4平面向量应用举例

1、5-4平面向量应用举例根底稳固一、选择题1.假设向量 OFi = (2,2),OF2= (-2,3)分别表示两个力F1 与 F2,那么 |F i + F2I 为()A . 2.5B. 4 2C. 2 2D. 5答案D解析由于 Fi + F2 = OFi + OF2= (2,2) + ( 2,3)=(0,5),所以|F 1+ F2| = 5,应选D.3.两个力Fi, F2的夹角为90°它们的合力大小为10N, 合力与Fi的夹角为60°那么Fi的大小为()A. 5 3NB. 5NC. 10N答案BD. 5 2N解析如下图,由向量加法的平行四边形法那么知F合=Fi +F 2,四边

2、形OABC是矩形,丁/ AOB = 60°1|F 1|= |F 合|cos60 = 10X2 = 5(N).4 .点Bf 2, 0),点0为坐标原点且点 A在圆(x , 2)2 + (y2)2 = 1上,那么0A与0B夹角B的最大值与最小值分别是()A n -a4, 05 n nB.12, 4C5n nC.12 12答案Cn 5 nD2, 12解析如图,当直线0A与圆C相切时,0A与0B夹角最小或最大；由于C( 2,2)B0C=4又 由于 |0C|= 2, r = 1.T TAOC = n；因此OA与OB夹角的最大、小值分别为应选C.5. 文直线I: mx+ 2y + 6= 0,向量

3、1 m,1与I平行,那么 实数m的值为A . 1B. 1C. 2D. 1 或 2答案Dm1解析k1 = 2,向量(1 m,1)所在直线的斜率k= ,由题21 m意得一21 m'解得m= 2或1.理A7,1, B1,4,直线y= 2ax与线段AB交于C,且AC =解得x= 3,y=3,2CB,那么实数a等于A . 2B. 145C.4D3答案ATT解析设 C(x, y),那么AC= (x 7, y 1), CB= (1 x,4 y),Tv AC= 2CB,不等式|x|+ |y|< 1,那么z的取值范围为()A 2,2B2,3C3,2D 3,3答案 D解析此题考查向量垂直的充要条件及

4、线性规划问题的求解t a丄b,. a b= 0,即(x+ z, 3)(2, yz) = 0,二 z= 2x + 3y.不等式|x|+ |y|< 1表示如下图平面区域.作直线I.： 2x+ 3y= 0,平移lo过点A(0,1)时z取最大值3平移I. 过点 C(0, 1)时,z取最小值3,二 z 3,3.二、填空题7. 在长江南岸渡口处,江水以 12.5km/h 的速度向东流,渡船的速度为25km/h.渡船要垂直地渡过长江,那么航向为 .答案 北偏西 30° 解析如图,渡船速度为OB,水流速度为OA,船实际垂直过 江的速度为OD,依题意知,|OA|= 12.5, |OB|= 25,

5、由于四边形OADB为平行四边形,那么|BD|=|OA|,又OD丄BD,在 RtAOBD 中,/ BOD= 30°二航向为北偏西30°.8. (2021宁冈模拟) ABO三顶点的坐标为 A(1, 0), B(0,2), O(0,0), P(x, y)是坐标平面内一点,且满足 AP OA<0, BP OB?0,那么OP AB的最小值为.答案3T TT T解析由得 AP OA= (x 1, y) (1,0) = x 1<0,且BP OB =T T(x, y 2) (0,2) = 2(y 2)>0, 即卩 x< 1,且 y?2,所以 OP AB= (x, y

6、) ( 1,2)= x+ 2y> 1 + 4= 3.三、解做题9. a, b是非零向量,假设 a+ 3b与7a 5b垂直,a4b与 7a 2b垂直.试求a与b的夹角.分析要求a, b的夹角0,就需要利用公式a b=|a|b|cosB,因 此我们利用题设中的垂直条件,用|a|, |b|等来表示a b,这样就可以 将它代入公式,即可求出 0的值.解析解法1：由条件知a+ 3b 7a 5b = 0a 4b 7a 2b = 07a2 + 16a b 15b2= 0所以22-7a2 30a b+ 8b2 = 0 由一得 46a b 23b2 = 0,所以 b2 = 2a b.将它代入得a2= 2a

7、 b.所以|a|= |b|.所以由 b2 = 2a b可知|b|2= 2|a|b|cos0,1所以cos0= ,所以0= 60°即所求的向量a与b的夹角为60°解法2:由条件知：a+ 3b 'la 5b = 0a 4b -7a 2b = 07a2 + 16a b 15b2=0二cc7a2 30a b+ 8b2= 0 X15+ x 8 得 |a|= |b|,由得 7|a|2 + 16|a|b|cos0- 15|b|2= 0,17 + 16cos 15= 0,. cos0= 2v 0°< 0< 180° 0= 60°即向量a与b

8、的夹角为60°点评向量的数量积满足交换律 a b= b a,但不满足 a b = |a|b|,这与平时的数量乘积运算不同,同时要注意如果 a b= b c,但 不能得出a= c.水平提升一、选择题1. (2021许昌一模)平面上有四个互异点 A、B、C、D,(DBTT T T+ DC 2DA) (AB AC) = 0,那么4 ABC 的形状是()A .直角三角形B.等腰三角形C.等腰直角二角形D.等边三角形答案BTTTTT解析由(DB + DC 2DA) (AB AC)= 0,得TTTTTT(DB DA) + (DC DA) (AB AC)= 0,T T T T (AB + AC)

9、(AB AC)= 0. |AB|2|AC|2= 0,二 |AB|=|AC|, ABC是等腰三角形,应选B.2 .一质点受到平面上的三个力Fi, F2, F3(单位：N)的作用而处 于平衡状态.Fi,F2成60°角,且Fi,F2的大小分别为2和4, 那么F3的大小为( )A . 6B. 2C. 2 5D. 2 7答案D解析考查平面向量的运算法那么、概念.由条件知,Fi+ F2 + F3 = 0,二 F3= (F1 + F2),丁 Fi F2= |Fi| |F2I cos F1, F2>=2X4X cos60 = 4, |F3|2= |F打2+ |F2|2 + 2F1 F2 = 2

10、2+42+ 2X 4 = 28,|F3= 2 7.二、填空题3. A( 3, 0), B(0,1),坐标原点O在直线AB上的射影为点 C,那么OA OC=.答案ITT T解析由射影定理求出|OC|= "2", OC与OA成角60°, OA OC= |OA| |OC| cos60如图,在平面直角坐标系xOy中,一单位圆的圆心的初始位置在(0,1),此时圆上一点P的位置在(0,0),圆在x轴上沿正向滚动.当圆滚动到圆心位于(2,1)时,0P的坐标为.答案(2 - si n2,1 cos2)解析此题考查了三角函数的定义以及分析问题解决问题的2水平.根据题意可知圆滚动了

11、2个单位弧长,点P旋转了 1=2弧度,此时点P的坐标为xP = 2 cos(2 n = 2 si n2,yp= 1 + si n(2 ?=1 cos2,OP = (2 si n2,1 cos2).三、解做题5. 向量 OA= (3,4), OB= (6, 3), OC= (5 m, (3 + m).(1)假设点A, B, C能构成三角形,求实数 m应满足的条件；假设 ABC为直角三角形,且/ A为直角,求实数m的值.TT解析(1)OA= (3, 4), OB= (6, 3),TOC = (5 m, (3 + m).假设点A, B, C能构成三角形,那么这三点不共线,TTV AB= (3,1),

12、 AC= (2 m,1 m),故知 3(1 m)工 2 m.1二实数mz岁时,满足条件.假设 ABC为直角三角形,且/ A为直角,那么AB丄AC,二 3(2 m)+ (1 m)= 0,解得 m= 4.6 .如图,在五边形 ABCDE中,点 M、N、P、Q分别是AB、TCD、BC、DE的中点,点K和L分别是MN和PQ的中点.求证：KL =*AE.4分析此题涉及条件较多,故需确定多个封闭图形才能把 与求证结合起来.解析由题意可得T T T T T TKL + LQ + QE+EA + AM+ MK = 0 T T T T TKL + LP + PB+ BM + MK = 0 T T T T TKL

13、 + LQ + QD+ DN + NK = 0 T T T T TKL + LP + PC+ CN + NK = 0T T+,得 4KL = AE,即 KL = 1AE.7.在 ABC中,角A, B, C所对的边分别为a, b, c.m =/ 3A . 3AA .A、卄 口 1, r(cos"2, sin-), n= (cos2, sinq),且满足 |m + n|= 3.(1)求角A的大小;假设|AC| + |AB|= , 3|BC|,试判断 ABC的形状. 解析(1 )由 |m + n|= 3,得 m2 + n2 + 2m n = 3,3A A . 3A A即 1 + 1 + 2

14、(cosycos2 + sinqsinqX 3,cosA= 1,nt 0<A< n A= 3.TTT T Ac 1+ AB|= 3|BC|,A b+ c= 3a,/. sinB + sinC= 3sin A,sinB + si门(弩-B) = px,即 _23sinB+ 2cosB=23,n 3 sin(B + 6)=c c 2nOvB%n n 5 n6<B+6<6, b+n= 3或 2f,故 b=6或 n 当 b=6时,c=n；当 b=2时,c=n故厶ABC是直角三角形.2 . ABC 中,|AB|=|AC|,那么一定有()T TA. AB 丄 ACT TB. AB= ACT TT TC. (AB + AC)丄(AB AC)T T