第6章投资风险与投资组合

1、第6章投资风险与投资组合投资风险与投资组合本章内容 投资风险与风险溢价 单一资产收益与风险的计量 投资组合的风险与收益：马科维兹模型 夏普单指数模式：市场模型 以方差测量风险的前提及其检验证券投资风险的界定及类型 什么是无风险证券? 无风险证券一般有以下假定 假设其真实收益是事先可以准确预测的，即其收益率是固定的； 不存在违约风险及其它风险（如通胀风险）。 现实中的无风险证券 现实中，真正的无风险证券是不存在，几乎所有的证券都存在着不同程度的风险； 即使国债，虽然违约风险很小，可以忽略，但也可能存在通货膨风险； 在实际中，一般用短期国债作为无风险资产的代表。因为在短期内，通胀风险较小，基本可以

2、忽略。证券投资风险的界定及类型 证券投资风险是指因未来的信息不完全或不确定性而带来的多种可能结果。 证券投资风险系统性风险：引起市场上所有证券的投资收益发生变动并带来损失可能性的风险，是单个投资者所无法消除的。 非系统性风险：仅引起单项证券投资的收益发生变动并带来损失可能性的风险。单个投资者通过持有证券的多元化加以消除 市场风险 利率风险购买力风险政治风险等 企业经营风险 企业财务风险 流动性风险等风险溢价 风险溢价的含义 是投资者因承担风险而获得的超额报酬 各种证券的风险程度不同，风险溢价也不相同 风险收益与风险程度成正比，风险程度越高，风险报酬也越大 险收益风险溢价证券投资总收益无风风险溢

3、价 例1：某人有10万美元的初始财富W，有两种可供选择的投资方式：一投资于风险行业，假定进行投资有两种可能的结果，以概率p = 0.6取得令人满意的结果，使最终财富W1增长到15万美元，以概率p = 0.4取得不太理想的结果，使W2= 8万美元；二是投资于国库卷，收益率为5%。 求风险溢价风险溢价 E(W)= pW1+(1-P)W2 = 0.6*150000+0.4*80000 = 122000美元 122000 -100000=22000美元 若以回报率表示则为 22%-5%=17%小测试：你对风险的态度单一资产收益与风险的计量 单一资产历史的收益与风险的计量 单一资产历史的收益的计量 单一

4、资产历史的风险的计量 单一资产预期的收益与风险的计量 单一资产预期的收益的计量 单一资产预期的风险的计量单一资产历史的收益与风险的计量 单一资产历史的收益的计量 持有期收益率 指从购入证券之日至售出证券之日所取得的全部收益与投资本金之比。ii,1iii,1iii,1itttttttttppDrprppD持有期收益率证券期末价格证券期初价格持有期股息、利息收入 单一资产持有期收益率持有期收益率案例： 投资者张某2005年1月1日以每股10元的价格购入A公司的股票，预期2006年1月1日可以每股11元的价格出售，当年预期股息为0.2元。A公司股票当年的持有期收益率是多少？ %12102 . 010

5、11Ar持有期年平均收益率 持有期年平均收益率n_ii1i2initt 111r(rr.r )rnn三种股票在1993-2002年的平均收益率年份年份股票股票第第1种种第第2种种第第3种种19931994199519961997199819992000200120026.20%4.40%7.20%_ir单一资产历史的风险计量 单一资产历史的风险的计算公式如下： 计算上例中第1种股票的收益率在10年间的波动性n_22iitit 1n_22iiitit 11(rr )n11(rr )n12ii代表标准差，代表方差10_221it1t=12222111(rr )1011(10%6.20%)(8%6.

6、20%).(12%6.20%) 0.0114490.0114410.70%单一证券预期的收益与风险计量单一证券预期的收益率 由于投资者在购买证券时，并不能确切地知道在持有期末的收益率，因此，持有期末的收益率是一个随机变量。 对于一个随机变量，我们关心的是它可能取哪些值及其相应的概率大小。 期望收益率是所有情形下收益的概率加权平均值。1iini iiiihrhr第 种情形发生的概率第 种情形下的收益率单一资产期望收益率 单一资产期望收益率案例： 在上例中，A公司的股票在1年后上升到11元，股息为0.2元，都是预期的。在现实中，未来股票的价格是不确定的，其预期的结果可能在两种以上。 例如，我们预期

7、价格为11元的概率为50%，上升为12元的概率为25%，下降为8元的概率为25%。 则A股票的预期收益率为多少？055%ni iihr单一资产期望收益率单一资产期望收益率的估计 由于证券收益的概率分布较难准确得知，一般用历史收益率的样本均值来代替期望收益率。11( )nitE RRRn单一资产预期的风险计量单一资产预期风险的计量 为了计量的便利，一般将投资风险定义为投资预期收益的变异性或波动性(Variability) 。 在统计上，投资风险的高低一般用收益率的方差或标准差来度量。22122220.25(0.200.05)0.50(0.100.05)

8、0.25( 0200.05)2.25%0.022515%niiih rS单一资产预期风险的估计 单一资产预期风险的估计 在实际生活中，预测股票可能的收益率，并准确地估计其发生的概率是非常困难的。 为了简便，可用历史的收益率为样本，并假定其发生的概率不变，计算样本平均收益率，并以实际收益率与平均收益率相比较，以此确定该证券的风险程度。niiRRn122)(11公式中用n-1，旨在消除方差估计中的统计偏差。单一资产预期风险的估计单一资产预期风险的估计案例 假设B公司近3年的收益率分别为20%，30%和-20%。求样本平均收益率和方差。3132122211()0.131()11(0

9、.20.1)(0.30.1)( 0.20.1) 3 10.07iiiiRRnRRn 练习 已知三种股票在四种不同情形下的收益率及相应的概率如下表，计算它们的预期收益率、方差。概 率psr1r2r30.20-0.18-0.13-0.06-0.020.300.120.300.120.20经 济 高 速 增 长 ， 但 利 率 将 下 降投 资 的 收 益 率可 能 的 经 济 状 况利 率 上 升 伴 随 着 经 济 衰 退经 济 衰 退 ， 但 利 率 将 下 降利 率 上 升 ， 但 经 济 高 速 增 长单一资产的收益与风险的计量n_1i1i2

10、initt 111r(rr. r )rnnniii1h rn_22iitit 11(rr )n1n22iisss 1(r) hn_22iiitit 11(rr )n1n22iiisss 1(r) h投资组合的收益与风险 背景介绍 马科维兹是现代投资组合理论的创始者，他在1952年发表题为证券组合选择：投资的有效分散化的论文，用方差（或标准差）计量投资风险； 论述了怎样使投资组合在一定风险水平之下，取得最大可能的预期收益率。 他在创立投资组合理论的同时，也用数量化的方法提出了确定最佳投资资产组合的基本模型。这被财务与金融学界看做是现代投资组合理论的起点，并被誉为财务与金融理论的一场革命。 195

11、9年，他又出版了同名的著作，进一步系统阐述了他的资产组合理论和方法。 马科维兹的资产组合理论奠定了现代投资组合理论的基石，此后，经济学家一直在利用数量方法不断丰富和完善投资组合的理论和方法。 马科维兹模型马科维兹模型的假设 证券收益具有不确定性 证券收益之间具有相关性 投资者都遵守主宰原则(Dominance rule) 投资者都是风险的厌恶者 证券组合降低风险的程度与组合证券数目相关 投资组合的收益率 投资组合的收益率的计算 投资组合的收益率是该组合中各种证券收益率的加权平均值。 组合的收益率也包括在过去一段时间的历史的收益率和在未来一段时间的预期的收益率，公式分别如下：nptititttt

12、i 11pttttrr Xr iiinnpiiipiiX X和为组合的历史的收益率；为投资组合的预期收益率；是第 种资产在组合中所占的权重，等于第 种资产的市场价值除以整个组合的市场价值；为证券 的预期收益率； 为组合中证券的数量投资组合的收益率 案例1：计算投资组合的收益率证券名称 组合中的股份数 每股初始市价 权重 每股期末期望值 期望收益率 A 100 40 0.2325 46.48 16.2% B 200 35 0.4070 43.61 24.6% C 100 62 0.3605 76.14 22.8% 资产组合 1 22%0.2325 16.2%0.40724.6%0.360522.

13、8%22%p投资组合的收益率（练习） 练习1：在年初，王某拥有如下数量的4种证券，当前和预期年末价格为：投资组合的收益率（练习） 练习2：给定组成一个投资组合的四种证券的信息如下，计算每一种证券的预期收益率。然后，使用这些单个证券的预期收益率计算组合的期望收益率。证券组合的风险 资产组合的风险，同样用方差和标准差来表示。资产组合在过去一段时间的历史的风险和未来一段时间的预期的风险，计算公基本相同：nnn*2222pijijpiiijiji 1 j 1i=1cov X XX2cov X X和证券组合的风险 尽管资产组合的历史的风险与预期的风险的基本计算公式是相同，但其协方差和方差的计算是不同的，

14、这里仅给出协方差：n_iijitjtjt 1nijiijjss 1ijijij1cov(rr )(rr )n1covrE(r )rE(r )h:cov 历史的协方差计算公式：预期的协方差计算公式：相关系数证券组合的风险 协方差 是衡量两种证券收益在一个共同周期中相互影响的方向和程度。 正的协方差意味着资产收益同向变动 负的协方差意味着资产收益反向变动 协方差的大小是无限的，从理论上来说，其变化范围可以从负无穷大到正无穷大。 相关系数 根据相关系数的大小，可以判定A、B两证券收益之间的关联强度。证券组合的风险 投资组合的方差（风险） 要计算投资组合的方差，必须先知道该投资组合中所有证券之间的协方

15、差。例如证券A、B、C的协方差矩阵如下：AABACA_Sec A B C _A Cov(r ,r ) Cov(r ,r ) Cov(r ,r ) ABBBCBACBCCC2AAAABBB Cov(r ,r ) Cov(r ,r ) Cov(r ,r ) C Cov(r ,r ) Cov(r ,r ) Cov(r ,r ) _Cov(r ,r )= (r ) Cov(r ,r )=Cov(r ,rA)证券组合的风险投资组合的方差（风险） 要计算投资组合的方差，还必须知道该投资组合中每一证券的权重，并对协方差矩阵中的元素进行估计，按以下方式建立一个新的矩阵：ABC_ x x x Sec A B C

16、 _2AABACA2BABBCBCAC_x A (r ) Cov(r ,r ) Cov(r ,r ) x B Cov(r ,r ) (r ) Cov(r ,r ) x C Cov(r ,r ) 2BCC Cov(r ,r ) (r ) _组合方差的计算方法： 投资组合的风险投资组合的方差（风险）思考：如何证明证券A、B的方差？2222222222111()()()()2( ,) 2( ,)2( ,):()( )( , )PAABBCCABABACACBCBCNNNPiiijijiijijrxrxrxrx x Cov r rx x Cov r rx x Cov r rnrxrx x Cov r

17、r如果是 种股票22222PAB(r )(r )(r )2( ,)ABABABxxx x Cov r r协方差的计算资产组合的风险与收益的计量nptititi 1rr Xttt1npiiiX nn2pijiji 1j 1n*222piiijiji=1cov WWW2cov WWnn2pijiji 1 j 1n*222piiijiji=1cov WWW2cov WWn_ijitijtjt 11cov(rr )(rr )n1nijiijjss 1covrE(r )rE(r )hijijijcov ijijijcov 分散原理 分散原理旨在解释和说明为什么通过建立证券组合可以分散和降低风险 当组合中

18、只有两种证券（N=2时） 证券组合的收益和风险为： 当 ，可得：N_pi12i12i 1rX rX rX rNN22222pijij1122121212i 1j 1X X covXX2X X 121, 0, 1 分散原理 由此可见，当相关系数从-1变化到1时，证券组合的风险逐渐增大； 由此可知，除非相关系数等于1，二元证券投资组合的风险始终小于单独投资这两种证券的风险的加权平均数，即通过证券组合，可以降低投资风险2p11221122122222p1122122p1122112212(XX)| XX|1XX0(XX)| X-X|1 分散原理 当组合中证券种类大于2时 假定:(1)该组合中每种证券

19、所占的比例都是1/N; (2)这N种证券各自的风险1,2，,N均 小于一个常数*; (3) N种证券的收益彼此完全无关，即相关系数为0。NNNN22222pijiji*i 1j 1i 1i 1N2222*2i 12*N22p*2p11X X cov()()NN111()NNNN1lim0N10NN0 因为求上式的极限即：所以当，即随着证券组合中证券种类无限增加时，证券组合的风险投资组合的风险影响投资组合风险的因素 投资组合中个别证券风险的大小 投资组合中各证券之间的相关系数 证券投资比例的大小 证券组合数量与资产组合的风险 投资组合具有降低非系统性风险的功能，但风险降低的极限为分散掉全部非系统

20、性风险，而系统性风险是无法通过投资组合加以回避的。有效组合与有效边界有效边界：所有有效组合的集合。在解析几何上，效率边界为投资组合在各种既定风险水平下，各预期收益率最大的投资组合所连成的轨迹。pr_p0有效边界MV 可行域有效组合与有效边界有效组合与有效边界投资者最佳组合点的选择投资者如何在有效组合中进行选择呢？ 这取决于他们的投资收益与风险的偏好。 投资者的收益与风险偏好可用无差异曲线来描述。 所谓无差异是指一个相对较高的收益必然伴随着较高的风险，而一个相对较低的收益却只承受较低的风险，这对投资者的效用是相等的。 将具有相同效用的投资收益与投资风险的组合集合在一起便可以画出一条无差异曲线。

21、投资者最佳组合点的选择 对于不同的投资来说，无差异曲线的斜率是不同的，这取决于投资对收益与风险的态度。高度的风险厌恶者无差异曲线的较陡；中等风险厌恶者的无差异曲线倾斜度低于高风险厌恶者；轻微风险厌恶者的无差异曲线的倾斜度更低。投资者最佳组合点的选择 无差异曲线与有效边界曲线相切于A点，它所表示的投资组合便是最佳的组合。 有效边界的微分求解法* 均值-方差（Mean-variance）模型是由哈里马克维茨等人于1952年建立的，其目的是寻找有效边界。 通过期望收益和方差来评价组合，投资者是理性的：害怕风险和收益多多益善。 根据主宰法则这可以转化为一个优化问题，即（1）给定收益的条件下，风险最小化

22、（2）给定风险的条件下，收益最大化1111mins.t.,1nnijijijni iiniiw ww rcw11111212.=( , ,., )w=( ,.,),nnnnTnncr rrw wwr若已知资产组合收益、方差 协方差矩阵和组合各个资产期望收益向量，求解组合中资产权重向量则有有效边界的微分求解法*有效边界的微分求解法* 对于上述带有约束条件的优化问题，可以引入拉格朗日乘子和来解决这一优化问题。构造拉格朗日函数如下1111L()(1)nnnnijiji iiijiiwwwrcw111122121000njjjnjjjnjnjnjnLwrwLwrwLwrw 和方程和方程 111niii

23、niiw rcw有效边界的微分求解法*有效边界的微分求解法* 这样共有n2方程，未知数为wi（i1，2,n）、和，共有n2个未知量，其解是存在的。 注意到上述的方程是线性方程组，可以通过线性代数加以解决。 例： 假设三项不相关的资产，其均值分别为1，2，3，方差都为1，若要求三项资产构成的组合期望收益为2，求解最优的权重。3111113222123333133123131231020302321jjjjjjjjji iiiiLwrwwLwrwwLwrwww rwwwwwww100010001 由于1=(1 ,2,3) ,2Tc r有效边界的微分求解法*12301/31/31/31/3www由此

24、得到组由此得到组合的方差为合的方差为213有效边界的微分求解法*夏普单指数模型 单指数模型 (single-indexing model) 该模型是1963年由W. Sharpe首先提出的，又称市场模型(market model)和对角线模型(diagonal model) Sharpe W., A Simplified Model for Portfolio Analysis, Management Science, 1963(1).模型假设 个别证券的收益率之间的联系是通过一些共同的因素发生作用的，所有证券彼此不相关，即协方差为0 ； 证券的收益率与某一个指标间具有相关性，典型的单指数模型

25、为市场模型，假定股票在某一给定时期与同一时期股票价格指数的回报率线性相关。 个别证券收益率和风险的确定 按市场模型的假定，证券的预期收益率由市场收益率决定，可以利用回归分析法来计算某种证券的收益率。 t itIiitirar个别证券的期望收益率和风险 可用来衡量第i种证券风险的高低，它等于： coviI为证券i的预期收益与股票指数收益的协方差， 为股票指数的方差。当 大于1时，证券的风险比市场的风险更大，这样的证券被称为进攻性证券；当 小于时，证券的风险比市场的风险更小，这样的证券被称为防御性证券。iIiIi22IIcovi2I2Iii系数的衡量 与单一资产和资产组合的风险与收益的衡量一样，系

26、数也可分为两类：历史系数和预期系数。 投资者根据单一资产和组合的历史的收益率，利用计算公式计算出历史的系数。 预期的系数有两种方法计算： 根据概率分布对预期系数进行估算； 根据可能对系数产生影响的一些因素，通过对历史的系数的调整，预期的系数进行估计。历史的系数的衡量年份年份股票股票市场指数市场指数的收益率的收益率第第1种种第第2种种第第3种种6.20%4.40%7.20%6.40%_ir2ii历史的系数的衡量 第一种方法，首先计算协方差，再计算系数 第二种方法，利用相关系数计算系数n_1miIitItt 1iIiI12I1cov(rr )(rr )n11cov(10%6.2%)(11%6.4%

27、)(8%6.2%)(76.4%)9.(12%6.2%)(10%6.2%)10.0473220.0052589cov0.0052581.530.0034271I1I1I111I22IIIcov10.700.841.535.85 1I1I1Icov 历史的系数的衡量 计算结果如下：iIiI0.005258 0.004249 0.002791 0.003427 0.840.850.281.00 1.531.240.811.00 个别证券的期望收益率和风险 2222i( )( )( )( )()iii IiiiiiIiiiIiii IiiIr rE r E rE E rV r 系统风险非系统风险资产组

28、合风险的衡量 组合的总风险 对于给定的组合P， 投资于每一证券i的资金比例记为Xi，则组合的回报率为：Npi ii 1NiiIiI IiIi 1NNNiiIiiIIiiIi 1i 1i 1pIpI IpIrX rX (r)X(X)rXrNNNpIiiIpI IiiIpIi iIi 1i 1i 1XrXX其中，表明组合的截距、贝塔值何和随机误差项分别为各证券的截距和贝塔值的加权平均，使用它们的相对比例作为权重。因此，组合回报率的方差测度的组合的总风险为：2222ppIIpN22pIiiIi=1X 其中，资产组合风险的衡量 组合的市场风险 一般地，一个组合越分散（即组合中包含的证券数越多），每一个证券的比例Xi就越小，这将不会引起 显著减小或增大。由于一个组合的贝塔值是其证券的贝塔值的加权平均，没有理由认为增加分散性，会引起组合的贝塔值（即组合的市场风险）向一特定方向发生变化。 因而，可以得出一个结论：“分散化导致市场风险的平均化”。pI资产组合风险的衡量 组合的个别风险 对于个别风险，情况是完全不同的，当组合变得更加分散时，个别风险，进而总风险将变得更小。 如果投资于每种证券相等的资金数量，则比例Xi将等于1/N，个别风险水平将等于：N222piii 1N22ii 122212NX1()N.1NN方括号中的