概率论与数理统计及其应用课后答案浙江大学盛骤版

1、概率论与数理统计及其应用习题解答1第1章随机变量及其概率1,写出下列试验的样本空间：(1)连续投掷一颗骰子直至6个结果中有一个结果出现两次，记录投掷的次数。(2)连续投掷一颗骰子直至6个结果中有一个结果接连出现两次，记录投掷的次数。(3)连续投掷一枚硬币直至正面出现，观察正反面出现的情况。(4)抛一枚硬币，若出现H则再抛一次；若出现T,则再抛一颗骰子，观察出现的各种结果。解：(1) S =2,3,4,5,6,7 ; (2) S =2,3,4, ; (3) S=H,TH ,TTH ,TTTH，;(4)S=HH ,HT,T1,T2,T3,T4,T5,T6。2,设A,B是两个事件，已知P(A) =0

2、.25, P(B) = 0.5, P(AB) =0.125,求P(Au B), P(AB), P(AB), P(Au B)(AB)。解:P(Au B) = P(A) + P(B) -P(AB) =0.625 ,P(AB) =P(S-A)B = P(B)-P(AB) =0.375,P(AB) =1 -P(AB) -0.875 ,P(A B)(AB) = P( A _ B)(S - AB) = P(A B) - P( A B)( AB) = 0.625 - P(AB) = 0.5概率论与数理统计及其应用习题解答23,在100, 101,，999这900个3位数中，任取一个3位数，求不包含数字1个概

3、率。概率论与数理统计及其应用习题解答3解：在100, 101,，999这900个3位数中不包含数字1的3位数的个数为8x9x9 = 648,所以所求得概率为4,在仅由数字0, 1, 2, 3, 4, 5组成且每个数字之多出现一次的全体三位数中，任取一个三位数。(1)求该数是奇数的概率；(2)求该 数大于330的概率。解：仅由数字0, 1, 2, 3, 4, 5组成且每个数字之多出现一次的全体三位数的个数有5乂53 = 100个。(1)该数是奇数的可能个数为4 33=48个，所以出现奇数的概率为(2)该数大于330的可能个数为2x4+5x4+5x4 = 48,所以该数大于330的概率为5,袋中有

4、5只白球，4只红球，3只黑球，在其中任取4只，求下列 事件的概率。(1) 4只中恰有2只白球，1只红球，1只黑球。(2) 4只中至少有2只红球。(3) 4只中没有白球。648900= 0.7248100= 0.4848100= 0.48概率论与数理统计及其应用习题解答4C：C； C：C； C：20167C12=495 =165(3)所求概率为CL竺C：2495 1656,一公司向M个销售点分发n(nM)张提货单，设每张提货单分发给 每一销售点是等可能的，每一销售点得到的提货单不限，求其中某一 特定的销售点得到k(kn)张提货单的概率。解：根据题意，n(nM)张提货单分发给M个销售点的总的可能分

5、法有Mn种，某一特定的销售点得到k(kn)张提货单的可能分法有Ck(M -1)nA种，所以某一特定的销售点得到k(kn)张提货单的概率为kn _kCn(M -1)-o7,将3只球(13号)随机地放入3只盒子(13号)中，一只盒子装一只球。若一只球装入与球同号的盒子，称为一个配对。(1)求3只球至少有1只配对的概率。(2)求没有配对的概率。解：根据题意，将3只球随机地放入3只盒子的总的放法有3! =6种：123, 132, 213, 231, 312, 321;没有1只配对的放法有2种：312, 231。至少有1只配对的放法当然就有6-2=4种。所以(2)没有配对的概率为2=】；63(1)至少有

6、1只配对的概率为1-】=2。(1)所求概率为C；C4C；C4233(2)所求概率为概率论与数理统计及其应用习题解答53 3概率论与数理统计及其应用习题解答68, (1)设P(A) =0.5, P(B)=0.3, P(AB) = 0.1,求P(A | B), P(B | A), P(A | Au B),P(AB|A B), P(A| AB).(2)袋中有6只白球，5只红球，每次在袋中任取1只球，若取到白球，放回，并放入1只白球；若取到红球不放回也不放入另外的球。连续取球4次，求第一、二次取到白球且第三、四次取到红球的概率。解：(1)由题意可得P(A=B)=P(A)+P(B)P(AB) = 0.7

7、,所以P(A| B) =P(AB)=里=p(B | A)=P(B) 0.33P(AB) 0.1P(A) 0.5 5 P(A|A_. B)=PA(A-B)=q*P(A B) P(A B) 7P(AB|A_. B) =PAB(A-B)P(A B) P(A_. B) 7P(AB)1,P(A|AB) = P=P=1P(AB) P(AB)(2)设A(i=1,2,3,4)表示“第i次取到白球”这一事件，而取到红球可以用它的补来表示。那么第一、二次取到白球且第三、四次取到红球可以表示为A1A2A3瓦，它的概率为(根据乘法公式)P(&A2A3A4) =P(A)P(A | A)P(A3| AA2)P(A

8、4MA2A3)6 754840乂乂 乂=- =0.0408。11 12 13 12 205929,一只盒子装有2只白球，2只红球，在盒中取球两次，每次任取一只，做不放回抽样，已知得到的两只球中至少有一只是红球，求另一只也是红球的概率。解：设“得到的两只球中至少有一只是红球”记为事件A ,“另一只概率论与数理统计及其应用习题解答7概率论与数理统计及其应用习题解答8也是红球”记为事件B。则事件A的概率为_ 一22 215.P(A)=2x 尺一+ 乂=(先红后白，先白后红，先红后红)43 4 3 6所求概率为2 1X P(B|A)=P(AB)4 31P(A)10,一医生根据以往的资料得到下面的讯息，

9、他的病人中有5%的人 以为白己患癌症，且确实患癌症；有45%的人以为白己患癌症，但实 际上未患癌症；有10%的人以为白己未患癌症，但确实患了癌症；最 后40%的人以为白己未患癌症，且确实未患癌症。以A表示事件“一 病人以为白己患癌症”，以B表示事件“病人确实患了癌症”，求下列 概率。(1) P(A),P(B) ; (2) P(B|A) ; (3) P(B|A); (4) P(A|B)；(5) P(A|B)。解：(1)根据题意可得P(A) = P(AB) P(AB) = 5% 45% = 50% ；P(B) = P(BA) P(BA) = 5% 10% = 15% ;(2)根据条件概率公式：P(

10、B | A) =P(AB)=5% =0.1；P(A) 50%P(AB) 45%(4)P(A|B):P(B)1-15%(3)P(B|A)P(BA)P(A)10%- =0.2 ；1-50%(5) P(A|B)P(AB)P(B)5% =115%3概率论与数理统计及其应用习题解答911,在11张卡片上分别写上engineering这11个字母，从中任意连抽6张，求依次排列结果为ginger的概率。解：根据题意，这11个字母中共有2个g, 2个i, 3个n, 3个e, 1个r。从中任意连抽6张，由独立性，第一次必须从这11张中抽出2个g中的任意一张来，概率为2/11；第二次必须从剩余的10张中抽出2个i

11、中的任意一张来，概率为2/10;类似地，可以得到6次抽取的概率。最后要求的概率为12,据统计，对于某一种疾病的两种症状：症状A、症状B,有20%的人只有症状A ,有30%的人只有症状B，有10%的人两种症状都有,其他的人两种症状都没有。在患这种病的人群中随机地选一人，求(1)该人两种症状都没有的概率;(2)该人至少有一种症状的概率;(3)已知该人有症状B,求该人有两种症状的概率。解：(1)根据题意，有40%的人两种症状都没有，所以该人两种症状 都没有的概率为 1-20%-30%-10% =40%;(2)至少有一种症状的概率为1 -40% =60% ;(3)已知该人有症状B,表明该人属于由只有症

12、状B的30%人群或者两种症状都有的10%的人群，总的概率为30%+10%=40%,所以在 已知该人有症状B的条件下该人有两种症状的概率为30%+10% 413,一在线计算机系统，有4条输入通讯线，其性质如下表，求一随 机选2 3 3 13 1=箜.或者c2c2c3c；c3c11111 10 9 8 7 63326409240 A61- O924010%1概率论与数理统计及其应用习题解答10择的进入讯号无误差地被接受的概率。通讯线通讯量的份额无误差的讯息的份额10.420.330.140.20.99980.99990.99970.9996解：设“讯号通过通讯线i进入计算机系统”记为事件A (i

13、=1,23,4),“进入讯号被无误差地接受”记为事件B。 则根据全概率公式有P(B) P(A)P(B | Ai) =0.4 0.9998 0.3 0.9999 0.1 0.9997 0.2 0.9996i 4=0.9997814,一种用来检验50岁以上的人是否患有关节炎的检验法，对于确 实患关节炎的病人有85%的给出了正确的结果； 而对于已知未患关节 炎的人有4%会认为他患关节炎。已知人群中有10%的人患有关节炎， 问一名被检验者经检验，认为他没有关节炎，而他却有关节炎的概率。 解：设“一名被检验者经检验认为患有关节炎”记为事件A,“一名被检验者确实患有关节炎”记为事件B。根据全概率公式有P(

14、A) =P(B)P(A|B) +P(B)P(A|B)=10%X85%+90%K4% = 12.1% ,所以，根据条件概率得到所要求的概率为P(B | A)=理=P(B)P(A|B)=10%(85%) = 17.06%1-12.1%即一名被检验者经检验认为没有关节炎而实际却有关节炎的概率为17.06%.P(A)1 - P(A)概率论与数理统计及其应用习题解答1115,计算机中心有三台打字机A,B,C,程序交与各打字机打字的概率 依次为0.6, 0.3, 0.1,打字机发生故障的概率依次为0.01, 0.05, 0.04。已知一程序因打字机发生故障而被破坏了，求该程序是在A,B,C上打字的概率分别

15、为多少？解：设“程序因打字机发生故障而被破坏”记为事件M, “程序在A,B,C三台打字机上打字”分别记为事件NI,N2,N3。则根据全概率公式有P(M)= P(Ni)P(M 1)=0.6x0.01 +0.3x0.05 +0.1x 0.04 =0.025,i 4根据Bayes公式，该程序是在A,B,C上打字的概率分别为P(N3)P(M|N3)0.1 0.04P(N3| M )=-0.02516,在通讯网络中装有密码钥匙，设全部收到的讯息中有95%是可信 的。又设全部不可信的讯息中只有0.1%是使用密码钥匙传送的，而 全部可信讯息是使用密码钥匙传送的。 求由密码钥匙传送的一讯息是 可信讯息的概率。

16、解：设“一讯息是由密码钥匙传送的”记为事件A ,“一讯息是可信的”记为事件B。根据Bayes公式，所要求的概率为P(N1| M )=P(NI)P(M |NI)P(M )0.6 0.010.025= 0.24P(N2| M )=P(N2)P(M|N2)P(M )0.3 0.050.025=0.60P(M )概率论与数理统计及其应用习题解答12P(B | A)=P(AB)P(A)P(B)P(A| B) _95% 1P(B)P(A| B) P(B)P(A| B) 95% 1 5% 0.1%= 99.9947%概率论与数理统计及其应用习题解答1317,将一枚硬币抛两次，以A,B,C分别记事件“第一次得

17、H”，“第二 次得H”，“两次得同一面”。试验证A和B,B和C,C和A分别相 互独立(两两独立)，但A,B,C不是相互独立。解：根据题意，求出以下概率为1111P(C)=-2 2 2 2所以有P(AB) = P(A)P(B) , P(AC) = P(A)P(C) , P(BC) = P(B)P(C)。即表明A和B, B和C, C和A两两独立。但是P(ABC) = P(A)P(B)P(C)所以A,B,C不是相互独立18,设A,B,C三个运动员白离球门25码处踢进球的概率依次为0.5,0.7, 0.6,设A,B,C各在离球门25码处踢一球，设各人进球与否相互 独立，求(1)恰有一人进球的概率；(2

18、)恰有二人进球的概率；(3)至少有一人进球的概率。解：设“A,B,C进球”分别记为事件Nj(i=1,2,3)。(1)设恰有一人进球的概率为P1,则P =PN1N2N3) PNIN2N3 P NIN2N3= P(NI)P(N2)P(N3P(NI)P(N2)P(N3P(NI)P(N2)P(N3)(由独立性)= 0.5 0.3 0.4 0.5 0.7 0.4 0.5 0.3 0.6 = 0.29(2)设恰有二人进球的概率为P2,则P(AB)=;，11P(BC) = P(CA)= 21P(ABC) = 2概率论与数理统计及其应用习题解答14P2=PN1N2N3) PNNN3 N1N2N3= P(NI)

19、P(N2)P(N3)十P(Nl)P(N2)P(N3)+P(Ni)P(N2)P(N3)(由独立性)= 0.5 0.7 0.4 0.5 0.7 0.6 0.5 0.3 0.6= 0.44(3)设至少有一人进球的概率为P3,则p3=1?巨项3 =1- P(N1)P(N2)P(N3) =1 -0.5X0.3X0.4 =0.94。19,有一危重病人，仅当在10分钟之内能有一供血者供给足量的A-RH+血才能得救。设化验一位供血者的血型需要2分钟，将所需的 血全部输入病人体内需要2分钟，医院只有一套验血型的设备，且供 血者仅有40%的人具有该型血，各人具有什么血型相互独立。求病人 能得救的概率。解：根据题意

20、，医院最多可以验血型4次，也就是说最迟可以第4个 人才验出是A-RH+型血。问题转化为最迟第4个人才验出是A-RH+ 型血的概率是多少？因为第一次就检验出该型血的概率为0.4;第二次才检验出该型血的概率为0.6乂0.4=0.24;第三次才检验出该型血的概率为0.62x 0.4=0.144;第四次才检验出该型血的概率为0.63乂0.4=0.0864;所以病人得救的概率为0.4+0.24+0.144+0.0864=0.8704概率论与数理统计及其应用习题解答1520,一元件（或系统）能正常工作的概率称为元件（或系统）的可靠 性。如图设有5个独立工作的元件1, 2, 3, 4, 5按先串联再并联的方

21、式连接，设元件的可靠性均为P,试求系统的可靠性。解：设“元件i能够正常工作”记为事件A(i=1,2,3,4,5)那么系统的可靠性为P(AA2)_.(&)_. (A4A5) =P(AA2)P(A3)P(A4A5)-P(AA2A)-P(AA2A4A5)-P(AAA5)P(A代A3A4A5) = P(A)P(A2) P(AOP(A4)P(A5)-P(A)P(A2)P(A3)-P(A)P(A2)P(A4)P(A5)-P(A3)P(A4)P(A) P(A)P(A2)P(A3)P(A)P(A5)223435=p ppp_p_p p=p 2p2_2p3_ p4p521,用一种检验法检测产品中是否含有

22、某种杂质的效果如下。若真含有杂质检验结果为含有的概率为0.8;若真不含有杂质检验结果为不 含有的概率为0.9,据以往的资料知一产品真含有杂质或真不含有杂 质的概率分别为0.4, 0.6。今独立地对一产品进行了3次检验，结果 是2次检验认为含有杂质，而一次检验认为不含有杂质，求此产品真含有杂质的概率。（注：本题较难，灵活应用全概率公式和Bayes公式）解：设“一产品真含有杂质”记为事件A ,“对一产品进行3次检验, 结果是2次检验认为含有杂质，而1次检验认为不含有杂质”记为事 件B。则要求的概率为P（A| B），根据Bayes公式可得P(A)P(B | A)P(A| B)=12第20概率论与数理

23、统计及其应用习题解答16P(A)P(B | A) P(A)P(B | A)概率论与数理统计及其应用习题解答17又设“产品被检出含有杂质”记为事件C,根据题意有P(A) = 0.4,而且P(C|A)=0.8 , P(C|A)=0.9,所以(第1章习题解答完毕)随机变量及其分布1,设在某一人群中有40%的人血型是A型，现在在人群中随机地选人来验血，直至发现血型是A型的人为止，以Y记进行验血的次数，求Y的分布律。解：显然，Y是一个离散型的随机变量，Y取k表明第k个人是A型血而前k1个人都不是A型血，因此有PY =k =0.4 x(10.4)k=0.4x0.6k，( k= 1,2,3，)上式就是随机变

24、量Y的分布律(这是一个几何分布)。P(B| A) =C；x0.82x(10.8)=0.384;P(B | A) = C； (1 - 0.9)20.9 = 0.027故,P(A|B)P(A)P(B | A)_P(A)P(B | A) P(A)P(B | A)0.4 0.3840.4 0.384 0.6 0.0270.15360.1698= 0.9046X X0 01 12 2PX =k0.0720.5120.4163,据信有20%的美国人没有任何健康保险， 现任意抽查15个美 国人，以X表示15个人中无任何健康保险的人数(设各人是概率论与数理统计及其应用习题解答18否有健康保险相互独立)。问X服

25、从什么分布？写出分布律。并求下列情况下无任何健康保险的概率：(1)恰有3人；(2)至少有2人；(3)不少于1人且不多于3人；(4)多于5人。解：根据题意，随机变量X服从二项分布B(15, 0.2),分布律为p(x = k)=勇x0.2kX0.815。k = 0,1,2,15。(i)P(X =3) =C；5x 0.2% 0.812= 0.2501, P(X芝2) =1 - P(X =1) - P(X =0)= 0.8329；(3)P(1主X3) = P(X =1)十P(X =2)十P(X =3) = 0.6129；(4)P(X5)=1-P(X =5)-P(X =4)-P(X =3)- P(X =

26、 2)-P(X =1) -P(X =0) =0.06114,设有一由n个元件组成的系统，记为k/nG，这一系统的运行方式是当且仅当n个元件中至少有k (0 15(2)已知随机变量X兀(7、)，且有PX 0 =0.5，求PX芝2。解：(1)PX 15 =1 PX15 =1 0.9513 =0.0487；:(8000 0.001)ke000 0.001k Wk!6=xk =0k -88 ek!= 0.3134(查表得)概率论与数理统计及其应用习题解答19(2)根据pxC =1 PX = q =1e = 0.5，得到兀=In 2。所以PX _2 =1 -PX =0 -PX =1 =1 -0.5 -

27、e =(1-ln 2)/2： 0.1534乙一电话公司有5名讯息员，各人在t分钟内收到讯息的次数XJi(2t)(设各人收到讯息与否相互独立)。(1)求在一给定的一分钟内第一个讯息员未收到讯息的概率。(2)求在给定的一分钟内5个讯息员恰有4人未收到讯息的概率。(3)写出在一给定的一分钟内，所有5个讯息员收到相同次数的讯息的概率。解：在给定的一分钟内，任意一个讯息员收到讯息的次数X兀(2)。(1)PX =0 =e 0.1353；(2)设在给定的一分钟内5个讯息员中没有收到讯息的讯息员人数用Y表示，则Y B(5, 0.1353),所以PY = 4 = C；0.13534x (1 - 0.1353)

28、= 0.00145。(3)每个人收到的讯息次数相同的概率为8,一教授当下课铃打响时，他还不结束讲解。他常结束他的讲解在铃响后的一分钟以内，以X表示铃响kx0壬x 11至结束讲解的时间。设X的概率密度为f(x)=廿/t, (1)确定k；(2)求PX壬一；0其他3112(3)求P( ; (4)求PX A 。423:1解：()根据1 =f (x)dx = kx2dx =，得到k = 3;_：03(2)1PX胃1271/23(3)PWX1 = J3x2dx = l421；4Q)64(4) PX 2313x2dx =1 -2/319271 /3=3x2dx0概率论与数理统计及其应用习题解答20有实根的概

29、率。f20.003x29,设随机变量X的概率密度为f (x)=0三x三102川,t，求t的方程t +2Xt+5X4 = 0其他概率论与数理统计及其应用习题解答21解：方程t1 2+2Xt +5X 4 = 0有实根表明A =4X24(5X 4)芝0，即X25X +4芝0 ,从而要求X芝4或者X 1 o因为PX1= J0.003x2dx= 0.001, PX N4=卬.003x2dx = 0.93604所以方程有实根的概率为0.001+0.936=0.937.10,设产品的寿命X（以周计）服从瑞利分布，其概率密度为x_x2/200f (x)= 100 e0（1）求寿命不到一周的概率；（2）求寿命超

30、过一年的概率；（3）已知它的寿命超过20周，求寿命超过26周的条件概率。1解：（1）PX 52 = J-e“2/200dx = eq704/2002.000001;52100某种化学反应在温度X 1时才能发生，求在实验室中这种化学反应发生的概率。在10个不同的实验室中，各实验室中这种化学反应是否会发生时相互独立的，以 验室中有这种化学反应的实验室的个数，求Y的分布律。概率论与数理统计及其应用习题解答2211,设实验室的温度X（以C计）为随机变量，其概率密度为1(4_x2)Tx2f(E9(4用其他PX X=：(4-x2)dx =；192 75、（2）根据题意Y B（10,），所以其分布律为27(

31、3) PXA26X 20=P X26P( X20-bex-x2/200 ,e dx26100-hox42/200 .e dx20100-276/200=e由0.25158。(3)求PY =2 , PX芝2。(1)(2)Y表示10个实解：（1）概率论与数理统计及其应用习题解答23P(Y H) =1 P(Y=0) P(Y =1) = 0.5778。12, (1)设随机变量Y的概率密度为0.2f (y) = 0.5|Y 0.1(2)设随机变量X的概率密度为1/80 x2f(x) = x/8 2三x三40其他求分布函数F(x),并求P1 Mx3 , PX占1|X301C0.2dy + J(0.2+Cy

32、)dy = 0.4 + ，得到C =1.2。4020yf0.2dyy0 MF(y)= f(y)dy0.2dy+ 02+1.2y)dy-40010.2dy+(0.2+1.2y)dy-j00y 10.2(y+1)-仕y020.6y20.2y 0.20 y : 11y -1P0壬Y壬0.5 =PY壬0.5 PY0 = F(0.5) F(0) =0.45 0.2 = 0.25 ;kP(Y = k) = C10I0_k22)如)k = 0,1,2, 10.、2(5、222 fP(Y = 2) = C10 xX(3)= 0.2998,-be解：(1)根据1 = f f (y) dy-COy ： -1-1壬

33、y ：00 y : 1y -1概率论与数理统计及其应用习题解答24P1壬x3 =F (3) F (1)=9/161/8=7/16；13,在集合A=1,2,3, .,n中取数两次，每次任取一数，作不放回抽样，以X表示第一次取到的数，以Y表示第二次取到的数，求X和Y的联合分布律。并用表格形式写出当n=3时X和Y的联合分布律。解：根据题意，取两次且不放回抽样的总可能数为n(n-1),因此,、1PX =i,Y = j =-, (i,j，且1去i,jn)n(n -1),. 1.当n取3时，PX =i,Y = j= , (i,j，且1玄i,j3)，表格形式为6%12310 01/61/61/61/621/

34、61/60 01/61/631/61/61/61/60 014,设一加油站有两套用来加油的设备，设备A是加油站的工作人员操作的，设备B是有顾客自己操作的。A , B均有两个加油管。随机取一时刻，A, B正在使用的软管根数分别记为X , Y,它们的联合分布律为01200.100.100.080.080.060.0610.040.040.200.200.140.1420.020.020.060.060.300.30P(Y 0.5|Y0.1PY . 0.5PY 0.11-PY 0.51-F(0.5)1-0.45-=- =-=0.71061 - F(0.1)1-0.2261 - PY壬0.1(2)0

35、x1 dx0821xxdx -dx0828241xdx dx0828x : 00三x：22 x ：4x _ 40 x/8x1 2 3/161x00 x ：22：4x _ 4PX _ 1| X 3=P 1X 3PX 3F(3)-F(1)F(3)= 7/9。概率论与数理统计及其应用习题解答25P(X 1,Y 1)=0.1+0.08+0.04+0.2=0.42(2)至少有一根软管在使用的概率为P(X Y _1) =1 -PX =0,Y = 0) =1 - 0.1 = 0.9(3)PX =Y) = PX =Y =0) +PX =Y =1) + PX =Y = 2)=0.1+0.2+0.3=0.6PX

36、Y =2) =PX =0,Y =2) PX =1,Y =1) P X = 2,Y = 0) = 0.2815,设随机变量(X , Y)的联合概率密度为解：根据f (x, y)dxdy =1,可得x 0,y 0-be -be1 = f (x, y)dxdy = dx Ce42x 4y)x 0,y 000所以C =8。 -be -be-be-bePX2) = Hf(x, y)dxdy= dx f8e42x44y)d J2exdx J4e*dy = e，；x 22020P X Y) = f(x,y)dxdy= dx 8e2x 4y)dy = 2exdx 4eydy = 2ex( ex)dxx y00

37、0001 1 -x11 -xPX +Y 2) , PXY),PX + Y 1)。dy = C exdx eWydy=C086, (x,yG、0,其他概率论与数理统计及其应用习题解答26-bo(3)PYN1|X =0.5=“Y|X(y|x119, (1)在第14题中求在X =0的条件下Y的条件分布律；在Y =1的条件下X-be fX(x) = f f(x,y)dy =x226dy =3x, 0：x: 1x2/20,18,设(1)(2)(3)40fY(y) = f(x, y)dx =2yJ6dx,-1J6dx,0,0 :： y :： 0.56(,2y-., y),=6(1-.,y),0,0： ：

38、： y ： ： ：0.50.5 ：y ： 1X,Y是两个随机变量，它们的联合概率密度为f(x, y)=0,x 0, y 0其他解：(1)求(X ,Y)关于X的边缘概率密度fx(X)；求条件概率密度fY|X(y |x)，写出当x = 0.5时的条件概率密度;求条件概率PY Z1|X =0.5。-HefX(X)=Jf(x,y)dy = F 32乌ey)dy土广x 00,其他(2)当XA0时,fYiX(y I x)f(x,y)fX(x)xe*, y00,其他特别地，当x =0.5时fYiX(y |x= o.5)=；0.5e43.5y0,y 0其他七= 0.5)dy = 0.5e5ydy =e“5的条

39、件分布律。概率论与数理统计及其应用习题解答27 在16题中求条件概率密度fY|X(y|x)，fX|Y(x|y)，fX|Y(x|0.5)。概率论与数理统计及其应用习题解答281当y =0.5时，fXY(x| y) = * J05,0,20,设随机变量(X , Y)在由曲线y=x2,y = /x所围成的区域G均匀分布。(1)写出(X , Y)的概率密度；(2)求边缘概率密度fX(x),fY(y)；(3)求条件概率密度fY|X(y|x)，并写出当x=0.5时的条件概率密度。Y0 01 12 2PY|X =05/121/31/4类似地，在Y =1的条件下X的条件分彳亍律为X0 01 12 2PX |Y

40、 =14/1710/173/17为W6，得到在X=。的条件下Y的条件分布律PX =0解：(1)根据公式PY= i | X = 0=、6(2)因为f (x, y) = %(X, y) G其他x2fX(x)二 /黑逐.0,0 x 1、；fY(y)=其他戒药项),6(1-加)，0,0 ： ：y .0.50.5 y 1。其他f (x y)2所以，当0 x 1时，fY|X(y | x) =( , y)fx(X)x；0,/2y其2:X当0y0.5时，fXY(x| y) =f(X, y)fY(y)=.2y - y,0, y : x ： J2y其他当0.5yE,fXY(x|y)f (x, y)一fY(y)=*

41、 1 -Jy,0,其他-0.5 : x : 1其他概率论与数理统计及其应用习题解答29解：(1)根据题意，(X,丫)的概率密度f(x, y)必定是一常数，故由U f(x,y)dxdy = Jdx仃(x, y)dy =1 f (x, y),得到f (x,y)=3概率论与数理统计及其应用习题解答30Gox23g(x,y) G其他(2) xfx(x)= Jf(x,y)dy=23dyVx20,=3( . x -x2),0 ：x ：1其他hofY(y) = f (x, y)dxJ3dx, 0y1y2o,其他3(,y-y2),0：y 10,其他(3)当0 x 1时,fYix(y |x)=其他特别地，当x=

42、0.5时的条件概率密度为4fY|x(y10.5) = 22 -1 0,1/4：y： 、2/2其他21,设(X ,Y)是二维随机变量，X的概率密度为fx；，.0,0 ： x ： 2且当x =x(0 x 2)时Y的条件概率密度为1 +xyfYix(y|x)= +x/2，0 ： ：y： ：1其他(1)求(x,Y)联合概率密度；(2)求(x ,Y)关于Y的边缘概率密度；(3)求在Y = y的条件下x的条件概率密度fx|Y(x| y)f(x,y) fx(x)x2：y：.x概率论与数理统计及其应用习题解答3122, (1)设一离散型随机变量的分布律为Y-1-10 01 1PkQ1 -0e22又设丫1,丫2

43、是两个相互独立的随机变量，且丫，丫2都与Y有相同的分布律。求丫，丫2的联合分布律。并求PY1 *2。(2)问在14题中X ,Y是否相互独立?解：(1)由相互独立性，可得Y,丫2的联合分布律为P丫1= i,* = j = PY1= iPY2= j，i, j = -1,0,1结果写成表格为2-101-102/48(1 -8)/202/408(1顼)/2(1顼)28(1顼)/2102/48(1 -8)/202/4PV =Y2 =PY =Y2=-1 +PV =Y2=0 +PY =Y2=1 =(1-6)2+2/2(2) 14题中，求出边缘分布律为012PX =i00.100.100.080.080.06

44、0.060.240.241 + xy解：(1)f(x, y) = fx(x) fy|x(y | x) = 300 : x : 2, 0 y :：:1其他bo(2)fY(y)=f(x, y)dx = 0213%(1y) 00:y : 1其他(3)当0 y 1时,fx|Y(x| y)=f(x,y)fY(y)1 + xy=2(1 + y)0，0 ： x ： 2其他概率论与数理统计及其应用习题解答3210.040.040.200.200.140.140.380.3820.020.020.060.060.300.300.380.38概率论与数理统计及其应用习题解答33PY=j0.160.160.340.

45、340.500.501 1很显然，P X = 0,Y =0孝P X = 0PY = 0，所以X,Y不是相互独立23,设X,Y是两个相互独立的随机变量，X U (0,1) , Y的概率密度为,8y 0y1/2fY(y0其他J试写出X,Y的联合概率密度，并求PXAY。解：根据题意，X的概率密度为ri 0 xi0其他所以根据独立定，X ,Y的联合概率密度为”8yf (x, y) = fX(x) fY(y) =024,设随机变量X具有分布律X-2-2-1-10 01 13 3Pk1/51/61/51/1511/30，、一 一 -2求Y =X +1的分布律。解：根据定义立刻得到分布律为Y1 12 25

46、51010Pk1/57/301/511/3025,设随机变量X N(0,1)，求U = X的概率密度。解：设X,U的概率密度分别为fX(x), fU(u) , U的分布函数为FU(u)。则当uM0时，FU(u) =PU Mu = PX壬u =0,%何)=0;当u0时，FU(u) =PU、u =PX 0时，FY(y) =PY至y =PJX至y =PXy2 = FX(y2),fY(y) = FY(y)l =2yfX(y2) =2ye&因为FY(y) =PYy =P(X +1)/2y =PX三2y1 = FX(2y 1),故，fY(y) = FY(y)】=2 fX(2y -1) = 1, -

47、1 2y -1 1,(3)当y A0时，FY(y)=PY y =PX2My = Pjy MX壬而= (y)-n(-y) =2：、(y) -1,所以,fY(y) =*10 ： y1其他fu(u) = FU(u)1= 2fx(u)Ne项/2所以,fu(u)= 2eKJI0u 0U 026, (1)设随机变量X的概率密度为f(x)=_xex 0其(2)设随机变量X U(1,1),=(X +1)/ 2的概率密度。(3)所以,fY(y)=j2ye0y 0y 0此时fX(x)=1/20- 1 ： x :1其他概率论与数理统计及其应用习题解答35故，fY(y)=扯丫=2fx(jV)- =疽/22,y 2y2

48、r一-_21 e-y/2所以，fY(y) =2 y0y 0其他27,设一圆的半径X是随机变量,其概率密度为f(x)=(3x 1)/800 x2其他求圆面积A的概率密度。2. .解：回面积A=以，设其概率密度和分布函数分别为g(y),G(y)。则G(y) = PTIX2玄y =PX弓、：7) =FX(V7),故1- 13、y房.汶3 y -g(y)=G(y)2y ESy8、.二=16、y ,0y/：23、y.二所以，gD 16HJ00 . y : 4 :其他28,设随机变量X,Y相互独立，且都服从正态分布N(0,b2)，验证Z =JX2+Y2的概率密度为危(2二-2)fZ(z) =；*ez 0其

49、他解：因为随机变量X,Y相互独立，所以它们的联合概率密度为f (x,y)=22 e2；2先求分布函数，当z A0时，FZ(Z) =PZ2 =PX2Y2z2= f (x, y)dxdy =x2y2*概率论与数理统计及其应用习题解答36；e2- rdr = 1 - e02二2二z1小概率论与数理统计及其应用习题解答37,三z2/(2二2)故，fZ(z)=FZ(z)=二-20. .、129,设随机变量X U (1,1)，随机变量Y具有概率密度fY(y) =-2- ,一 y危，二(1 y )设X,Y相互独立，求Z = X +Y的概率密度。11/2 1x0 ,X,Y相互独立。求Z = X + Y的概率密

50、度。解：根据卷积公式，得zfZ(z)=Y(y)fx(z- y)dy = .3yezdy =3_2 -ze , z 0。所以Z = X十Y的概率密度为fY(y)=fn 3/_2 -?zz e120其他31,设随机变量X,Y都在(0,1)上服从均匀分布，且X,Y相互独立，求Z解：因为X,Y都在(0,1)上服从均匀分布，所以X + Y的概率密度。fx(x)1 0 x 1其他fY(y)i0 ：x : 1其他概率论与数理统计及其应用习题解答38_l乂fZ(z) = fY(y)fx(z -y)dy =11dy,z4 z1dy,00,z -1其他2-z,z,0,0土z：1其他概率论与数理统计及其应用习题解答

51、39(1)(2)(3)解：(i)3-e ,f(x, y) = 20,求边缘概率密度fx(x),fY(y)。求Z =maxX,Y的分布函数。求概率P1/2 Z S。fx(x)Jf(x,y)dy顼3必x/2dy=o0, 3xJ3e/2dx, 0y、2松0fY(y) = Jf (x,y)dx=1/2,0,(2)Z =maxX,Y的分布函数为FZ=PZ z = Pmax X, Y三z = P X z,Y三z = PX z PY三z = Fx(z)FY(z)因为FX(x)=，0 y 0FY(y)=y/2 0壬y壬21 yA20,z 0所以，FZ(z) =FX(z)FY(z) = K(1ez) 0苴z22

52、nz_11 _31 _3 / 2(3) P1/2 Z1 =FZ(1) FZ(1/2) = e十e。4 2433, (1)一条绳子长为2l ,将它随机地分为两段，以X表示短的一段的长度，写出X的概率密度。(2)两条绳子长度均为2l ,将它们独立地各自分成两段，以Y表示四段绳子中最短的一段的长度，验证Y的概率密度为”2(l - y)/l2, 0 y lfY(y)=，。0,其他32,设随机变量X,Y相互独立，它们的联合概率密度为概率论与数理统计及其应用习题解答40解：(1)根据题意，随机变量X U(0,l),所以概率密度为Xi, X2，则它们都在(0,1)上服从均匀分布Y = min X1, X2,

53、其分布函数为FY(y) =1 1 Fx1(y)】1 Fx2(y)】=l (1 y)2, 0 y 1,所以密度函数为2_2(1 - y)/1 , 0 y 1一. ，一.fY(y) =(FY(y)=。0,其他34,设随机变量X和Y的联合分布律为(1)求U =max(X,Y)的分布律。(2)求V =min(X,Y)的分布律。(3)求W=X+Y的分布律。01201/121/121/61/61/241/2411/41/41/41/41/401/4021/81/81/201/200 031/1201/1200 00 0解：(1)U =max(X,Y)的分布律为PU = k = Pmax( X,Y) = k

54、 = PX = k,Y _ k PY = k,X : k, k = 0,1,2,3如，PU =2 =PX =2,Y -2 PY =2,X : 2= 1/8+1/20 +0 +1/24+1/40 = 29/120 ,其余类似。结果写成表格形式为U0 01 12 23 3Pk1/122/329/1201/120(2)V =min( X,Y)的分布律为fx(x)00 x :：:l其他(2)设这两条绳子被分成两段以后较短的那一段分别记为概率论与数理统计及其应用习题解答41P(V =k =Pmin( X,Y) =k =PX =k,Y _ k PY = k, X . k, k = 0,1,2如，PV =2

55、 =PX =2,Y *2 +PY=2,XA2 = 0+0=0,其余类似。结果写成表格形式为U0 01 1pk27/4013/40(3)W = X +Y的分布律为kPW =k =PX Y =k八PX =i,Y =k - i, k = 0,1,2,3,4,5i =02如，PW=2= PX =i,Y=2i=1/24+1/4+1/8=5/12,i=0其余类似。结果写成表格形式为W0 01 12 23 3Pk1/125/125/121/12（第2章习题解答完毕）第3章 随机变量的数字特征1,解：根据题意，有1/5的可能性取到5个单词中的任意一个。它们的字母数分别为4, 5, 6, 7, 7。所以分布律为

56、X4567Pk1/51/51/52/5_1E(X) = (4 5 6 7 7) =29/5.52,解：5个单词字母数还是4, 5, 6, 7, 7。这时，字母数更概率论与数理统计及其应用习题解答42多的单词更有可能被取到。分布律为Y4567Pk4/295/296/2914/29_ 1 ,.E(Y)=(4 4 5 5 6 6 7 14)=175/29.293,解：根据古典概率公式，取到的电视机中包含的次品数分别为0,1, 2台的概率分别为所以取到的电视机中包含的次品数的数学期望为E=Mo + -9x1+1x2 = 1 (台)。11222224,解：根据题意，有1/6的概率得分超过6,而且得分为7

57、的概率为 两个1/6的乘积(第一次6点，第2次1点)，其余类似；有5/6的概 率得分小于6。分布律为Y12345789101112Pk111111111166666363636363636得分的数学期望为-1149-E = (1+2 +3+4+5) +(7+8 + 9+10+ 11 +12)=(点)。63612p0 =Co况p1 =cl。2。cTc|c；0p2=C12122概率论与数理统计及其应用习题解答435,解：(1)根据X 叽赤)，可得PX =5= 土 J= PX =6,因5!6!此计算得到舄=6,即X(6)。所以E(X)=6概率论与数理统计及其应用习题解答44(2)根据题意，按照数学期

58、望的公式可得k二kJ66二k 11 6ln 2E(X) =，(_1)kkPX =k = (-1)心62 =：2 (-1)k =6览2，OQn因此期望存在。(利用了|n(1+x)=方(1)n台，1x”)(不符书上答案)6,解：(1)一天的平均耗水量为二二2 _x/3f、 2 _x/3E(X) = xf(x)dx=dx = -d(e顼/3) = 0dx - -2xd(e项/3)二0903030-bo=0+ J2e/3dx = 6(百万升)。0(2)这种动物的平均寿命为be-beE(X) = xdF(x) = xd(1 -5J5?dx = 10(年)5x7,解：E(X) = Jxf(x)dx=42x

59、2(1-x)5dx= J-7x2d(1-x)6】-:00=-7x2(1 - x)6111+14x(1x)6dx= f-2xd (1x)7】= 2x(1x)70012(1-x)7dx0=1/4七:i28,命军：E(X) = Jxf(x)dx =2x(1 1/x2)dx = (x22lnx)： =3 2ln2。-:19,解:E(X)03x213x2=xf(x)dx=丝(1 x)2dx重(1-x)2dx4202概率论与数理统计及其应用习题解答45概率论与数理统计及其应用习题解答46=袂(1 x)2dx+ j秘(1 x)2dx=0。i2o2(对第一个积分进行变量代换x = y )10, ft?:E(s

60、in呸)=isin2kIL=C；Xp3X(1 - p)3+C： Xp3 X(1一p)1= 4p(1 - p)(1 2p + 2p2)。(不符书上答案), 1/a, 0壬x壬a 11,解：R的概率密度函数为f(x) = %其他，所以a 33一 r 1a32=(200 584e.2)(不符书上答案)9k 八k k4 _kC4p (1 - P)13,解：因为 SWF 的分布函数为Fx：x:：00壬x1 ,所以可以x _ 1求出Y1,Yn的分布函数为0,y 0Fmin(y)=1(1y)n, 0My1,、1,y芝10,y 0Fmax(y)=yn, 0壬y1。-1,y芝1Y1,Yn的密度函数为fmin(y)n(1-y),0,n