大值，可得a。时,1详解】（1）当a 1f 1 a ,满足题意；当a 1时，2f1112 e12）当 时,f x ，2x>eeX max f 1 1 ,从而得到结果布算当a 0 b 0且a b时i X max f

18、a此时，当1若a,a时,则a x1时，fxxOf x 在 a,上单调递 减fx 此时,在丁上单调递在I,X ，时，千 X 2 axx时，f x ,不合题意0； x 1 时，f x 0上单调递减千X.千1 1max若0 a 1 ,则当X时，千x ,不合题意若a °， f x 0 f 1 ,此时f X max 1 ,满足题意若a 0 ,则千3Xmax " a3 0 f 1 ,此时 f X max 1 ,满足题o时综上所述：a f' j， X存在最大值1士6也安头j. .，°9【点睛】本题考查根据分段函数的函数值求解自变量、根据分段函数的最值求解参数范围的问题;

19、本题中根据最值求解参数范围的关键是能够通过分类讨论的方式，确定函数在不同情况下的单调 性，进而得到最 值取得的情况，从而分析得到结果.16. 2019年7月，中国良渚古城遗址获准列入世界遗产名录，标志着中华五千年文明史得到国际 社会认可.良渚古城遗址是人类早期城市文明的范例，实证了中华五千年文明史.考古科学家在 测定遗址年龄的过程中利用了 “放射性物质因衰变而减少”这一规律.已知样本中碳14的质 量N随时间t （单位：年）的衰t变规律满足573。（ No表示碳14原有的质量），则经过5730年后，碳14的质量变为原来的 时期距今约在 年到5730年之间.（参考数据：Iog23 1.6, log

20、 2 5 2.3）【答案】经过测定，良渚古城遗址文物样本中碳1(1) . (2) . 401121413的质量是原来的至，据此推测良渚古城存【解析】【分析】1）根据衰变规律，令t 5730,代入求得N No ；23，）令N No ,解方程求得t即可5I I 冲用牛，3 /OU P'J, N NO ZNo 经过5730年后，碳14的质量变为原来的 00令 N N。，则2 573。3 上 30.7o 5730 阻 Iog2 3 I og2 5 c ct 0. 7 5730 4011良渚古城存在的时期距今约在4011年到5730年之间故答案为：,；4011【点睛】本题考查根据给定函数模型求解

21、实际问题，考查对于函数模型中变量的理解，属于基础题三、解答题共6小题，共80分。解答应写出文字说明，演算步骤I ）求AP的值；II ）若 PC 1,求 sin ACP 的值.答案】（I ） AP 4. （II） sin ACP 2 3913解析】ABP中，利用余弦定理可构造关于AP的方程，解方程求得结果;II)APC中，利用余弦定理AC ；利用正弦定理可构造方程求得sin【详解】(I ) Q APC 60°APB 120°ABP由余弦定 理中,AB 2AP 4(II )在由余弦定 理由正弦定 理2 AB2 AP7 , APB2BP2 2AP120°, BP 2BP

22、cos APB 得:2 AP2AP 24 0APC中5APAPC 60°2 AC2 APPC2 2APPCcos APC 得:AC13AP"得:13s i n ACP s i n APCsin ACP sin 60°【点睛】本题考查等比数列通项公式的sin ACP “13【点睛】本题考查利用正弦定理、余弦定理解三角形的相关知识，关键是能够在已知两边及一 角的情况下，熟练应用定理构造方程求得其余角和边，属于基础题型.18 .已知an （nN*）是各项均为正数的等比数列，ai 16, 2a3 3a2 32.I ）求an的通项公式；II）设bn 3 I 0g 2 an

23、,求数列bn的前n项和Sn,并求Sn的最大值.【答窠】""；（11）9n , Sn最大值为30【解析】（I ）利用ai和q表示出2a3 3a2 32 ,从而构造出关于q方程，结合an为正项数列可求得*根 据等比数列通项公式求得结果；（II ）由（I ）得bn ,由通项公式可验证出数列bn为单调递减的等差数列，根据等差数列求和公 式求得Sn ；根据b5 0 ,可确定n4或5时，Sn最大，代入可求得最大值详解】（I ）设等比数列an的公比为q22Qai 16, 2a3 3a2 322aiq 3aiq 32q 48q 32即2 3q 2 0 ,解得：q 2或2q口2Q an各项均

24、为正数q 1n1169II）由（I ） bn3log2 25 n 3 5 n 15 3n当 n 2 时，bn bn 13bn是首项为bl 12 ,公差为3的单调递减的等差数列Sn 12n3nn 13n29nn22又b5 0数列bn的前4项为正数当n 4或5时，Sn取得最大值，且最大值为S4 S5 30求解、等差数列前n项和最值的求解问题；求解等差数列前n项和的最值的常用方法有两种：确定数列各项中的变号项，由数列的单调性可得最值取得的位置；根据前n项和的二次函数性质来确定最值的位置.19 .如图，在四棱锥P ABCD中，侧面PAD是等边三角形，且平面PAD平面ABCD , E为PD 的 中点，A

25、D /BC , CD AD , BC CD 2, AD 4.I )求证：CE/平面PAB； II)求二面角E AC D的余弦值；AQIII)直线AB上是否存在点Q,使得PQ/平面ACE ?若存在，求出的值；若不存在，说明理由 AB答案】(I )证明见解析；(II) 6 (III)存在点Q,人。2 .4 AB【解析】【分析】(I )取PA中点F ,结合三角形中位线和长度关系，可证得EF BC且EF BC ,得到四边形 EFBC为平行四边形，进而得到CE / /BF ,根据线面平行判定定理可证得结论；(II)取AD中点0 ,由面面垂直性质可知P0平面ABCD ,由此可建立空间直角坐标系；分别 求得

26、两面的法向量，求得法向量夹角的余弦值；根据二面角为锐角确定最终二面角的余弦值；uuur uuuruuruuuru uuur，(III)设AQ AB ,利用空间向量表示出PQ ,由线面平行可知 PQ与平面的法向量垂直， 即PQ *0,构造方程求得，从而得到结论.【详解】（I ）取PA中点F ,连结EF, BF1Q E, F 为 PD, PA 中点，AD 4 EF /AD , EF AD 2 2又 BC/AD , BC 2 EF /BC 且 EF BC四边形EFBC为平行四边形CE /BF。CE平面PAB , BF平面PABCE/平面PAB (II)取AD中点0 ,连结OP, OBQ PAD为等边

27、三角形P0 0DP0平面ABCDQ平面PAD 平面ABCD ,平面XD I平面ABCD ADQ 0D / /BC , 0D BC 2四边形BCDO为平行四边形。CD AD 0B 0D 如图建立空间直角坐标系0则 A 0, 2,0 ,B 2,0,0 ,C 2,2,0，E 0,1, 3 , P 0,0,2 3uuuv uuuvAC 2,4,0 , AE 0, 3, 3设平面ACE的一个法向量为nrix, y, zni 2, 1, 3耳健:2x 4y 0uuuv ，即，令 x2，贝ij y 1,m AE ，5显然，平面ACD碌匕相去啬量为n 2 0,0, 1 ,所以cos ni ,n1 n2 r r

28、4-Q二面角E AC D为锐角面角E AC D的余弦值为6III)直线AB上存在点Q,使得PQ平面ACE.理由如i 11 11 I k* i 11 i s设 AQ ABuuu VuuuvAQ ABQ PQ平面A CEPQ/平面uuu,ACE 时，PQ ni 0Q AB 2,2,0, PA 0, 2, 23 uuuv uuu uuu即422 6 0,解得： 2直线AB上存在点Q,使得PQ平面ACE ,此时“ 2 AB点睛】本题考查立体几何中直线与平面平行关系的证明、空间向量法求解二面角及立 体几何币的存在性问题；求解本题中的存在性问题的关键是能够假设存在，利用所给的平行关系得到直线与法向量垂直，

29、从 而利用垂直关系的坐标表示构造方程求得结果.2220.已知椭圆 C:；2 1 (a b 0)经过两点 P(1, ) , 0( 2,0) abI )求椭圆C的标准方程；ID过椭圆的右焦点F的直线I交椭圆C于A , B两点，且直线I与以线段FP为 点E异于点F ),求AB FE的最大值.答案(I ) y 1 (II)最大值为19分析】I )将P,Q坐标代入椭圆方程可解得a, b ,进而得到结果；II)设直线I方程为x ty 1 ,与椭圆方程联立可得韦达定理的形式，由弦长公式表示邺ij用垂径定理可表示出FE ,从而将AB FE表示为关于t的函数，利用基本不等式可求得最大值2,2,0, v AQ 2

30、,2 2, 2 3详 （I 解】）Q椭圆C:，2Q 2,0a 2a 21 1翻徨.2 2 1卜12a 2b2 X2椭圆C的标准方程夺ID由题易知直线I斜率不为0,可设I： x ty 1x ty 1由X2 2y2ty0,4t2设 A xi, yiB X2, ,又AByi y2故圆心到直线I跣FEd2ABFE22yiABFE2 4t当t 0时,直线上AB FE的最大隹12t则y2T2 2 2，以FP，41ti4dy222221111142212221224靡勺圆的圆心坐2122,仅当AB FE | 1点睛】本题考查直线与椭圆的综合应用涉颇IJ椭圆方程的求解、最值问题的求解；解决的关键是能够将所求量

31、表示为关于某一变量的函数，进而利用函数中的最值求 解方法求得最值21 .已知函数f x ln Xa xaI )求曲线yfx在点1,f 1处的切线方程；II )当a 1时，证明： x1III)判断千X在定义域内是否为单调函数，并说明理由.答案】(I ) x (a 1) y 1 0 ； (II)证明见解析；(III)函数千(x)在定义域内不是 单调函数.理由见解析【解析】【分析】根据解析式可确定函数定义域并求得f xI )求得千1和千1II )将所证不等式转化为,根据导数几何意义可知切线斜率为f 1 ,从而得到切线方程;221nx X? 1W 0 ；令h x 2ln x x2 1,通过导数求得函数

32、单调性，可0,从而证得结论;III）令 g x In x1, 通过导数可知 g 圣；田:/、苗一毛IFR事 上 冷云之1工田7TF左n rr w 1 Y 1存在零点m ,从而得到x的符号，进而得到x单调性，说明f x不是单调函数. a详解】由题意得：函数X的定义域为0，In x 1x21a1在点1,f处的切线方程为：即x y1 ,I n1时， x x1In x x1欲证f x 2 即证w 即21nx 1W_,/I2x x12ln x 1,贝ij h x 2x当x变化时，h (x) ,h (x)变化情况如下表：22第Y a2X0,I a 1 a gIn eia1ea1 1 1e存在mal.e1使

33、得g m时，g，所以函数f x在0,m上单调递增;时，g在m,上单调递减X0,111,hx0hxz极大值函数h x的最大值为h 1 0,故h (x) < 0 x1 fx2III)函数f x在定义域内不是单调函数.理由如下:1,vanAX故函数千X在定义域内不是单调函数【点睛】本题考查导数在研究函数中的应用，涉及到导数几何意义的应用、利用导数证明不等式、 函数单调性的判断等知识；利用导数研究函数单调性时，若导函数零点不易求得，则可利用零点存 在定理和导函数的单调性确定零点所在区间，进而得到函数的单调区间. *22.已知无穷数列 an , bn, Cn满足：n N , an 1 bn Cn

34、, bn 1 Cn an , Cn1an bn.记dn max an , bn , Cn ( max x, y, z表示3个实数中的最大值).(I )若 ai 1, b2 2, C3 3,求 bi, ci 的可能值；(II)若a", bi 2,求满足d2d3的u的所有值；(111)设是非零整数，且互不相等，证明：存在正整数k ,使得数列an , bn , Cn中有且只有一个数列自第k项起各项均为0.r卷室】析【解析】«1« 片 « h. 8Q 或 Q 或3； (II)所有取值是 2, 1,1,2 ； (III)313137证明见解3【分析】（I）依次代n 9 n n即可求球， 、n 2, n 3 汨 ci, a2II）记 X ,可表示出d2 ,进而得到用为3 d2求得 1乂而取值即可得到结果；根据 bl 3 3可确定a2和bl的取值，从而得到结 果；a3 , b3 , C3 ,分别在0 x 2和x 2三种情况下 利