条件收敛与绝对收敛

1、第四节条件收敛与绝对收敛对于任意项级数 项an,我们已经给出了其收敛的一些判n=1别方法，本节我们讨论任意项级数的其他性质一条件收敛与绝对收敛。定义10.5对于级数Z an,如果级数Z |an|是收敛的，我们称n=1n =1级数an绝对收敛。n m如果Z |an|发散，但Z an是收敛的，我们称级数Z an条件收 敛。n 1条件收敛的级数是存在的，如Z(D.n=1n收敛级数可以看成是有限和的推广，但无限和包含有极 限过程。并不是有限和的所有性质都为无限和所保持。大体 说来，绝对收敛的级数保持了有限和的大多数性质，条件收 敛的级数则在某些方面与有限和差异很大。下面我们讨论条 件收敛与绝对收敛的性

2、质。定理10.17绝对收敛级数必为收敛级数，反之则不然0CO证明：设级数an收敛，即|an|收敛，由Cauchy收敛准n =1nD则，对寸& 0,存在N,当nN时，对一切自然数p,成立着|an1| |an2| |anp|于是：Ian 1an 2an.pK |an1I |an，21T a |再由Cauchy收敛准则知z an收敛。n 1由级数Z( )可看出反 N 不成立。n =inQQQQ注：如果正项级数Z |an|发散，不能推出级数an发散。但如果使用Cauchy判另U法或DAlembert判另U法判定出QQQQZ |an|发散，则级数Z an必发散，这是因为利用Cauchy判别法或D

3、Alembert判别法来判定一个正项级数Z |an|为发散时，是根据这个级数的一般项|an|当n-+8 时不趋于0,因此QQQQ对级数an而言，它的一般项也不趋于零，所以级数an发n =1n =1散。例10.38讨论级数L( 1)日n：2_的敛散性，如收敛指明是条件收敛或绝对收敛。解，当p0时，由于limn*20,所以级数发散.n二n 1np当p a 2时，因为n 2 1i. n 1 npdlim1n“： 1/ np一二1Wz收敛，所以原级数绝对收敛。n= np当0 p苴2时,1) np(n 2) (n 1)pp(n24n 4)(n 1广-(n24n 3)n?P业(n 1)(n 2)n，(n

4、1)，pp(n24n 4)n2- (n24n 3)n2pp(n 1)(n 2)n(n pno(n 1)(n 2)n2(n 1)2故(Un单调减少，且n 2 1lim - = 0nrn 1np.一 一，00n + 9 1一由Leibniz判别法知 (-1)昨-=收敛，显然n=1n 1 np:工二发散，所以当0oOoCn =Qn =二我们依次考察pi,p2,中的各项，设pm）为其中第一个满足以 下条件的项?1+叶+?再依次考察Q, Q中的各项，设Q%是其中第一个满足以下 条件的项。pi+p2+-+pmi- Q - C2- Qni E照此下去，我们得到 an的一个重排an如下Pi+p2+Pm Qi

5、Q2Qni+Pm41+Pmi2+- Pm2QQn2+Pm2+1+再分别用R与Lk表小级数z a；的末项为pm的部分和与末项mKn =1为Qnk的部分和，则有I R -E H Pmk，k=2,3,否则与Pn的选取有矛盾。同理有ILk- EI 0,k=1,2,3,lim Pmk=limQ；k=0kmkk i：nklimRk=limLk= Ek.k二所以也应有limS；=En:：oO即 a：= En=A(2)首先，任意选取一个严格单调上升并趋于+8的实数,列Ek(例如，可选Ek=k,k=1,2,).其次，用Pk表示 序列 an中的第k个非负项，用Q表示序列 an的第k个负 项，设Pm是P1,P2,中

6、第一个满足以下条件的项P+P2+PmE1因为QQ因为级数、a；的任一部分和n日S；必介于某一对Lk与Rk之间,设Qn1是Q, Q,中第一个满足以下条件的项P1+P2+Wpmi- Q - Q-Qn1 E2再依次考察Qn1+i,Qn1+2中各项，设Qn2是其中第一个满足以 下条件的项，Pl+Dm Q1Qni+pmE+pm2 Qq中Qn2E2依次做下去，我们得到Z an的一个重排Z an,这个重排级数 满足条件同样可以得到一个重排，使得 下面我们考察两个级数的乘积。设an与bn是两个级数，将仁an)(bn)定义为下列所有项的和由于级数运算一般不满足交换律与结合律。 所以这无穷多项 如何排n =1ag

7、a20asb1a4b1汕2a2b2asb2a4b2a2b3asbsa4b3a3b4a4b4序是我们需要考虑的一个问题。事实上，上述无穷多 项有很多的排序方式，下面我们介绍两种最常用的排序方式对角线排序法和正方形排序法定义10.6a4bia4b2a4b3a4b4令di= abi,d?= aib?+ a?b2+ a?bia4bia4b2a4b3a4b4C2= aib?+ azS, C3=ab3+ a?b2+ a3bi,cn= aQj =aibn+a2bn-i+ +anbii j -n ioOoO我们称Z cn=(aibn+a2bn-i+ +anbi)为级数Cauchy乘积。aib3a2b3a3b3

8、aib4a2b4a3b4a2b1a2b2a2b3/a3bia3b2a3b3/a2b4a3b4a3bia3b2dn= aibn+ a2bn+ + anbn+ anbn-1 + + anbi则级数dn称为级数E an与Z bn按正方形排列所得的乘积.定理10.20如果级数an与，bn均收敛，则按正方形排序所得的乘积级数Z dn总是收敛的，且dk=（ ak）（Z bk）证明：因为Sn=dk= (aibk+ a2bk+ , , + akbk+a2bk-i+.+akbi)k=1k=1=(ak)(-bk)k=1 k=1a b=SnSn其中s；与s*分另U为an与bn的部分和，当记 |也、；=$二|imS*

9、=sb有imdn=sasbQQQQQQQQ所以级数Z dn收敛，且Z dn=(an)(Zbn).但是两个收敛级数的Cauchy乘积却不一定是收敛的。. 二 二（-1）n 1-二 二（-1）n 1例如Z an=匕卜与Z bn=，（1nnn2伯、1cn=（一广由而显然壬i_i = LJi伸2n2这两个级数显然都是收敛，但它们的Cauchy乘积的一般项从而.：1i1I j =n 1. iji j =n Tn 12nn 1定理10.21如果级数Z an与;bn都绝对收敛，则它们的Cauchy乘积Z cn和正方形排列所得的乘积 dn都是绝对收敛的，且=(an)(bn)n证明：设sn=Z |ck|k日n=

10、|abk+a2bk/+ . , +akb|kTnn土(|)(|bk|)k日k WK |ak|)(|bk|)k日k=1QQ由正项级数W|ck|的部分和数列有界知绝对收敛级数有交换律和结合律。0同理可证， dn绝对收敛n d所以limcnn、，、：、手0,故！cn发散.nQQs |ck|收敛,乂因为所以 /ndn=Can)Cbn).我们可以将上定理的条件适当放宽定理10.22 ( Mertens)设级数z an绝对收敛，级数如收敛,记则它们的Cauchy乘积z cn也收敛，且cn=AB证明：记An=ak, Bn=bkk日k=1Cn=(aibn+a2bn-i+ +anbi)n前n项部分和sn=(a1

11、bk+a2bk-1+ +akb1)k=1=a1Bn+a2Bn-1+ +anB1当令Pn=B- Bn时，(n=1,2,)sn=a1Bn+a2Bn-1+anB1=a1(B - %)+a2(B -九如+ +an(B - %)=AnB - (an+an+ +an)=AnB - Rn下面我们估计Rn= a0n+a2，z+ -+a1因为序列Pk趋于0,可设|：k|M, -k N取k充分大使0an=A,n=1o0 bn=Bn这里DT an|.n=1再取m充分大,使5!kl2M，于是当N充分大时，对上面取定的m有|Rn*(|ai|Kn|+禹|听刑l)+(|am+llFn5|+|引七|) :从而limSn = 1叽AnB = AB.证毕 定理10.23（ Abel定理）设级数:an与!bn都收敛，且;an=A,OQQQQQ bn=B, Cn是它们的Cauchy乘积，如果Eq收敛，其和为c,则必有cB证明：在数列极限理论中，我们已经证明如lim An=A,lim Bn=B,limcn=c,贝Un n nr：n当记Sn = cn时,k 41 /所以c=limsnnnk日=lim! A1Bn+A2Bn-1+ +AnB1n、二n=AB.limn 1gJBn1nSB习题10.41、设级数Z an与bn均绝对收敛，则它们的任意排序方法（除了对角线方法与正方