概率习题答案3

1、 第三章多维随机变虽及其分布 3.1二维随机变量及其分布 习题1 设(X,Y)的分布律为 XY 1 2 3 1 1/6 1/9 1/18 2 1/3a1/9 求a. 分析： dsfsd1f6d54654646 解答： 由分布律性质E?jPij=1,可知 1/6+1/9+1/18+1/3+a+1/9=1, 解得 a=2/9. 习题2(1) 2. 设(X,Y)的分布函数为F(x,y)，试用F(x,y)表示: (1) PaX b,Y c; 解答： PaX b,Y c=F(b,-F(a,c). 习题2(2) 2. 设(X,Y)的分布函数为F(x,y)，试用F(x,y)表示: P0Y b; 解答： P0

2、a,Y a,Y b=F(+ 8 倾a,b). 习题3(1) 3. 设二维离散型随机变量的联合分布如下表： 试求： (1) P12X32,0Y4; 解答： P12X23,0Y4 PX=1,Y=1+PX=1,Y=2+PX=1,Y=3 =PX=1,Y=1+PX=1,Y=2+PX=1,Y=3 =14+0+0=14. 习题3(2) 3. 设二维离散型随机变量的联合分布如下表： 试求： (2) P1 XV 2,3 YW 4; 解答： P1 XV 2,3 0,Y 0=37,X 0=PY 0=47, 求 PmaxX,Y 0. 解答： PmaxX,Y 0=PX,Y 至少一个大丁等丁 0 =PX 0+PY 0PX

3、 0,Y 0 =47+47-37=57. 习题5 (X,Y)只取下列数值中的值： (0,0),(-1,1),(-1,13),(2,0) 且相应概率依次为16,13,112,512，请列出(X,Y)的概率分布表，并写出关丁 Y的边 缘分布. 解答： 因为所给的一组概率实数显然均大丁零，且有 16+13+112+512=1，故所给的一 组实数必是某二维随机变量(X,Y)的联合概率分布.因(X,Y)只取上述四组可能 值，故事件： X=-1,Y=0, X=0,Y=13, X=0,Y=1,X=2,Y=13,X=2,Y=1 均为不可能事件，其概率必为零.因而得到下表： XY 01/31 -1 01/121

4、/3 0 1/600 2 5/1200 (2) PY=0=PX=-1,Y=0+PX=0,Y=0+PX=2,Y=0 =0+16+512=712, 同样可求得 PY=13=112,PY=1=13, 关丁的Y边缘分布见下表： Y 01/31 Pk 7/121/121/3 习题6 设随机向量(X,Y)服从二维正态分布N(0,0,102,102,0)，其概率密度为 f(x,y)=1200 兀 ex2+y2200, 求 PXW Y. 解答： 由丁 PXWY+PXY=1 ,且由正态分布图形的对称性，知 PXY, 故 PXW Y=12. 习题7 设随机变量(X,Y)的概率密度为 f(x,y)=k(6-x-y)

5、,0 x2,2y40,其它, (1) 确定常数k; 求PX1,Y3; 求 PX1.5; (4)求 PX+YW 4. 解答： 如图所示 由/8 +g夹+8f(x,y)dxdy= 1确定常数k. / 02 / 24k傍)dydx=k / 02(6Odx=8k=1, 所以k=18. (2) PX1,Y3= / 01dx / 2318y6dy=38. (3) PX1.5= / 01.5dx18(64-y)dy=2732. (4) PX+Y 4= / 02dx-x128(6-x-y)dy=23. 习题8 已知X和Y的联合密度为 f(x,y)=cxy,0 x 1,y0U,显然 F(x,y)=1; 设 0v

6、 x 1,0 y有 1, F(x,y)=-尹x-代yf(u,v)dudv=4 / 0 xudu / 0yvdv=x2y2. 设 0v x1W F(x,y)=PX 1,Y 1,0 yv有 F(x,y)=PX 1,Y y=4 / 01xdx / 0yvdv=y2. 函数F(x,y)在平面各区域的表达式 F(x,y)=0,x 或 y 0 x2,0 x1x2y2,0 x 1,0 y 习题9 设二维随机变量(X,Y)的概率密度为 f(x,y)=4.8y(2- x),0 x 1,x 归30, 求边缘概率密度fY(y). 解答： fX(x)=-必 +8 f(x,y)dy = / 0 x4.8y)dy,0 x

7、或低=2.4x2(2-x),0 x；10 . fY(y)=-必 +00 f(x,y)dx = / 0y4.8y(2t)dx,0 y ；!低=2.4y(4y- y2),0 y vM0 . 习题10 设(X,Y)在曲线y=x2,y=x所围成的区域G里服从均匀分布，求联合分布密度和边 缘分布密度. 解答： 区域G的面积A=/ 01(xx2)dx=16,由题设知(X,Y)的联合分布密度为 f(x,y)=6,0 v x 1,x2 熨芯 x0, 从而 fX(x)=庐 +8f(x,y)dy=6 / x2xdy=x,0 xW即， fX(x)=6(x- x2),0 x#0, fY(y)=乒 +00f(x,y)d

8、x=6 / yydxy63 y 1, 即 fY(y)=6(y- y),0 yv 其它. 3.2条件分布与随机变量的独立性 习题1 二维随机变量(X,Y)的分布律为 XY 01 01 7/157/307/301/15 (1) 求Y的边缘分布律； 求 PY=0 I X=0,PY=1 I X=0; (3) 判定X与Y是否独立？ 解答： 由(x,y)的分布律知，y只取0及1两个值. Py=0=Px=0,y=0+Px=1,y=0=715+730=0.7 Py=1= i=01Px=i,y=1=130+115=0.3. (2) Py=0 I x=0=Px=0,y=0Px=0=23, Py=1 I x=0=1

9、3. (3) 已知 Px=0,y=0=715,由(1)知 Py=0=0.7,类似可得 Px=0=0.7. 因为Px=0,y=0丰Px=0?Py=0,所以x与y不独立. 习题2 将某一医药公司9月份和8份的宵霉素针剂的订货单分别记为 X与Y.据以往积 累的资料知X和Y的联合分布律为 XY 5152535455 51525 0.060.050.050.010.010.070.050.010.010.010.050.100.100.050.050 35455 .050.020.010.010.030.050.060.050.010.03 (1) 求边缘分布律； (2) 求8月份的订单数为51时，9月

10、份订单数的条件分布律 解答： (1)边缘分布律为 X 5152535455 pk 0.180.150.350.120.20 对应X的值，将每行的概率相加，可得PX=i. 对应Y的值(最上边的一行),将每列的概率相加，可得 PY=j. Y 5152535455 pk 0.280.280.220.090.13 (2)当Y=51时,X的条件分布律为 PX=k I Y=51=PX=k,y=51PY=51=pk,510.28, k=51,52,53,54,55. 歹0表如下： k 5152535455 PX=k 1 Y=51 6/287/285/285/285/28 习题3 已知(X,Y)的分布律如下表

11、所示，试求: 在Y=1的条件下,X的条件分布律； (2)在X=2的条件下,Y的条件分布律. XY 012 012 1/41/8001/301/601/8 解答： 由联合分布律得关丁 X,Y的两个边缘分布律为 X 012 Pk 3/81/37/24 Y 012 Pk 5/1211/241/8 故(1)在Y=1条件下，X的条件分布律为 XI (Y=1) 012 Pk 3/118/110 在X=2的条件下，Y的条件分布律为 Yl (X=2) 012 Pk 4/703/7 习题4 已知(X,Y)的概率密度函数为f(x,y)=3x,0 x1,0yx0,其它，求： (1) 边缘概率密度函数；(2)条件概率

12、密度函数. 解答： fX(x)=-学 +8f(x,y)dy=3x2,0 x10其 它， fY(y)=- 代 +8f(x,y)dx=32(1y2),0y10,其它. (2) 对? y (0,1), fX I Y(x I y)=f(x,y)fY(y)=2x1-y2,yx1,0,其它, 对? x (0,1), fY I X(y I x)=f(x,y)fX(x)=1x,0yx0,其它. 习题5 X与Y相互独立，其概率分布如表(a)及表(b)所示，求(X,Y)的联合概率分布, PX+Y=1, PX+Y 0. X -2-101/2 pi 1/41/31/121/3 表(a) Y - 1/213 Pi 1/

13、21/41/4 表(b) 解答： 由X与Y相互独立知 PX=xi,Y=yi=PX=xiPY=yj), 从而(X,Y)的联合概率分布为 XY -1/2 1 3 -2- PX=-2PY=-1/2PX=-1P PX=-2PY=1PX=-1 PX=-2PY=3PX=-1 101 Y=-1/2PX=0PY=-1/2PX PY=1PX=0PY=1P PY=3PX=0PY=3P /2 =1/2PY=-1/2 X=1/2PY=1 X=1/2PY=3 亦即表 XY -1/213 -2-101/2 P 1/81/161/161/61/121/121/241/481/481/61/121/12 PX+y=1=PX=

14、-2,y=3+PX=0,Y=1=116+148=112, PX+Y 0=1 -PX+Y=0 =1-PX=-1,Y=1-PX=12,Y=-12 =1-112-16=34. 习题6 某旅客到达火车站的时间X均匀分布在早上7:55 8:00,而火车这段时间开出的 时间Y的密度函数为 fY(y)=2(5- y)25,0 y 5低， 求此人能及时上火车站的概率. 解答： 由题意知X的密度函数为 fX(x)=15,0 x 邮官， 因为X与Y相互独立，所以X与Y的联合密度为： fXY(x,y)=2(5- y)125,0 y X= / 05 / x52y5125dydx=13. 习题7 设随机变量X与Y都服从

15、N(0,1)分布，且X与Y相互独立，求(X,Y)的联合概 率密度函数. 解答： 由题意知，随机变量X,Y的概率密度函数分别是 fX(x)=12 T-x22, fY(y)=12 即22 因为X与Y相互独立，所以(X,Y)的联合概率密度函数是 f(x,y)=12 -12(x+y)2. 习题8 设随机变量X的概率密度 f(x)=12e- I x I (-00 x0,各有 PX a, X I a=PX ?P I X I a, 而事件 I X I a? X a,故由上式有 P I X I a=PX 0|P I X I a, ? P I X I 0) 但当a0时，两者均不成立，出现矛盾，故 X与I X I

16、不独立. 习题9 设X和Y是两个相互独立的随机变量，X在(0,1)上服从均匀分布，Y的概率密 度为 fY(y)=12e- y2,y00,y 0, 求X与Y的联合概率密度； 设有a的二次方程a2+2Xa+Y=0,求它有实根的概率. 解答： 由题设易知 fX(x)=1,0 x10,其它， 乂 X,Y相互独立，故X与Y的联合概率密度为 f(x,y)=fX(x) ?fY(y)=12e-y2,0 x00,其它; 因a有实根=判别式 2=4X24Y 0=X2 Y, 故如图所示得到： Pa 有实根=PX2 Y= / / x2yf(x,y)dxdy= / 01dxy20y212e =-/ 0-x22dx=1-

17、户 1ex22dx-即 0ex22dx =1-2 兀12-氏/1ex22dx-12 兀-穴 0ex22dx =1-2 兀-管(0), 乂 (1)=0.8413，(0)=0.5,丁是 (1)(0)=0.3413，所以 Pa 有实根=1-2兀 1 (0)衣151 03413=0.1433. 3.3二维随机变量函数的分布 习题1 设随机变量X和Y相互独立，且都等可能地取1,2,3为值，求随机变量U=maxX,Y 和V=minX,Y的联合分布. 解答： 由丁 U V,可见 PU=i,V=j=0(ij), 丁是，随机变量U和V的联合概率分布为 (4) Z=maxX,Y的分布律. 解答： 与一维离散型随机

18、变量函数的分布律的计算类型，本质上是利用事件及其概率的 运算法则.注意，Z的相同值的概率要合并. 概率 1/101/53/101/51/101/10 试求：(1)Z=X+Y; 习题2 设(X,Y)的分布律为 (X,Y)X+YXYX/Ymax x,Y (-1,-1)(-1,1)(-1,2)(2,-1)(2,1)(2,2)-2011341-1-2-22 41-1-1/2-221112222 丁是 X+Y -20134 Pi 1/101/51/21/101/10 XY -20134 Pi 1/21/51/101/101/10 X/Y -2-1-1/212 Pi 1/51/53/101/51/10 m

19、axX,Y -112 pi 1/101/57/10 习题3 设二维随机向量(X,Y)服从矩形区域D=(x,y I 0 x 2,0 y葡1匀分布，且 U=0,X Y, V=0,X 2Y, 求U与V的联合概率分布. 解答： 依题(U,V)的概率分布为 PU=0,V=0=PX Y,X 2Y=PX Y =f 01dx / x112dy=14, PU=0,V=1=PX 2Y=0, PU=1,V=0=PXY,X 2Y=PYX 2Y =f 01dy / y2y12dx=14, PU=1,V=1 =1-PU=0,V=0-PU=0,V=1-PU=1,V=0=1/2, 即 UV 01 01 1/401/41/2

20、习题4 设(X,Y)的联合分布密度为 f(x,y)=12 -x2+y22,Z=X2+Y2, 求Z的分布密度. 解答： FZ(z)=PZ z=PX2+Y2 z. 当 z0 时，FZ(z)=P(?)=0; 当z 0时， FZ(z)=PX2+Y2 z2= / / x2+y2 00,z00,z 0,y00,其它, (1) 问X和Y是否相互独立？求Z=X+Y的概率密度. 解答： fX(x)=-学 +00 f(x,y)dy =( / 0+0012(x+y)(x+y)dy,x00,x 00,x 00,y 0,y0, 所以X与Y不独立. (2) 用卷积公式求 fZ(z)=-尹 +8f(x,-x)dx. 当x0

21、z-x0 即x0 x0 时，fZ(z)= / 0z12xdx=12z2e-z. 丁是，Z=X+Y的概率密度为 fZ(z)=12z2e-z,z00,z 0. 习题6 设随机变量X,Y相互独立，若X服从(0,1)上的均匀分布，Y服从参数1的指数 分布，求随机变量Z=X+Y的概率密度. 解答： 据题意，X,Y的概率密度分布为 fX(x)=1,0 x 00,y0, 由卷积公式得Z=X+Y的概率密度为 fZ(z)=-尹 +00 fX(x)fY(z-x)dx= -fi +00 fX(zy)fY(y)dy =f 0+8 fX-z)e-ydy. 由 0z-y1 得 z-1yz,可见： 当 zVO时，有 fX(

22、z-y)=0,故 fZ(z)= / 0+0时， fZ(z)= / 0+81-y)E-ydy= / max(O,z)ze-ydy=e-max(0,z-1)-e-z, 即 fZ(z)=0,z V01z,0z 1. 习题7 设随机变量(X,Y)的概率密度为 f(x,y)=be- (x+y),0 x1,0y+ 00如它. (1) 试确定常数b; (2) 求边缘概率密度fX(x),fY(y); (3) 求函数U=maxX,Y的分布函数. 解答： (1) 由 /8 +oc-扣 +oof(x,y)dxdy=1，确定常数 b. / 01dx / 0+-xds-ydy=b(1-e-1)=1 , 所以b=11-e

23、-1,从而 f(x,y)=11-e-1e- (x+y),0 x1,0y+ 0. (2) 由边缘概率密度的定义得 fX(x)= / 0+ -d1e-(x+y)dy=e-x1-e-x,0 x1,0,其它， fY(x)= / 0ie-1e-(x+y)dx=e-y,0y+ 00，贝它 (3) 因为f(x,y)=fX(x)fY(y)，所以X与Y独立，故 FU(u)=PmaxX,Y u=PX u,Y F=(u)FY(u), 其中 FX(x)= / 0 xt!-e-1dt=1-e-x1-e-1,0 x1, 所以 FX(x)=0,x 0-e-x1-e-1,0 x 1. 同理 FY(y)= / 0ytdt=1-

24、e-y,0y+ 00,0,y 季 0 因此 FU(u)=0,u0,(1-e-u)21-e-1,0 u 1. 习题8 设系统L是由两个相互独立的子系统 L1和L2以申联方式联接而成，L1和L2 的寿命分别为X与Y,其概率密度分别为 ? 1(x)= o-a x,x00,x WQ(y)= &$ y,y00,y 0, 6 0, a诱戒系统L的寿命Z的概率密度. 解答： 设 Z=minX,Y,贝U F(z)=PZ z=Pmin(X,Y) z=1- PX z,Y z =1-1PXz1-PYz 00,z 00,z00,z 0. 习题9 设随机变量X,Y相互独立，且服从同一分布，试证明： PaminX

25、,Y a2-PXb2. 解答： 设 minX,Y=乙 WJ PaminX,Y b=FZ(b)FZ(a), FZ(z)=Pmin X,Y z =1-PXz,Yz=1-PXzPYz =1-PXz2, 代入得 PaminX,Y b2-(1-PXa2) =PXa2-PXb2. 证毕. 复习总结与总习题解答 习题1 在一箱子中装有12只开关，其中2只是次品，在其中取两次，每次任取一只， 考虑两种试验：(1)放回抽样；(2)不放回抽样.我们定义随机变量X,Y如下： X=0,若第一次取出的是正品1,若第一次取出的是次品， Y=0,若第二次取出 的是正品1,若第二次取出的是次品， 试分别就(1),(2)两种情

26、况，写出X和Y的联合分布律. 解答： (1) 有放回抽样，(X,Y)分布律如下： PX=0,Y=0=10 X1012 12=2536; PX=1,Y=0=2 X1012 X2=536, PX=0,Y=1=10 212X12=536, PX=1,Y=1=2 X212X2=136, 不放回抽样，(X,Y)的分布律如下： PX=0,Y=0=10 912X11=4566, PX=0,Y=1=10 X212X1=1066, PX=1,Y=0=2 X1012X11=1066, PX=1,Y=1=2 X112X1=166, Y X 01 01 45/6610/6610/661/66 习题2 假设随机变量Y服从参数为1的指数分布，随机变量 Xk=0,若 Y k(k=1,2), 求(X1,X2)的联合分布率与边缘分布率. 解答： 因为Y服从参数为1的指数分布，X1=0,若Y 1,所以有