李庆扬-数值分析第五版习题答案20130808

1、第5章复习与思考题1、用高斯消去法为什么要选主元？哪些方程组可以不选主元?答：使用高斯消去法时，在消元过程中可能出现a：k= 0的情况，这时消去法无法进行；即时主元素a #0,但相对很小时，用其做除数，会导致其它元素数量级的严重增长和舍入误差的扩散，最后也使得计算不准确。 因此高斯消去法需要选主元，以保证计算的进行和计算的准确性。当主对角元素明显占优（远大于同行或同列的元素）时，可以不用选择主元。 计算时一般选择列主元消去法。2、 高斯消去法与LU分解有什么关系？用它们解线性方程组Ax = b有何不同？A要满足什么 条件？答：高斯消去法实质上产生了一个将A分解为两个三角形矩阵相乘的因式分解，其

2、中一个为上三角矩阵U,一个为下三角矩阵L。用LU分解解线性方程组可以简化计算，减少计算量，提高计算精度。A需要满足的条件是，顺序主子式（1,2，n-1）不为零。3、楚列斯基分解与LU分解相比，有什么优点？楚列斯基分解是LU分解的一种，当限定下三角矩阵L的对角元素为正时，楚列斯基分解具有唯一解。4、哪种线性方程组可用平方根法求解？为什么说平方根法计算稳定？具有对称正定系数矩阵的线性方程可以使用平方根法求解。平方根法在分解过程中元素的数量级不会增长，切对角元素恒为正数， 因此，是一个稳定的算法。5、什么样的线性方程组可用追赶法求解并能保证计算稳定？对角占优的三对角方程组6、何谓向量范数？给出三种常

3、用的向量范数。向量范数定义见p53,符合3个运算法则。正定性齐次性三角不等式设X为向量，则三种常用的向量范数为：（第3章p53,第5章p165）nl|x|1 = w|Xi|i T|x|2= （ Xi2）2i 4|牧|二=1警|为|7、 何谓矩阵范数？何谓矩阵的算子范数？给出矩阵A = （ai j）的三种范数| A|1,| A|2,|A| 8, | A|1与| A|2哪个更容易计算？为什么？向量范数定义见p162,需要满足四个条件。正定条件齐次条件三角不等式相容条件矩阵的算子范数有|A|i|A|2|A|二从定义可知，|A |i更容易计算。8、什么是矩阵的条件数？如何判断线性方程组是病态的？答：设

4、A为非奇异阵，称数cond(A)v=|A|V|A|V(v=1,2,*)为矩阵A的条件数当cond(A) ? 1时，方程是病态的。9、满足下面哪个条件可判定矩阵接近奇异？(1)矩阵行列式的值很小。(2)矩阵的范数小。(3)矩阵的范数大。(4)矩阵的条件数小。(5)矩阵的元素绝对值小。接近奇异阵的有(1)、(2)注：矩阵的条件数小说明A是良态矩阵。矩阵的元素绝对值小，不能说明行列式的值小等。10、 判断下列命题是否正确：(1)只要矩阵A非奇异，则用顺序消去法或直接LU分解可求得线性方程组Ax = b的解。答：错误，主元位置可能为0,导致无法计算结果。(2)对称正定的线性方程组总是良态的。答：正确。

5、(3)一个单位下三角矩阵的逆仍为单位下三角矩阵。答：正确。(4)如果A非奇异，贝U Ax = b的解的个数是由右端向量b的决定的。答：正确。解释：若A|b与A的秩相同，贝U A有唯一解。若不同，贝U A无解。(5)如果三对角矩阵的主对角元素上有零元素，则矩阵必奇异。(6)范数为零的矩阵一定是零矩阵。答：正确。(7)奇异矩阵的范数- 定是零。答：错误，HLc可以不为(8)如果矩阵对称，贝U | A|1= | A| 8。答：根据范数的定义，正确。(9)如果线性方程组是良态的，则高斯消去法可以不选主元。答：错误，不选主元时，可能除数为0。(10)在求解非奇异性线性方程组时， 即使系数矩阵病态， 用列

6、主元消去法产生的误差也很小。答：错误。对于病态方程组，选主元对误差的降低没有影响。(11)| A |i= | AT|。答：根据范数的定义，正确。(12)若A是n xn的非奇异矩阵，贝U1cond(A) = cond(A)。答：正确。A是n xn的非奇异矩阵，贝U A存在逆矩阵。cond( A) =|A| |A|根据条件数的定义有：cond(A)=|A| |(AV| =|A| |A| =|A| |AA约化为A = (aQn，其中A =(aj)n,A2 =(aij2)n4 ；证明：（i） A的对角元素 0 （i=i,2，n）；（2） A2是对称正定矩阵;（1）依次取Xi =（0,0,0,i,0，0

7、）T, i =i,2，n，则因为A是对称正定矩阵,i习题I r ,一. 一.aiii、设A是对称阵且a, #0，经过高斯消去法一步后，A约化为|a；IA2,证明A2是对称矩阵。证明:设对称矩阵一a.ai2ain Iai2a22 an 2 aiiaina22a2an2ain cai2aiiaiiaiia22an2所以aTan k时，Lk=IijLklij也是一个指标为k的初等下三角矩阵，其中Iij为初等置换矩 阵。4、 试推导矩阵A的Crout分解A=LU的计算公式，其中L为下三角矩阵，U为单位上三角矩 阵。本题不推导。参见书上例题。P147页。5、设Ux=d，其中U为三角矩阵。(1)就U为上及

8、下三角矩阵推导一般的求解公式，并写出算法(2)计算解三角方程组Ux = d的乘除法次数(3)设U为非奇异矩阵，试推导求U的计算公式本题考查求解公式的一般方法,可从第n个元素开始，逐步计算n-1,时对应的求解公式。解法，略。6、证明：(1)如果A是对称正定矩阵，则A也是对称正定矩阵(2)如果A是对称正定矩阵，则A可以唯一地写成A=L，其中L是具有正对角元的下三角矩阵均是对称正定矩阵的性质。应予以记住。7、用列主元消去法解线性方程组12x1-3x23x3=15-18x13x2- x3= -15 x1x2x3= 6并求出系数矩阵A的行列式的值12 -3 3A= -183-1一111一-12-3315

9、 A|b = -183-1-151116 J使用列主元消去法， 有-12-3315 A|b = -183-1-151116J-183-1-15 12-3315i1116一f-183-1-15 0-1753071731I6186一-183-1-1571731061860-1753I1-18311571731061860066661217一A的行列式为-66方程组的解为X1=1,x2=2,x3=38、用直接三角分解(Doolittle分解)求线性方程组的解111cx 一X2 X3 9456111c x1+ x2+x3=83451x+ x?+ 2 x 8本题考查LU分解。解：-111456111A

10、=3451122J一1 010L =1310-1211111 1456U =01160139000957540 _9、用追赶法解三对角方程组2 -10 0 0-12-100A= 0 -1 2 -1 00 0-12-10 0 0-12解：追赶法实际为LU分解的特殊形式。设U为、单位上三角矩阵。有Ax = b ,其中一10b= 0。00(1)计算的递推公式-1 =G / bi = -1/2 = -0.5：2=c2/(b2a2旨)=一1/(2-(一1)(一0.5) = -2/3：3二弓/心-a：21/(2-(-1) (-2/3)=3/4=C4/(b4-a4%)=1/(2-(-1) (-3/4) =4

11、/5(2)解Ly=fy1=f1/bi =1/2y2=(f222火)/32a2旨)=(0-(一1) (1/2)/(2-(一1)(一0.5)=1/3y3=(f3a3y2)/(b3a3w) =(0-(一1) (1/3)/(2-(-1) (-2/3) =1/4y4=(f4 Y4y3)/(b4七4飞)二(0-(-1) (1/4)/(2-(-1) (-3/4) =1/5y5=(f5a5y4)/(b5a5 w)=(0-(一1) (1/5)/(2-(一1)(一4/5)=1/6(3)解UX=yX5= y5= 1/ 6x4= y4- ：4X5=1/5-(-4/5) 1/6 =1/3X3=y3- ：3x4=1/4-

12、(-3/4) 1/3 =1/2X2=y2- WX3=1/3-(-2/3) 1/2 =2/3x1=y1 -、x2=2-(一1/2) 2/3 =5/610、 用改进的平方根法解方程组2-1 1又01-1 2 3 x2= 5。J 3 1 jxj _6本题明确要求使用平方根法进行求解。实际考查的LDU分解。见P15710723X1, X2, X399911、 下列矩阵能否分解为LU(其中L为单位下三角阵，U为上三角阵)？若能分解，那么分解是否唯一。1 2 31 1 11 26A = 2 41,B =2 2 1，C=2 5 154 6 7-3 3 1-6 15 46_LU分解存在的条件一个可逆矩阵可以进

13、行LU分解当且仅当它的所有子式都非零。如果要求其中的L矩阵（或U矩阵）为单位三角矩阵，那么分解是唯一的。同理可知，矩阵的LDU可分解条件也相同，并且总是唯一的。即使矩阵不可逆，LU仍然可能列。实际上，如果一个秩为k的矩阵的前k个顺序主子式不为零，那么它就可以进行LU分解，但反之则不然。解：因为A的一、二、三阶顺序主子式分别为1, 0, -10,所以A不能直接分解为三 角阵的乘积，但换行后可以。因为B的一、二、三阶顺序主子式分别为1,0, 0,所以B不能分解为三角阵的 乘积。因为C的一、二、三阶顺序主子式分别为1, 5, 1,所以C能够分解为三角阵的 乘积，并且分解是唯一的。12、设0.6 0.

14、5A-0.1 0.3计算A的行范数,列范数，2-范数及F-范数。本题考查的是矩阵氾数的7E义及求法行范数0.6+0.5=1.1列范数0.5+0.3=0.82-范数的计算需要用到特征值，特征值的计算可以使用藉法进行计算，也可以直接求。A A的最大特征值为0.3690所以2-范数为0.6074F-范数0.842613、求证：（a）IkKIk L罚材；（b）|叫到AIL引Aj Wn根据定义求证。农* =曲为AAn顷上n ni,0，A|I2=max（ATn |xL = Xinmaxxi=n xL。2aijA)14、设p亡R展且非奇异，又设IIXI为Rn上一向量范数，定义l|x|L=|PX|。试证明|Xp是p pRn上向量的一种范数。根据向量范数的定义来证明：要求就有正定性，齐次性，三角不等式等性质。显然p=llPM -0，网p = llPcxll TcHPxll =同11赤、|X1 +X2|p =|P(X1 +X2)|=|PX1 +PX2|n,且|为田知上矩阵的算子范数，证明：cond (AB) cond (A)cond(B)cond (AB)=(同国)(AB)|AB| =|BA|AB|半B、B)=cond(A)cond(B)lllAlh1|B|21、设Ax = b，其中A为非奇异矩阵，证明：(1)ATA为对称正定矩阵；(2) cond(ATA)= (cond (A)2)2x(ATA)x