KMV与MATLAB实现解析

1、目录一、课题背景 .11.课题描述 .12.实训目的 .2二、原理或方法介绍 .2三、数学模型描述 .3四、计算方法与流程 .3五、主要代码与分析 .5六、仿真与编程计算 .9七、结果与检验 .10八、分析与总结 .12参考文献 .121信用风险度量的KMV模型及其MATLA求解一、课题背景1.课题描述信用风险管理模型是对信用风险进行量化的一个 巨大进步，摆脱了传统的 信用风险管理方法的束缚， 在对信用风险尽可能精确量化的基础上， 使信用风险 的定价趋于合理，使资本的配置趋于有效和优化。信用风险是指由于借款人或其他合约义务人的信用质量发生变化， 致使其在 贷款或其他合约到期时不能偿还本息， 或

2、者不能履行合约规定的义务而带来的损 失。当一个债务人信用质量发生恶化的时候， 其风险贴水也应该增加， 而一笔贷 款贷出也就确定了风险贴水， 但与现时的超过无风险利率的均衡的价差是不相符 的，准确地掌握贷款的价值变化，对于风险管理的意义是巨大的。KMV 莫型是美国旧金山市 KMV 公司于 90 年代建立的用来估计借款企业违约 概率的方法。KMV 模型认为，贷款的信用风险是在给定负债的情况下由债务人的 资产市场价值决定的。 但资产并没有真实地在市场交易， 资产的市场价值不能直 接观测到。 为此，莫型将银行的贷款问题倒转一个角度， 从借款企业所有者的角 度考虑贷款归还的问题。在债务到期日，如果公司资

3、产的市场价值高于公司债务 值（违约点） ，则公司股权价值为公司资产市场价值与债务值之间的差额；如果 此时公司资产价值低于公司债务值， 则公司变卖所有资产用以偿还债务， 股权价 值变为零。KMV 模型的优势在于以现代期权理论基础作依托， 充分利用资本市场的信息 而非历史账面资料进行预测， 将市场信息纳入了违约概率， 更能反映上市企业当 前的信用状况，是对传统方法的一次革命。 KMV 模型是一种动态模型，采用的主 要是股票市场的数据，因此，数据和结果更新很快，具有前瞻性，是一种“向前 看”的方法。在给定公司的现时资产结构的情况下， 一旦确定出资产价值的随机 过程，便可得到任一时间单位的实际违约概率

4、。 其劣势在于假设比较苛刻， 尤其 是资产收益分布实际上存在“肥尾”现象， 并不满足正态分布假设； 仅抓住了违 约预测，忽视了企业信用品质的变化；没有考虑信息不对称情况下的道德风险； 必须使用估计技术来获得2资产价值、企业资产收益率的期望值和波动性；对非上 市公司因使用资料的可获得性差，预测的准确性也较差；不能处理非线性产品， 如期权、外币掉期等。2.实训目的1）掌握运用方程和方程组求解；2） 熟悉 fzero 函数与 fsolve 函数的用法；3）初步理解 KMV 模型的计算方法二、原理或方法介绍1.方程若 x 为变量，方程 f，若存在/，使得 /（r）=0，则 F 为方程/的 解或者根。求

5、解方程算法为迭代算法，通常使用优化算法求解方程若上述方程有解，则对于上述优化问题的最小值为 o,对应的最优点即为方 程的解（根），若方程有多解，则优化问题存在多个极值使得函数值为 0。2.方程组若 x 为变量，方程组族）丨丨若存在 ，使得 则,为方程组的解或者根。求解方程算法为迭代算法，通常可以使用优化算 法求解方程3曲=0I 若上述方程组有解，则对于的优化问题的最小值为0,对应的最优点即为方程组的解（根），若方程有多解，则优化问题存在多个极值使得函数值为0。三、数学模型描述例 某公司流动负债为 1 亿元，长期负债为 5000 万元，根据上市公司的股价 行情（表 1 公司股权价值与收益率表）表

6、可以统计计算出 E （为公司的股权价 值）与（为公司股权价值的波动率），计算公司的违约率？月份总市值（元）收益率1129523558-13.65%214988546213.58%3142316387-5.32%41494409124.77%5147924524-1.03%6130439432-13.40%71363130244.31%81409724643.31%91484050955.01%10144898861-2.42%111449046090.00%12130292794-11.21%均值标准差1412764278.35%表 1 公司股权价值与收益率表四、计算方法与流程步骤 1:基本参

7、数计算4公司股价波动率为 8.35% （月度），为公司股权价值的波动率（年（在实践计算中，我们通常计算时日波动率，假设一年的交易日为250 个,则年化波动率为日波动率乘以交易日数量的平方根）。公司的股权价值 E=141276427 元KMV 模型违约点 DP=SD+0.5XLD=1.25 亿步骤 2:使用数值技术优化方程组利用 fsolve 函数求解 KMV 方程组，fsolve 是 matlab 最主要内置的求解方程 组的函数，KMV 模型方程组中的两个未知变量卫和%可从以下联立方程组中求 出。ny购-血叫）一 =-其中，E 为公司的股权价值；D 为公司负债的市场价值；人为公司资产的市 场价

8、值；T为债务期限，一般设为一年；为公司资产价值的波动率；r 为无风险 利率；（为公司股权价值的波动率。由于两个未知变量:和数量级相差巨大，:数量级为亿、千万等等，而口 取值范围一般为0,10, fsolve 函数使用迭代方法进行方程组计算，为准确求解方 程组必须将卫标准化，将根据负债 D 进行标准化，引入参数 EtD 为 E/D，便 于 fsolve 函数迭代求解。若不变化，将出现程序失败或计算结果误差巨大的情况。将J _ M代入 KMV 方程组，两个未知变量 x 和%, KMV 方程组变为E = xEN斶- W丹2) )5引入参数 EtD，上式简化为:6如计算出 x 和a,根据 h1可以计算

9、出公司资产的市场价值。五、主要代码与分析1.fzero 函数fzero 是 matlab 最主要内置的求解单变量方程的函数 函数语法x,fval,exitflag,output = fzero（fun, xO,opti ons）输入参数：Fun:目标函数一般用 M-文件形式给出X0:优化算法初始迭代点Optio ns:参数设置函数输出：X:最优点输出（或最后迭代点）Fval:最优点（或最后迭代点）对应的函数值Exitflag:函数结束信息（具体参见 matlab help）Output:函数基本信息 包括迭代次数，目标函数最大计算次数，使用的算 法名称，计算规模例求解下列方程f(jc)=2t-

10、尸二0目标函数 Eqfunobj1.mfunctionf=Eqfunobj I (x1f=2*K-X 2-exp (-x) );求解函数 SolveEqfun1.mx0=0;Ex；, fvalj exitf lag；, output zero (.EqfunQbj lj xD)7 xO=O;踞调用f z亡疋。函戡送行求USiLiCj Tval, eacit flac out put J = z er o (E qf xmob j 1 .KO)x =Q 4134fral =0exitflag =* ut put =int -er valit e at ions : 9it erat xorts

11、s 5fuxiaCount : 2d algorithm: bisection, interpolationJ*.esag,e sJZero f oxmdL in the i_rtt erval 0 45i254SB0 4.52548J2.fsolve 函数fsolve 是 matlab 最主要求解多变量方程与方程组的函数 函数语法：x,fval,exitflag,output,jacobia n = fsolve（fu n,xO,optio ns）输入参数：Fun:目标函数一般用 M-文件形式给出X0:优化算法初始迭代点Optio ns:参数设置 函数输出：X:最优点输出（或最后迭代点）Fv

12、al:最优点（或最后迭代点）对应的函数值Exitflag:函数结束信息（具体参见 matlab help）Output:函数基本信息 包括迭代次数，目标函数最大计算次数，使用的算 法名称，计算规模Jacobian：Jacobian 矩阵（主要用来判断是否得到有效解）例求解多变量方程实例演示：解下列方程/(r)=2i1-ia-=0编写目标函数 Eqfunobj2.m 和求解函数 SolveEqfun2.mfunction f=Eqfurmbj2 (n)Se&de by ariszhtngSgmiil.co*20107-6f=2+xl)-x(2)-exp(-1 (1);工0=血口 ;fva

13、lj exitflagj Dutpitfsolve (.flEqfunobjxO i8fval =-L 22l2e-015cxitf -1 curt put =it eratiansj 4funcCDimt: 15st epsizc：3. ETE4t-Q10egiterat ien*:訂f irsUjrderapts3. 335le-ai5algor it hnrJiessace ：* Levenbert-Marquardtp如tinaEatiDH terjunated: the firstoider opliMlity measure is less than leS tiraies opt

14、ions IQLFTZI例求解多变量方程组实例演示，例如求解方程组巧一 W一严0-旺十近-产=0编写目标函数，Eqfunobj3.m 和求解函数，SolveEqfun3.mIkini直First-ardetTEUst-KeEioriIterationFunc-Gourrtf (x)stepeptiiuali-tyradius0$47071-32- 2&ed04-1LgI2D03.415.75E+CJ03!2P3147.021-4Z-e-H)03i312854.4521388i4惰聲罵52T110715IB67. 0-4 2130.812LIIS.MU21直朋1孑242.427S812.

15、261I270.的押胡0.759511a 206亦9刘7.049e-GaD. IIIBOTD. 0494-2.5LD333fc29525e-(30.HD169L32. 35E=0072-5Ogituiiz&ti&Afitst-aidet dptnaitty is less than ojsiiiiM；. ImlFun.0. 5萌Io.serival =.0e-006 *CL 4059-D.function F = CEqfunfxj a3b)F| Scode by ariszhengSgmail. com -9S2010-7-6F - a*x (1) - x (2) - exp

16、 (x (1);-K(1) + b*x (2)- exp (-x (2); xQ = t-&, -5；v=2 *谩盍耳在计勒商给走念biS*pt ians= opt ijiset C Display?aJit e tJ);賢调RfsolvelZlVjfval = fl-ve(a(x) CEqfun(.jt s70 opti*ni)93.含参数方程组求解例 求解方程组当 a,b 给定时的方程组的解。乐一耳一声=0=0编写目标函数，CEqfu n.m 和求解函数，SolveEqfu n.mNor* ofFirst-c-rderIifust-reaionIt exitionFunc-ccun

17、tfstepopt iftalityradius0347071,22, 29e-HJ04111200X4i5. 75e-K)03In93147.02t1, 47e+Q3l312854.452I38Bl4239-527i107i519&人0412I3Q.81e211乩7042I9. 051J242.42r 881Z 26ig27仏032C58仇Z50511(h 206 5g30人03I49e-006Qni92rQ.00294呂510333.29525e-0130. QO108132 366-007Z 5Opt inixation terninateds first-order opt L

18、uality is less than aptLQILE. TalFirn.QP50710.5671fL =L Qe-QD6 *-0. set ( Display j, itei);曙谓用尉卿芒函敢xfval = fscilve (&(K)GEvEunt b) xtt wtims)10 二_时W（勾其中，E 为公司的股权价值；D 为公司负债的市场价值；人为公司资产的市 场价值；T为债务期限，一般设为一年；为公司资产价值的波动率；r 为无风险 利率；（为公司股权价值的波动率。假设公司资产价值服从对数正态分布，那么我们可以通过 出上市公司的违约距离。其中，幼;）为公司资产未来价值的期望值。

19、DP 为违约点，DP=SD+0.5XLD , 为企业一年以下短期债务的价值加上未清偿长期债务账面价值的一半。相应的违约概率为片（力），用心为标准正态分布函数。六、仿真与编程计算步骤 1 基本参数计算KMV 方程组计算函数，M文件 KMVfun.MF=KMVfu n（EtoD,r,T,EquityTheta,x）输入参数：EtoD: E/D，为公司的股权价值比公司负债的市场价值;R:无风险利率T:预测周期EquityTheta：公司的股权价值的波动率X:公司资产的市场价值1比例输出参数：F:方程组的函数值程序源码：functian F-KJC/fun1toD?T, EquiyThet afx)

20、KKMVfunScode by ariszhncEmaiLCOM2009-8-3dl = ( logi(t)*EtoD + (r+0. 5+z (2) 2)*T ) /x (2)*sqrt (T) ;d2=dl-x(2)*sqrt (I)；%方程组以列向重的方式给出KMV 方程租计算11F= xl)*notMtdf(dl)-ixp+Qb&*LD;36D:Debt *ak?t valueADP儂暑的市场价值，可以修改%theta: volatilityJfiPriceTheta: volatility of stock pricePricelhetiF0；2fl93输入)SEquilyT

21、heta: volatility of Theta valueEquityThet a= Pricelheta;%AssetTheta: volatility of asset: E quit mat 亡 t valueE=141276427;WVi； Value of assetKt a ccmput e the Va and Asset ThetaVa5As s et Ihet a -Kffropt S e arch Ej D, g IyEquity Theta)轴计算逹约距离DD= (Va-DP) /(Va*Asstt Thtt a)駡计算槿豹奮EDF=njrjncdf (-DD1Opt

22、 ini z at ion terminated: first-order optimality is less than options. IolFun.月计算圭约硅离DD=(Va-DP/(VaAs setThet切莎计茸违约車EDF=notJicdf (-DDOpt ini 2 at ion terminal erf; Tirsty order optimalitjf is lss than opl ions. lolFun.Va =2,53?Qe+00SAs5?t Thet a =0, 1561DD =3+ 36C6EDF =3+5i2&e-004公司资产的市场价值为 2.6350e+008 元公司资产价值的波动率 0.1551 即 15.51%公司负债违约距离为 3.3886公司违约概率为 3.5129e-004 ,0.3512%(违约概率比较低)优化算法的迭代计算结果与迭代初始点相关性较大， 尤其在求解多元优化问 题时，若