抛物线几何性质（二）课件

1、12方程方程图图形形范围范围对称性对称性顶点顶点焦半径焦半径焦点弦的长焦点弦的长度度 y2 = 2px（p0）y2 = -2px（p0）x2 = 2py（p0）x2 = -2py（p0）lFyxOlFyxOlFyxOx0 yRx0 yRxR y0y0 xRlFyxO12pxx12()pxx12pyy12()pyy02px02px02py02py关于x轴对称 关于x轴对称 关于y轴对称关于y轴对称（0,0）（0,0）（0,0）（0,0）3.0212正三角形的边长）上，求这个（两个顶点在抛物线位于坐标原点，另外、正三角形的一个顶点例ppxyyOxBA4.|.0200. 02022|.2221212

2、12121212221222221212221212211轴对称关于，即线段由此可得，）（，即：，所以：又，），则，）、（，线上，且坐标分别为（在抛物、的顶点解：如图，设正三角形xAByyxxpxxpxxxxpxpxxxyxyxOBOApxypxyyxyxBAOAB5.342|.322.3330tan301121111pyABpypyxxyAOxABxoo，所以，且轴垂直于因为6例例2 2、已知直线、已知直线l l：x=2px=2p与抛物线与抛物线 =2px(p0)=2px(p0)交于交于A A、B B两点，两点，求证：求证：OAOB.OAOB.2y证明：由题意得，证明：由题意得，A(2p,2

3、p),B(2p,-2p)A(2p,2p),B(2p,-2p)所以所以 =1=1， =-1=-1因此因此OAOBOAOBOAKOBK变题变题1 1 若直线若直线l l过定点过定点(2p,0)(2p,0)且与抛物线且与抛物线 =2px(p0)=2px(p0)交于交于A A、B B两点，求证：两点，求证：OAOB.OAOB.2yxyOy y2 2=2px=2pxA AB BL:x=2pC(2p,0)C(2p,0)xyOy y2 2=2px=2pxA AB BlC(2p,0)证明：证明：设设l 的方程为的方程为y=k(x-2p) 或或x=2p 04)24(22222kpxppkxk24pxxBA222

4、2164pxxpyyBABA24 pyyBA0BABAyyxx所以所以OAOB.OAOB.代入代入y2=2px得，得，可知可知又又7变题变题2 2： 若直线若直线l l与抛物线与抛物线 =2px(p0)=2px(p0)交于交于A A、B B两点，两点，且且OAOB OAOB ，则，则_ 2y直线直线l l过定点过定点(2p,0)(2p,0)xyOy2=2pxABlP(2p,0)验证：由验证：由 得得 所以所以直线直线l l的方程为的方程为 即即而因为而因为OAOB OAOB ，可知，可知 推出推出 ，代入，代入 得到直线得到直线l l 的方程为的方程为所以直线过定点（所以直线过定点（2p,0)

5、.2p,0).AABBpxypxy2222BABABAAByypxxyyk2)(2ABAAxxyypyy)2(2pyyxyypyBABA0BABAyyxx24 pyyBA)2(2pxyypyBA高考链接：过定点高考链接：过定点Q Q（2p,0)2p,0)的直线与的直线与y2 = 2px（p0）交于相异两点）交于相异两点A、B，以线段，以线段AB为为直径作圆直径作圆C(C为圆心），试证明抛物线顶点在圆为圆心），试证明抛物线顶点在圆H上。上。8变题变题3：若过：若过O 引引AB的垂线，垂足为的垂线，垂足为H，求，求H的的 轨迹方程轨迹方程变题变题4：若：若AB的中点为的中点为M，求，求M的轨迹方程

6、。的轨迹方程。9例例3：.经过抛物线经过抛物线y2=2px (p0)的焦点的焦点F一一条直线和这抛物线相交于两点条直线和这抛物线相交于两点P1,P2 ，则，则以线段以线段P1P2为直径的圆与准线的位置关为直径的圆与准线的位置关系是怎么？系是怎么？P2NOKFP110变题变题1.经过抛物线经过抛物线y2=2px (p0)的焦点的焦点F一条一条直线和这抛物线相交于两点直线和这抛物线相交于两点P1,P2,过过P1,P2分别分别作准线的垂线作准线的垂线,垂足分别是垂足分别是M,N,以线段以线段MN 为直径的圆有什么性质？为直径的圆有什么性质？P2NMOKFP111变题变题2.经过抛物线经过抛物线y2=2px (p0)的焦点的焦点F一条一条直线和这抛物线相交于两点直线和这抛物线相交于两点P1,P2 ，通过点，通过点P1和抛物线顶点的直线交准线于点和抛物线顶点的直线交准线于点N，求证：，求证：直线直线NP2平行于抛物线的对称轴。平行于抛物线的对称轴。P2NOKFP112高考链接高考链接.(2001.(2001年全国理科题年全国理科题) ) 设抛物线设抛物