48复数中方程问题

1、三、复数中的方程问题【教学目标】1. 掌握判别式小于零的实系数一元二次方程的复数根的求法.2. 掌握一元二次方程根与系数的关系并能用于解决一些方程根的问题.3. 在解决问题的过程中体会转化与分类讨论的数学思想的应用.【教学重点】一元二次方程的根的讨论.【教学难点】含字母系数的方程根的情况的讨论,X3 1的根的应用.【教学过程】一.知识整理1.实系数一元二次方程的根的情况设方程ax2 bx c 0 ( a , b , c R且a 0 ),判别式 b 2 4ac(1)当厶 0时,方程有两个不相等的实数根：b 、,b 4acb4acXI2a,X22a(2)当厶0时,方程有两个相等的实数根：bxiX2

2、2a(3)当厶0时,方程有两个共辘虚根：b<4acb 2 ibx 4ac b 2 iXl2a,X22a2.代数式a2 b2 (a ,b R )的因式分解利用丨Z I2zz,有a 2b2(a bi)( abi)3.复系数一元二次方程根与系数的关系设方程ax2 bx c 0 ( a , b , c C且a 0 )的两个根为xi , X2 ,那么bxi X2 aCXI X2 一a4.方程x31的根方程31有三个根,1, X21V i ' X31i 假设记XX1222 2那么有性质:31(32 22 0.二例题解析【属性】高三,复数,复数集中的因式分解,解做题,易,运算【题目】在复数范围

3、内分解因式.(1) a4 b4 ；(2)丄 X2 x 3 .2【解答】(2 2)(2 2) <( )()( )( )ababa b a b a bia bi .31( X22x 6)(X 1)2 需)2225)(1P)7 iX< i解：(1)4a b(2)丄乂2 x21( 12 x【属性】高三,复数,复数中的方程问题,解做题,易,运算【题目】(1) 假设3 2i是实系数方程2x2 bx c 0的根,求实数b与c；(2) 假设3 2i是方程2x2 bx c 4i 0的根,求实数b与c.【解答】(32i)(3 2i)b解；(1)由题意,3 2i是方程的另一根,那么2 ,(32i)(32

4、i)c2所以b12 , c 26 .(2)将3 2i代入方程得2(32i)2b(32i) c 4i 0 ,整理得,(10 3b c) (20 2b)i 0,所以10 3b c 010,解得20 2b 0c 20【属性】高三,复数,复数中的方程问题,解做题,中,运算【题目】(1) X? X 1 0,求 x" X40X50 的值.2(2)假设 a1710 ,求 a17?的值.【解答】10,得 x_4£ i,所以爪 1,1 X x2(2)由a2 a1 0 ,得 a丄2当a-1i时,那么a(22-L-L,所以a】？-J-a】？2rza 17同理可得,当a丄Li时,也有所以 X30X

5、40X502 2/i,2L£ i ) , a31, a17()1722(2) 1 a17k1.0 ai?17【属性】高三,复数,复数中的方程问题,证实题,中,逻辑思维【题冃】证实：在复数范围内,方程 Izl(1 i)z (1 l)z$i为虚数单位无解.2【解答】证实：原方程化简为lz|2 1i)z (1 i)z1 3i,设zx yi ( x , y R ),代入上述方程,得x2y2 2xi2yi 13i,所以 x?y21,消去y ,整理得2x2y38x212x 5 0 ,此方程的判断式厶122 485160,故x无实数解.所以,原方程在复数范围内无解.【属性】高三,复数,复数中的方程

6、问题,解做题,难,分析问题解决问题【题目】关于x的二次方程x2 (2a l)x a 20有虚根,且此根的三次方是实数,求实数a的值.【解答】解法一：设方程的虚根为所以方程的虚根为 m(l爲),由根与系数的关系,2m(2a4m21),消去m ,得4a2 4a 1 a 2 ,4a 23a 1 0 ,解得a-L4解法二：设方程的虚根为那么另一虚根为Z2由于zi3 R 所以zi3zi3Z133Z2, zrZ2 )(Z12zi Z2 Z22 ) 0 ,由于ZI Z2 ,所以ZI2zi Z2Z22zi Z2 ,由根与系数的关系,(2a 1)2 a 2 , 4a3ani) 3为实数,得n JJm ,三课堂反

7、应【属性】高三,复数,复数中的方程问题,填空题,易,运算【题目】假设3 2i是方程2x2 bx c 0 ( b , c R )的一个根,贝ij c 【解答】答案：26【属性】高三,复数,复数中的方程问题,填空题,易,运算【题目】2 ai, b i是实系数一元二次方程x2 px q 0的两根,那么 p q 【解答】答案：4 , 5【属性】高三,复数,复数中的方程问题,填空题,易,运算【题目】假设 是方程*1的一个虚根,那么(12 )(12)【解答】答案：4【属性】高三,复数,复数中的方程问题,填空题,中,运算【题目】在复数范围内解方程：lz|2 (z £)i 3 (i为虚数单位)2 i

8、【解答】解：原方程化简为Izl?(z z)i 1 i ,设 zx yi ( x , y R ),代入上述方程,得2 2x2 y21X12xy 2xi 11,所以2x1,解得yi2所以,原方程的解为 Z-4*1或z42222四.课堂小结1.实系数一元二次方程,在判别式小于零时,有一对共辘虚根(虚根成对)利用这一点,在己知一根的情况下,就可以知道另一根,再结合根与系数的关系,就使问题得到简化.2.由于实系数一元二次方程在复数范围必有两根,因此在复数范围内二次多项式的因式分解一定可以分到一次式的乘积.3.如果方程的系数含有虚数,那么不能用来判断方程有无实根,共辘虚根定理也不成立,但根与虚数的关系仍成

9、立.这类题如果给出方程有实根的条件,可用复数相等的充要条件转化为 实数方程组求解.所以说,复数问题实数化总是解决复数问题的根本策略.五.课后作业【属性】高三,复数,复数集中的因式分解,填空题,易,运算【题目】在复数范围内分解因式:(!) X22x 16(2) X22x cos1【解答】答案：(1)(x 1庐)(X 1 庐)(2) (x cos i sin )(x cos i sin )【属性】高三,复数,复数中的方程问题,填空题,易,运算【题目】设一元二次方程2x 2 ax b 10 ( a , b R )的一个虚根是1 i,那么实数a , b.【解答】答案：4 , 3【属性】高三,复数,复数

10、开平方问题,填空题,易,运算【题目】复数3 4i的平方根为.【解答】答案：2 i, 2 i【属性】高三,复数,复数中的方程问题,解做题,易,运算【题目】方程x 2(4 i) x 4 ai 0 ( a R)有实根b ,且z a bi ,求z 【解答】解：z 2 2i.【属性】高三,复数,复数中的方程问题,选择题,中,运算【题目】方程z Izl 1 3i中z的解是()2 21 3B. _ ic. 4 3iD. 4 3i2 2【解答】答案：C【属性】高三,复数,复数中的方程问题,解做题,中,逻辑思维【题目】2x0有无实数根,并给实数P满足不等式10,试判断方程z2 2z 5p 2出x 2证实.【属性

11、】高三,复数,复数中的方程问题,解做题,中,运算【解答】解；由2 pT,所以丁 p 2 4,所以方程z 2 2z 5 p2 0的判别式24A 4 4(5p2)4( p 24) 0 ,所以原方程无褛根.【题目】在复数范围内解方程 x363x2 2x 【解答】解：把原方程化为X31 3x22x5(x 1)(x2 x1)l)(3x 5),(x 1)( x 2 4x 6) 0,解得 xi1,X3rX 2i.【属性】高三,复数,复数中的方程问题,解做题,难,分析问题解决问题【题目】关于x的方程x2 x m 0 ( m R )的两根为、.(1) 假设丨I 3,求m的值；(2) 假设丨 丨丨丨3,求m的值.

12、【解答】解：(1)由于I卩 9 ,所以 I ()2419,11 4m I 9 ,5(2)当、 为实数,即1 4m0 , m 时,4(1 1 1I)2922 2 11 9()222 11 91 2m2 1ml 9 ,当 01m _时无解；当m 0时,m2当41 -、 为一对共觇虚数时,即m 时,由11 11 3 ,可知41丨3那么m丨I2 s .22或m 丿4综上,m解得m1或 m 2 24【题目资源】【属性】高三,复数,复数集中的因式分解,解做题,易,运算【题目】1.在复数范围内分解因式(1)X416 ；(2)X22x(3)X38【解答】解：(1) X416 (x24)( x 24)(X2)(

13、 x 2)( x 2i)( x 2i).(2) 2 25 (I)2 22(12 )( 1 2)XXXXi xi .(3)383 23(2)(2 24) (2)(1 “)(1 g )XXXXXxxi xi2.假设实系数一元二次方程 x2 ax b 0有一个虚根为2i,那么a , b【解答】答案：0 , 4【属性】高三,复数,复数中的方程问题,填空题,易,运算【题目】关于复数Z的方程I z I2 2zi 1 2i的解集是.【解答】答案： 1 ,1 2i 【属性】高三,复数,复数中的方程问题,填空题,易,运算【题目】方程x2 kx 20有一个根是1 i,那么它的另一个根是 【解答】答案：1 i【属性

14、】高三,复数,复数中的方程问题,填空题,易,运算【题目】a为实数,方程2x2 8x a 10的一个虚根的模是 <5 ,那么a【解答】答案：9【属性】高三,复数,复数中的方程问题,选择题,易,运算【题目】方程Z? Izl 0的复数解有A. 1个 B 2个C 3个 D.无数个【解答】答案：C【属性】高三,复数,复数中的方程问题,解做题,易,运算【题目】方程30 ( a ,有一个根为 x ax bb R1(1)求 a ,b满足的关系式；2假设此方程的另两个根为虚数,求实数a的取值范围.【解答】1.解：(1)由题意,la b 0 ,即a b(2)由(1) , b a 1,故方程变为 x3 ax

15、a 1 0 ,即(x '1) a( x 1) 0 ,(x l)(x2 x 1) a(x 1) 0 , (x 1)( x2 x 1 a) 0 ,0所以方程的另两根就是方程X2 X 1 a的两根,故公 0,即1 4(1 a) 0 , a所以,实数a的取值范围是3 ,44【属性】高三,复数,复数中的方程问题,解做题,易,运算【题目】方程x 2 4x k 0有一个虚数根为1 2i,求k的值.【解答】解：由X 2 4xk 0,得 kx2 4x,将 x 1 2i 代入,得 k 7 4i .【属性】高三,复数,复数中的方程问题,填空题,中,运算【题目】设、是方程x 2 7 x m 0的两个虚根,且丨

16、丨丨丨8 ,那么实数m.【解答】答案：16由题意,、 是共辘虚数,所以 2 1 18,1丨4,于是丨I216,即m 16.【属性】高三,复数,复数中的方程问题,解做题,中,运算【题目】关于x的方程ax? (1 2i)x 2a(l i) 0有实根,求实数a的值.【解答】解：设方程实根为 X0 ,那么ax()2 (1 2i )X0 2a(l i)0 , 即(axo2 xo 2a) (2xo 2a)i 0 ,所以 axo2 xoxo a2a 0,所以xo0【属性】高三,复数,复数中的方程问题,解做题,中,逻辑思维【题冃】假设虚数z满足z3,求z2 2z 3的值.【解答】解：由,z3z3 23 ( z

17、 2)( z2 2z 4) 0 ,因Z为虚数,故z2所以z2 2z1.【属性】高三,复数,复数中的方程问题,解做题,中,逻辑思维【题冃】在复数范围内解关于X的方程X?5 1x16 0 .【解答】解：假设x为实数,那么原方程可化为(I x I 2)(1 x I 3)解得假设X为虚数,设Xbi(a bi) 2 5V a 2 b 260,所以a 2 b2 审a 2 b22ab 0b2(I b I 6)(1 b I 1)0 , b所以,原方程的解为 2 ,2,3,【属性】高三,复数,复数中的方程问题,解做题,中,运算a 3 3a 0 ,解得a 0或a【题目】解关于Z的方程I Z I Z1 2i解：原方

18、程可化为Izl z 2 4i ,设z a bi ( a , b R ),那么原方程可化为4；a z'F2(a bi)2 4i x,a2 b2,解得a 3 , b 4 .b 4所以,原方程的解z 3 4i.【属性】高三,复数,复数中的方程问题,解做题,中,运算【题目】方程 x2 (tan i )x ( 2i)0中,为锐角,假设实数a是方程的一个解,求与a的值.【解答】解：由题意,a 2(tani)a (2i) 0 , a2atan2(a l)i 0,所以“ 2a0tan2,解得a10a1 tan1所以,；,a 1.【属性】高三,复数,复数中的方程问题,解做题,中,逻辑思维【题目】【属性】

19、高三,复数,复数中的方程问题,解做题,难,逻辑思维复数w满足w 4 (3 2w)i , z1 w2 1 ,求一个以z为根的实系数一元二次方程.w【解答】5所以 z 1 i 1 3 i ,解：由W4 (32w)i ,所以 w(l 2i)43i ,w 21 ,2 i故另一根为3 i ,设所作方程为x2 px q0 ,那么p(3 i)(3 i)6 ,q (3 i)(3i)10 ,所以所求方程为 x26x100【题目】关于x的实系数方程2x2 3ax a2 a 0至少有一个模为1的根,求实数a的值.【解答】解：当根X为实数时,9a28 (a 2a)0 , a28a 0 ,a8 或"0 .由丨

20、X 1 1X1当X1时,a 22a2 0 , a 无实数解；当x 1时,a 2 4a2 0 ,解得a2当根x为虚数时,8a0, 1 x 11 2XX1 ,即厂° 01, a a 2,解2得a 1或a 2 (舍去).综上,a 1,或玄2 丿2或玄2 41 .【属性】高三,复数,复数中的方程问题,解做题,难,逻辑思维【题目】假设z C ,关于x的一元二次方程 x2 zx 4 3i 0有实根,求复数z的模的最小值.【解答】解：zx x23i,当x 0时,此等式不成立,故x 0.所以,3z x -4 I z lx2 2 43-：x2 -25 82 X* x2*25 一 8 3y/2x2所以,

21、当X225 , x 活时,丨z I取最小值32 x2【属性】高三,复数,复数中的方程问题,解做题,难,分析问题解决问题【题目】 ABC顶点为直角坐标分别为A( a , 4) , B(0 , b),c(C , 0)假设虚数x 2 ai0 )是实系数一元二次方程x2 ex 50的根,且A是钝角,求b的取值范围.【解答】0解：由,虚数x 2ai也是实系数一元二次方程 x 2ex 5的根,所以(2 ai) (2 ai)c(2 ai)(2 ai)5 ,解得;a 1 , c 4,那么 A、C的坐标为A(1,4),C4,0),所以更 (1 , b4),AC(3 ,4),因 A是钝角,故忑XE134b 0 ,又当Ab