《选修11：双曲线的标准方程和几何性质》教案

1、适用学科高中数学适用年级高二适用区域苏教版区域课时时长分钟2课时知识点双曲线的标准方程和几何性质教学目标1掌握双曲线的标准方程和几何性质(重点)教学重点2双曲线的渐近线和离心率的求法(难点)教学难点3椭圆与双曲线几何性质的比拟(易混点)【教学建议】本节课的教学要注意双曲线方程的推导过程 ,字母的意义和关系式 ,方程的特点。【知识导图】教学过程一、导入教材整理双曲线的标准方程阅读教材P39P40例1以上局部 ,完成以下问题【教学建议】合理利用教材上的导入课程进行导入。提问和互动 ,进行概念辨析和公式推导。与椭圆方程进行比照辨析。二、知识讲解考点1 双曲线的定义【教学建议】双曲线的定义：平面内与两

2、个定点、的距离的差的绝对值等于常数2a小于|的动点的轨迹叫做双曲线.在这个定义中 ,要注意条件2a| ,这一条件可以用“三角形的两边之差小于第三边加以理解.假设2a=| ,那么动点的轨迹是两条射线；假设2a| ,那么无轨迹.假设时 ,动点的轨迹仅为双曲线的一个分支 ,又假设时 ,轨迹为双曲线的另一支.而双曲线是由两个分支组成的 ,故在定义中应为“差的绝对值.考点2 双曲线的标准方程标准方程1(a>0 ,b>0)1(a>0 ,b>0)焦点的位置焦点在x轴上焦点在y轴上图形焦点坐标F1(c,0) ,F2(c,0)F1(0 ,c) ,F2(0 ,c)a ,b ,c之间的关系c

3、2a2b2双曲线的标准方程：和a0 ,b0.这里 ,其中|=2c.要注意这里的a、b、c及它们之间的关系与椭圆中的异同.双曲线的标准方程判别方法是：如果项的系数是正数 ,那么焦点在x轴上；如果项的系数是正数 ,那么焦点在y轴上.对于双曲线 ,不一定大于 ,因此不能像椭圆那样 ,通过比拟分母的大小来判断焦点在哪一条坐标轴上.求双曲线的标准方程 ,应注意两个问题： 正确判断焦点的位置； 设出标准方程后 ,运用待定系数法求解.如果双曲线过两个点不是在坐标轴上的点 ,求其标准方程时 ,为了防止对焦点的讨论可以设其方程为或考点3 双曲线的几何性质1.双曲线的实轴长为 ,虚轴长为 ,离心率1 ,离心率e越

4、大 ,双曲线的开口越大.2.双曲线的渐近线方程为或表示为.假设双曲线的渐近线方程是 ,即 ,那么双曲线的方程具有以下形式： ,其中k是一个不为零的常数.3.双曲线的第二定义：平面内到定点焦点与到定直线准线距离的比是一个大于1的常数离心率的点的轨迹叫做双曲线.对于双曲线 ,它的焦点坐标是-c ,0和c ,0 ,与它们对应的准线方程分别是和.4.在双曲线中 ,a、b、c、e四个元素间有与的关系 ,与椭圆一样确定双曲线的标准方程只要两个独立的条件.5.在双曲线中 ,如果一个三角形的两个顶点是焦点 ,另一个顶点在椭圆上 ,称该三角形为焦点三角形 ,那么面积等于 ,其中是虚半轴的长；6.过焦点垂直于对称

5、轴的弦长即通径长为.标准方程性质图形性质焦点焦距范围对称轴轴 ,轴对称中心原点顶点轴实轴：线段 ,长：；虚轴：线段 ,长：；实半轴长: ,虚半轴长：离心率渐近线三 、例题精析类型一 双曲线的标准方程例题1根据以下条件 ,求双曲线的标准方程(1)经过点(2)c ,经过点(5,2) ,焦点在轴上【解答】(1) 法一：假设焦点在x轴上 ,设双曲线的方程为点在双曲线上 ,解得(舍去)假设焦点在y轴上 ,设双曲线的方程为将P ,Q两点坐标代入可得解得双曲线的标准方程为法二：设双曲线方程为P ,Q两点在双曲线上 ,解得所求双曲线的标准方程为(2)法一：依题意可设双曲线方程为依题设有解得所求双曲线的标准方程

6、为法二：焦点在x轴上 ,c ,设所求双曲线方程为 ,(其中0<<6)双曲线经过点(5,2) ,1 ,5或30(舍去)所求双曲线的标准方程是【教学建议】解答(1)可分情况设出双曲线的标准方程 ,再构造关于的方程组求解 ,从而得出双曲线的标准方程也可以设双曲线方程为的形式 ,将两点代入 ,简化运算过程解答(2)利用待定系数法【教学建议】1用待定系数法求双曲线方程的一般步骤2求双曲线标准方程的两个关注点(1)定位：“定位是指确定与坐标系的相对位置 ,在“标准方程的前提下 ,确定焦点位于哪条坐标轴上 ,以判断方程的形式；(2)定量：“定量是指确定的具体数值 ,常根据条件列方程求解例题21双

7、曲线与椭圆有共同的焦点 ,且过点( ,4) ,求双曲线的方程. 【解析】椭圆的焦点坐标为 ,故可设双曲线的方程为.由题意 ,知解得故双曲线的方程为类型二 双曲线标准方程的讨论例题1(1)如果方程表示双曲线 ,那么实数m的取值范围是_(2) “ab<0是“方程表示双曲线的_条件(填“必要不充分、“充分不必要、“充要和“既不充分也不必要)(3)假设方程表示焦点在y轴上的双曲线 ,求实数m的取值范围【解析】(1)由题意知(2m)(1m)0 ,解得2m1.故m的取值范围是(2,1)(2)假设表示双曲线 ,即表示双曲线 ,那么,这就是说“ab<0是必要条件 ,然而假设ab<0 ,c等于

8、0时不表示双曲线 ,即“ab<0不是充分条件【答案】(1)(2 ,1)(2)必要不充分(3)由方程表示焦点在y轴上的双曲线 ,得解得m>5.所以实数m的取值范围是(5 ,)【总结与反思】 方程表示双曲线的条件及参数范围求法1对于方程当mn0时表示双曲线进一步 ,当m0 ,n0时表示焦点在x轴上的双曲线；当m0 ,n0时表示焦点在y轴上的双曲线2对于方程 ,那么当mn0时表示双曲线且当m0 ,n0时表示焦点在x轴上的双曲线；当m0 ,n0时表示焦点在y轴上的双曲线3方程所代表的曲线 ,求参数的取值范围时 ,应先将方程转化为所对应曲线的标准方程的形式 ,再根据方程中参数取值的要求 ,建

9、立不等式(组)求解参数的取值范围类型三 双曲线中的焦点三角形例题设为双曲线的两个焦点 ,点P在双曲线上且满足 ,求的周长及的面积法一：点P在双曲线上 ,又 ,为直角三角形 ,列方程组解得或的周长为的面积为.法二：同解法一得即即,.PF1PF24.的周长为的面积为.【教学建议】在双曲线的焦点三角形中 ,正弦定理、余弦定理、双曲线的定义等是经常使用的知识点 ,另外 ,还经常结合 ,运用平方的方法 ,建立它与的联系 ,表达了数学中的一种整体思想.例题类型四 由双曲线的方程求其几何性质求双曲线的顶点坐标、焦点坐标、实轴长、虚轴长、离心率和渐近线方程 ,并作出草图【精彩点拨】此题给出的方程不是标准方程

10、,应先化方程为标准形式 ,然后根据标准方程求出根本量a ,b ,c即可得解 ,注意确定焦点所在坐标轴【自主解答】将变形为 ,即a3 ,b2 ,c ,因此顶点坐标A1(3,0) ,A2(3,0) ,焦点坐标F1( ,0) ,F2( ,0) ,实轴长是2a6 ,虚轴长是2b4 ,离心率e ,渐近线方程为y±x±x.作草图：如下图【教学建议】用双曲线标准方程研究几何性质的步骤为：(1)将双曲线方程化为标准方程形式；(2)判断焦点的位置；(3)写出与的值；(4)写出双曲线的几何性质.例题类型五：求双曲线的离心率及其取值(1)设ABC是等腰三角形 ,ABC120° ,那么以

11、A ,B为焦点且过点C的双曲线的离心率为_(2)双曲线a>0 ,b>0)的右焦点为F ,假设过点F且倾斜角为60°的直线与双曲线的右支有且只有一个交点 ,求双曲线离心率的取值范围【精彩点拨】(1)根据图形并由双曲线的定义确定a与c的关系 ,求出离心率；(2)可以通过图形借助直线与双曲线的关系 ,因为过点F且倾斜角为60°的直线与双曲线的右支有且只有一个交点 ,那么必有tan 60°.【自主解答】(1)由题意2cABBC ,AC2×2c×sin 60°2c ,由双曲线的定义 ,有2aACBC2c2ca(1)c ,e.【答案】

12、(2)因为双曲线渐近线的斜率为k ,直线的斜率为ktan 60° ,故有 ,所以e2 ,所以所求离心率的取值范围是e2.【教学建议】1求双曲线的离心率就是求a和c的关系 ,一般可以采用几何观察法和代数关系构造法来寻求a ,b ,c三者中两者的关系 ,进而利用进行转化2求双曲线离心率的取值范围 ,一般可以从以下几个方面考虑：(1)与范围联系 ,通过求值域或解不等式来完成(2)通过判别式>0来构造(3)利用点在双曲线内部形成不等关系(4)利用解析式的特征 ,如c>a ,或c>b.类型六 直线与双曲线的位置关系探究1直线与双曲线有几种位置关系？交点个数怎样？直线与双曲线的

13、交点个数能否用判别式来判断？【提示】三种位置关系：相交两个或一个交点；相切一个交点；相离没有交点当判断交点个数时 ,要注意二次项系数不为零时才可使用判别式进行判断探究2过双曲线上一点存在几条直线 ,使该直线与双曲线有且只有一个交点？解决这种问题应注意什么？【提示】过双曲线上一点存在三条直线 ,使该直线与双曲线有且只有一个交点 ,一条是切线 ,两条是分别与渐近线平行的直线解决这种问题时 ,应注意直线与渐近线平行的情况探究3在双曲线中 ,直线与双曲线相交会有几种情况 ,如何求弦长？【提示】直线与双曲线相交时 , 两交点可能在两支上 ,也可能在同一支上弦长公式为或例题1例题6设双曲线C：(a>

14、0)与直线相交于两个不同的点A ,B ,求双曲线C的离心率的取值范围【精彩点拨】把双曲线方程和直线方程联立 ,得到一元二次方程 ,利用0可得a的范围 ,进而可求离心率的范围【自主解答】由C与l相交于两个不同点 ,故知方程组有两组不同的实根 ,消去y并整理得.所以解得0<a<且a1.双曲线的离心率因为0<a<且a1.所以e>且e.即离心率e的取值范围为.【教学建议】1把直线与双曲线的方程联立成方程组 ,通过消元后化为一元二次方程 ,在二次项系数不为零的情况下考察方程的判别式(1)0时 ,直线与双曲线有两个不同的交点；(2)0时 ,直线与双曲线只有一个公共点；(3)0

15、时 ,直线与双曲线没有公共点当二次项系数为0时 ,此时直线与双曲线的渐近线平行 ,直线与双曲线有一个公共点2直线与双曲线有一个公共点是直线与双曲线相切的必要不充分条件3直线与双曲线相交应考虑交在同一支上 ,还是交在两支上 ,可用直线的斜率与渐近线斜率比拟对于实轴在x轴上的双曲线 ,假设|k|> ,那么交在同一支上；假设|k|< ,那么交在两支上假设直线过焦点 ,那么可考虑用双曲线的定义四 、课堂运用根底1.判断(正确的打“ ,错误的打“×)(1)在双曲线标准方程中 ,a0 ,b0且ab.()(2)在双曲线标准方程中 ,和焦点满足.()(3)双曲线的焦点坐标在y轴上()(4

16、)在双曲线中 ,焦点坐标为(±5,0)()2.为双曲线C：的左、右焦点 ,点P在C上 , ,那么_.3. 假设kR ,方程表示双曲线 ,那么k的取值范围是_4. 双曲线的渐近线方程是_答案与解析1.【答案】(1)×(2)×(3)(4)×【解析】(1)方程中 ,a>0 ,b>0.ab时也是双曲线 ,故不正确；(2)在双曲线标准方程中 ,都有.故不正确(3)根据标准方程特点 ,正确(4)在中 ,c ,所以焦点坐标为(0 ,±)2. 【答案】【解析】由双曲线方程得a ,b ,那么 ,因为 ,且所以, ,而在中 ,由余弦定理得3. 【答案】

17、(3 ,2)【解析】据题意知(k3)(k2)0 ,解得3k2.4. 【答案】y±x【解析】由双曲线的方程 ,易知a2 ,b3 ,所以双曲线的渐近线方程为y±x.稳固1. 椭圆与双曲线有相同的焦点 ,那么实数a_. 2. 双曲线的一个焦点为(0,3) ,那么实数k的值为_3. 求适合以下条件的双曲线的标准方程(1)焦点在x轴上 ,虚轴长为8 ,离心率为；(2)两顶点间的距离是6 ,两焦点的连线被两顶点和中心四等分4.根据以下条件 ,求双曲线的标准方程(1)以椭圆的焦点为顶点 ,顶点为焦点；(2)与双曲线有相同的焦点 ,且经过点(3 ,2)答案与解析1.【解析】由条件可得 ,解

18、得a1.【答案】12.【解析】方程可化为由条件可知9 ,解得k1.【答案】3.【解】(1)设所求双曲线的标准方程为 ,由题意知 , ,从而 ,代入 ,得 ,故双曲线的标准方程为(2) 由两顶点间的距离是6 ,得 ,即.由两焦点的连线被两顶点和中心四等分可得 ,即c6 ,于是.由于焦点所在的坐标轴不确定 ,故所求双曲线的标准方程为或4.【解】(1)依题意 ,双曲线的焦点在x轴上且a ,c2 ,双曲线的标准方程为(2)法一：16420 ,c2 ,F(±2 ,0) ,4 ,. ,双曲线方程为法二：设所求双曲线方程为双曲线过点(3 ,2) ,1 ,解得4或14(舍去)所求双曲线方程为拔高1.

19、无锡期末9、设是等腰三角形 , ,那么以A、B为焦点且过点C的双曲线的离心率为2.盐城三模6以双曲线的右焦点为圆心 ,为半径的圆恰好与双曲线的两条渐近线相切 ,那么该双曲线的离心率为 . 3.南通三模8.在平面直角坐标系中 ,双曲线与抛物线有相同的焦点 ,那么双曲线的两条渐近线的方程为 4.南京三模8设F是双曲线的一个焦点 ,点P在双曲线上 ,且线段PF的中点恰为双曲线虚轴的一个端点 ,那么双曲线的离心率为答案与解析1.五 、课堂小结六 、课后作业根底1.(苏北四市摸底) 5双曲线的一条渐近线方程为 ,那么 2.苏州期末.双曲线的离心率为 3.(常州期末) 4、双曲线C：的一条渐近线经过点P1 ,2 ,那么该双曲线的离心率为4.苏锡常镇调研二5假设双曲线过点 ,那么该双曲线的虚轴长为 答案与解析3.；4.4稳固1.(扬州期末)5双曲线的焦点到渐近线的距离为 2.(扬州期中)6双曲线的一条渐近线与直线平行 ,那么实数 3.泰州期