概率论与数理统计知识点总结

1、1概率论与数理统计第一章随机事件及其概率 1.1随机事件一、给出事件描述，要求用运算关系符表示事件：二、给出事件运算关系符，要求判断其正确性： 1.2概率古典概型公式：P (A)=.A 所含样本点数J 所含样本点数实用中经常采用排列组合”的方法计算补例1:将n个球随机地放到n个盒中去，问每个盒子恰有1个球的概率是多少？解：设A:每个盒子恰有1个球”。求：P(A)=?Q所含样本点数：nn n n = nA所含样本点数：n (n - 1) (n - 2) . 1 = n!n!P(A)nn补例2:将3封信随机地放入4个信箱中，问信箱中信的封数的最大数分别为1、2、3的概率各是多少？ 解：设 Aj :

2、信箱中信的最大封数为 i(i =1,2,3)求：P(Ai)=?Q所含样本点数：4，4，4 = 43= 64A1所含样本点数：4 3 24243P(A/ = 64 8A2所含样本点数：C； .4 .3 = 363692.P(A2)=一6416A3所含样本点数：C； ,4 = 441. P(A3):6416注：由概率定义得出的几个性质：1、0P (A) 12、P(Q )=1, P( ) =0 1.3概率的加法法则定理：设A、B是互不相容事件(AB= ),贝U：P (AU B) =P (A) +P (B)推论1:设A1、A2、An互不相容，则P(A1+A2+.+ An)= P(A1)+ P(A2)+

3、 .+ P(A)推论2：设A1、A2、An构成完备事件组，则P(A1+A2+.+ An)=1推论3: P (A) =1-P(A)推论4:若BnA，见J P(B-A)= P(B) P(A)推论5(广义加法公式)：对任意两个事件A与B,有P(A U B)=P(A)+P(B) P(A B)补充对偶律：A1 1 - -A2-An n= A1 1A2. AnA1 1A2 2. An n= A1 1 _ _A2_ . _ An 1.4条件概率与乘法法则3条件概率公式:P(A/B)=A (P(B)乒0)P(B)P(B/A)= A (P(A)丰0)P(A). P (AB) =P (A/B) P (B) = P

4、 (B/A) P (A)有时须与P (A+B) =P (A) +P (B) P (AB)中的P (AB)联系解题。全概率与逆概率公式：全概率公式：nP(B) =、P(A)P(B/A)i =1逆概率公式:P(AiB)P (Ai/ B)P(B)(注意全概率公式和逆概率公式的题型： 将试验可看成分为两步做，如果要求第二步某事件的概率，就用全概率公式；如果求在第二步某事件 发生条件下第一步某事件的概率，就用逆概率公式。) 1.5独立试验概型4事件的独立性:A与B相互独立 。P(AB) = P(A) P(B)贝努里公式(n重贝努里试验概率计算公式)：课本P24另两个解题中常用的结论 一一1、 定理：有四

5、对事件：A与B、A与B、A与B、A与B,如果其中有一对相互独立，则其余三对也相互独立。2、 公式：P( AlA2一. An ) =1 - P(AiA2. An)第二章随机变量及其分布一、关于离散型随机变量的分布问题1、求分布列：确定各种事件，记为，写成一行；计算各种事件概率，记为p k写成第二行。得到的表即为所求的分布列。注意：应符合性质补例1：将一颗骰子连掷2次，以表示两次所得结果之和，试写出匚的概率分布。解：Q所含样本点数：6X 6=36所求分布列为:234567S9101112PkL 362/363 364/365/366 365/ 364 36*362/361/36补例2:一袋中有5只

6、乒乓球，编号1, 2, 3, 4, 5,在其中同时取1、P Pk全0 0(非负性)2、Pk =1(可加性和规范性)k53只，以土表示取出3只球中最大号码，试写出土的概率分布3解：Q所含样本点数：C5=102、求分布函数F(x):分布函数F (x) = P ： x】=、pkxk Q二、关于连续型随机变量的分布问题：vx R,如果随机变量匚的分布函数F (x)可写成F (x)x=i (x) dx，贝腴为连续型。*(x)称概率密度函数。解题中应该知道的几个关系式：+0(x) - 0(x) dx = 1bPa三 b = Pa b = F (b)一F (a广(x)dxa第三章随机变量数字特征一、求离散型

7、随机变量-的数学期望E-=?数学期望(均值)345pk1/103/106/10所求分布列为:6E = xkpkk k7二、设，为随机变量，f(x)是普通实函数，贝U门=f(E)也是随机变量,求E =?X1X2XkPkPlP2Pk门=fG)yiy2yk以上计算只要求这种离散型的补例1:设匕的概率分布为：-101252Pk15110110310310求：(i=E -1 , 2 、 一.一匕的概率分布；E。解：因为-101252Pk15110110310310门=土 一1-2-10132门=1014254所以，所求分布列为：门=七一1-2-10132Pk151_101_10_3_10_3_10和：X

8、 2门=-1014254Pk11_1_3_3_Lk510101010当门= 1时，Eq =E 3 1)8=2X 1+( 1)X +0 x +1 x + - x 2_5101010210= 1/4当门=街，Eq =E &%1 x1+0 x +1X +4 X旦+史X兰5 10 1010410=27/8三、求，或门的方差D，=? D门=?实用公式 DE = E，2 E%222其中，E=(E )=(寸xKk)k. 2、.2E=xkPk补例2:-202Pk0.40.30.3求：E匕和D匕解：E 匕=-2X 0.4+0X 0.3+2X 0.3= - 0.2E：2= ( 2)2X0.4+02X0.3

9、+22X0.3=2.8Dt = Et2- E2t=2.8- ( 0.2)2=2.76第四章几种重要的分布常用分布的均值与方差(同志们解题必备速查表)名称概孕分布或密度期望万差参数范围9二项分布t vk k n_kP* = k = Cnp q(k = 0,1,2,., n)n pn p q0P0泊松分布不要求入X入0指数分布不要求1上n 2 A入0解题中经常需要运用的E匚和D匚的性质（同志们解题必备速查表）E，的性质DL的性质E(c)= cD (c) = 0E（t士听）=EE士E若E、听独立，则D仁士n）=DE+Dn10若匕、听独立，则E（5 ） = E E E听E（c，）= c E：D（节）=

10、c2D：第八章参数估计 8.1估计量的优劣标准（以下可作填空或选择）若总体参数e的估计量为*，如果对任给的& 0,有limPei?-e,则称e?是。的一致估计；n_）：如果满足E（e?） = e，则称0?是9的无偏估计；如果9?和徵2均是e的无偏估计，若D（区）D（&），则称研是 比区有效的估计量。 8.3区间估计：几个术语一一1、设总体分布含有一位置参数，若由样本算得的一个统计量1（x,.，xn）及耳（x,.，Xn）,对于给定的履（0C（1）满足:11P贸(x”.，X n)M(X“.，X n) =1 -a则称随机区间(矿，攻)是e的100 (1-a )%的置信区间，留和用 称

11、为0的100 (1-a )%的置信下、上限，百分数100 (1-a ) %称为置信度。一、求总体期望(均值)E匚的置信区间1、总体方差。2已知的类型1据a，得中(UQ)= 1 反查表(课本P260表)得临界值气;2X=一xi求d=u卜良 置信区间(x-d,x+d)ni =1.、.n补简例：设总体 X N(0.09)随机取4个样本其观测值为12.6, 13.4 , 12.8 ,13.2，求总体均值V的95%勺置信区间。解：.1 a =0.95 , a =0.05.中(UQ =1-竺=0.975,反查表得:kJ. =1.966 一1 J1次二一Xi= (12 .6 13 .4 12.8 13.2)

12、 = 134 j4所以，总体均值V的a =0.05的置信区间为：(X d,厂 +d) = (13 0.29 , 13 + 0.29 )即(12.71 , 13.29) 2、总体方差。2未知的类型(这种类型十分重要！务必掌握！ !)据a和白由度n1 (n为样本容量)，查表(课本P262表)得(T =0.3 , n=40.3. 4=0.29 .d=u=1.962121n确定X = xi和$2 =-z(x -Xi)2ni =1n - 1i注：无特别声明，一般可保留小数点后两位，下同。二、求总体方差a2的置信区间据a和白由度n1 （n为样本数），查表得临界值:2, 如一1)和2置信区间（下限，上限）

13、典型例题:补例1:课本P166之16已知某种木材横纹抗压力的实验值服从正态分布，对10个试件作横纹抗压力试验得数据如下（单位：kg/cm2）:482493457471510446435418394469试对该木材横纹抗压力的方差进行区间估计（a = 0.04 ）。解：a =0.04，又n=10,白由度n 1=92. 查表得，：（n一1）=0.02（9）=19.7221_：（n一1）=0.98（9）=2.53s求d=t_(n -1)-置信区间（X-d ,x+d）2:.(1 22确定X=1寸 Xini =12(n -1)s3上限和s22,(n-1)122(n - 1)s下限2,八:.(n- 1)2

14、1311 X-一、x=石(482 - 493. 469 )=457.5110_1s2=寸(XXj)2=(457 .5 -482 )2+(457 .5 _493 )2+(457 .5469 )29i 19= 1240.28八29s 9 1240 .28(n)=泰=566.63所以，所求该批木材横纹抗压力的方差的置信区间为(566.63,4412.06)第九章假设检验必须熟练掌握一个正态总体假设检验的执行标准一般思路：1、提出待检假设H02、选择统计量3、据检验水平a,确定临界值4、计算统计量的值5、作出判断检验类型：未知方差。2,检验总体期望(均值)v1根据题设条件，提出H) = % ( %已知

15、)；上限2(n - 1)s29s 9 1240 .28(n)=02.98(9)2.53=4412.062下限bs0(2142选择统计量|T|= X/厂t(n一 ；15根据题设条件，提出Hk。Uo（Qo已知）；3据a和白由度n1（n为样本容量），查表（课本P262表）得妇（n1）;4由样本值算出X = ?和s = ?从而得到To5作出判断若To d（n - 1）,贝U接受Ho若To（n -1）,贝U拒绝Ho典型例题：对一批新的某种液体的存贮罐进行耐裂试验，抽查5个，得到爆破压力的数据（公斤/寸2）为：545, 545, 53。，55。，545。根据经验爆 破压认为是服从正态分布的， 而过去该种液

16、体存贮罐的平均爆破压力 为549公斤/寸2,问这种新罐的爆破压与过去有无显著差异？ （a=o.o5)解：Ho：=549. a=o.o5 , n- 1=4,查表得：t.5(4)=2.776 一一1乂 .X=一(545. 545)=5435S2=1( 545 - 545 )2. (543 - 545 )2=57.54接受假设，即认为该批新罐得平均保爆破压与过去的无显著差异。检验类型：未知期望（均值）v，检验总体 方差汀2=1.772.776 t(n -1)选择统计量TTo543 - 549.57.5 / 516据0和白由度n1 （n为样本容量），查表（课本P264表）得临界值:2由样本值算出X= ?和s = ?从而得到，0 3- =补例：某厂生产铜丝的折断力在正常情况下服从正态分布，折断力方差S2=64,今从一批产品中抽10根作折断力试验，试验结果（单位:公斤):578, 572, 570, 568, 572, 570, 572, 596, 584, 570否可相信这批铜丝折断力的方差也是64? （a =0.05）解：H0:。=6429 75 .73选择统计量2(n -1)=2(n 1) s(n - 1) s22CJ若1：(n_1)02 * *(n -1)一22Ot2