概率1收敛与强大数定律

1、3 概率 1 收敛与强大数定律 一、 以概率 1 收敛 二、 强大数定律 本章补充与注记 本章习题 一、以概率 1 收敛 大家知道，随机变量是定义在概率空间上取值为实数的函数 .因此我们可以像数学分析讨论 函数序列逐点收敛性那样去讨论随机变量序列在每个样本点处的值的收敛性 .然而，由于随机变 量取值的随机性，我们常常不可能期望随机变量序列在所有点处都存在极限 .现在的问题是研究 极限是否在一个概率为 1 的点集上存在. 定义 1 设 和 n是定义在概率空间 (Q, F, P)上的随机变量序列. 1.如果存在 0 F, P( 0)=0,且对任意 0,有n() ()，则称n以概率 1 收敛 (co

2、nverge with probability one ) 或几乎处处收敛 (almost surely converge) 于，记作 (a. s.). n (w )- m (w) f 0, (n m、00 ),则称n以概率 1 是柯西基本列. 注 n (a. s.)意味着最多除去一个零概率事件外 ，n逐点收敛于 .根据柯西基本 数列一定存在极限的原则 ，n以概率 1 收敛当且仅当 n以概率 1 是柯西基本列 卜面给出以概率 1 收敛的判别准则 (1) n (a. s.)当且仅当对任意 0, lim P(sup| k | ) 0 n k n , 或者等价地 lim P( | k | ) 0 n

3、 k n 2.如果存在 0 F, P( 0)=0,且对任意 0 ,数列 n( CO )是柯西基本列、即 定理 1 设 和 n是定义在概率空间 (Q , F, P)上的随机变量序列 (2) n以概率 1 是柯西基本列当且仅当对任意0, lim P(sup| n k k | )0 n k 0 , 或者等价地 !imP(k| n k kl ) 0 证 （1）对任意 0,令 An | n | A A | n 1 , n 1k n . 那么 A1/m n m 1 . 由连续性定理 （第一章 i 3), P(A ) P( Ak) nimP( Ak) 则下列关系式成立 1/m、 P( A ) 0 P(A1/

4、m)0,对任意 m 1 P( AS) k n P( | k | 1m) 0 k m ,对任意 m 1 P( | k | ) 0 k n ,对任意 0 . Bn,k | n k n | , B Bn,k （2）.对任意 e 0,令 m 1n mk 1 ,那么 B n 不是柯西基本列 = 0 . 以下类似于（1）即可证明 . 0 = P( n P( | k | ) P(| k | ) 0 证注意到 k n k n 即可 注定理 1 表明n (a. s.)可推出n P 反之，存在例子表明 n 并不能 P P(| n | ) 推论如果对任意 0, n 1 ,则 n (a. s.). 二、强大数定律 与

5、以概率 1 收敛密切相关的是强大数定律 . 定义 2 设 n是定义在概率空间（Q , F, P）上的随机变量序列，如果存在常数列an和 bn使得 则称 n服从强大数定律（strong law of large numbers）.由于几乎处处收敛性强于依概率收敛性 故强大数定律也比弱大数定律更深入一步 我们在第二节知道，贝努里通过对二项分布的精确估计得到贝努里弱大数定律， 即贝努里随 机试验中事件发生的频率依概率收敛于该事件的概率 .直到 1909 年波雷尔才证明了下面更强的 结果. 定理 2 （波雷尔强大数定律 ） 设 n是定义在概率空间（Q , F, P）上的独立同分布随机变量 Sn 序列，

6、P( n =1)= p, P( n =0) = 1-p, 0p1. 记 Sn p 0 n (a. s.). 定理 2 进一步表达了 “频率稳定到概率”这句话的含义 柯尔莫哥洛夫 1930 年将上述结果从二项分布的随机变量推广到一般随机变量 n 是定义在概率空间 （Q , F, P）上的独立同分布随 Sn (a. s.). 事实上，定理 3 的逆也成立：如果存在常数 ，使得（2）式成立，那么1的数学期望存在且等 于. 这两个定理的证明从略. 例 1 （蒙特卡罗方法）令 f （x）是定义在0, 1上的连续函数，取值于0,1.令导出 （a. s.）（见补充与注记 4） k九 an k 1 0 (a.

7、 定理 3 （柯尔莫哥洛夫强大数定律 ） E 1 .记 Sn (2) 是一列服从于0, 1上的均匀分布的独立随机变量序列 .定义 1, 如果f( i) 0, 如果f( i) 则 i）也独立同分布.而且f(x) 由定理 3, 1 0 f(x)dx (a. s.). 1 0 （x）dx,方法是：在 xoy 平面的正方形0 x 1,0y 1上随机投点，统计落在区域0 x 1,0 y0, maxP(| n| 1 I n 0 即n 0.另一方面，对任意 n(3 ), n=1,2,中有无穷多个 1,也有无穷多个 0,因 1. 下列分布函数列是否弱收敛于分布函数? (1) x -1/ n 时，Fn(X) 0

8、; x 1/ n时,Fn(x) 1 x n, 0, Fn(x) (x n) / 2n, n x n, 1, x n. 2, 设n的分布列为：P( n=o)=i-i/ n, p( n =1)=1/ n, n=1,2, ,求证相应的分布函数列收敛 于分布函数，但 E n不收敛于相应分布的期望 . 0 1 n n k /2k 3. 设 n)为独立同分布随机变量序列 ,n的分布列为 0.5 05 , k 1 . 求证 n的分布收敛于0, 1上的均匀分布. 4. 某计算机系统有 120 个终端. (1) (1) 每个终端有 5 %时间在使用，若各终端使用与否是相互独立的 ，求有 10 个 或更多终端在使

9、用的概率 ； (2) (2) 若每个终端有 20%时间在使用，求解上述问题. 5. 现有一大批种子，其中良种占 1/ 6.在其中任取 6000 粒，问在这些种子中良种所占的比 例与 1/ 6 之差小于 1 %的概率是多少？ 6. 某车间有 200 台车床，工作时每台车床 60 %时间在开动，每台开动时耗电 1 千瓦,问应 供给这个车间多少电力才能有 0. 999 的把握保证正常生产？ 7. 一家保险公司里有 10000 个同类型人参加某种事故保险，每人每年付 12 元保险费，在 一年中一个人发生此种事故的概率为 0. 006，发生事故时该人可向保险公司领得 1000 元,问： (1) 对该项保

10、险保险公司亏本的概率有多大？ (2) 对该项保险保险公司一年的利润不少于 60000 元的概率有多大？ 8 . 一家火灾保险公司承保 160 幢房屋，最高保险金额有所不同，数值如下表所示 ： 最大保险金额(万元) 投保房屋数 10 80 20 35 30 25 50 15 100 5 假设 1) 每幢房屋每年一次理赔概率 0.04,大于一次理赔概率为 0; 2) 各幢房屋是否发生火灾相互独立； 3) 如果理赔发生，理赔量服从 0 到最高保险金额间的均匀分布 记 N 为一年中理赔次数， S 为理赔总量， a .计算 N 的期望值和方差； b .计算 S 的期望值和方差； c .确定相对保证附加系

11、数 ，即 （每份保单保费收入-平均理赔量）/平均理赔量，以确 保保险公司的保费收入大于理赔总量的概率等于 0. 99 . 9 .某保险公司开办 5 种人寿险，每种险别（一旦受保人死亡） 的赔偿额bk及投保人数nk如 下表所示. 类别 k 赔偿额（万兀） bk 投保人数nk 1 1 8000 2 2 3500 3 3 2500 4 5 1500 5 10 500 设死亡是相互独立的，其概率皆为 0. 02 .保险公司为安全起见，对每位受保人寻求再保险 . 其机制如下：确定一个自留额，设为 2 万元；若某人的索赔在 2 万元以下，则都由该保险公司偿 付；若赔偿金超过 2 万元，则超过部分由再保险公

12、司偿付；再保险率为投保金额的 2.5%.该保 险公司（相对于再保险公司而言，也称为分出公司）希望它的全部费用（即实际索赔总额 S+再 保险费）不超过 825 万元，求实际费用突破此限额的概率 10.设 n独立同分布，其分布分别为 （I） -a, a n n n k1( k E k)/Vk1Var k.计算n的特征函数, 贝格一勒维定理在这种情况成立 求证：泊松分布的标准化变量当参数入时趋近标准正态分布 1 n Sn k k 上的均匀分布；（2）泊松分布.记 并求 n 时的极限，从而验证林德 11. 总有 用德莫佛一拉普拉斯定理证明：在贝努里试验中, 若 0 p 1 , 则不管 k 是多大的常数

13、, P(| n np| k) 0 (n”00). 12. 13. 13. 求证：当 n、00时, 14. 14.设 n, n各自独立同分布 也相互独立.E n =0, Var n=1 , P n 1 1/2 .求证： 山k 1 的分布函数弱收敛于 N (0,1).15. 15. 设 n为独立随机变量序列, 都服从(0, )上的均匀分布.记n n cOS n n n 2); 3 其中 n 0且k1 k/( k 1 2 0 (n ) . 证明 n 服从中心极限定理 . n 16. 设 n服从柯西分布, 其密度为 p “ 一2 n (x)= (1 n x 亍 P ).求证：n 0. e (x a),

14、 x a 17. 设 n独立同分布， 密度为 p(x) -0, x = a.令 n min 1, 2, n.求 证： P n a . 18. 18. 求证: (1) 若 P n n , P ，则n P n - ； (2) (2)若 P n n , P ，则n n P ； (3) 若 P n n , P c, c 为常数， n与 c 都不为 0,则n / n P /c 设 d n n , P c,c 为常数，贝 U n d n c; ; n / n d /c , (c 丰 0). 19. 19. 求证下列各独立的随机变量序列 k服从大数定律 p( k Ink) p( k Ink) 2； p( k

15、 2k) P( k 2k) 2 (2k D,P( k 0) 1 2 21 2n 1 2)项 P( k=n 2 , n=1, 2,; c P( k =n)= n |n n n=2, 3,；c 为常数. l独立.求证这时大数定律成立 0,则 k服从大数定律.试证明之20. 设 k服从同一分布， Var k 2 时，！与 21.(伯恩斯坦(Bernstein)定理)设 k的方差有界：Var k c,且当|i-j|“8 时，Cov( i j) 21. 在贝努里试验中，事件 A 出现的概率为 p,令 1,若在第 k 次和第 k、1 次试验中 A 出现 求证 k 服从大数定律. (0, 1).23. 设

16、k独立同分布，都服从0, 1上的均匀分布，令 1/n k ) ,求证: C(常数)，并求出 c. 24. 设 k独立同分布，E k=a, Var k .求证: 2 n(n 1) k 25. 设 k独立同分布，都服从 N (0, 1) 分布, 2 k .求证： n的分布函 N (0, 1). 26. 设 k )为独立同分布随机变量序列, Var k oo an n 1 为绝对收敛级数，令 k ，则 an n服从大数 JE 律. 27. 设 k )为独立同分布随机变量序列, an为常数列，an 求证: n 1/2 k / (n k 1 an) 28. k, k相互独立，均服从 N (0, 1)分布.an为常数列，求证: n ak k 1 n k/n k 1 的充要条件是 n 2 , 2 ak / n 29.设 k独立同分布，都服从 N (0, 1)分布.求证: n 2 n渐近正态分布