数列的极限(一个引例)课件

1、 第一章第一章第二节第二节 数列的极限数列的极限一、数列极限的定义一、数列极限的定义二、收敛数列的性质二、收敛数列的性质 目录 上页 下页 返回 结束高等数学高等数学 “一尺之棰，日取其半，万世不竭一尺之棰，日取其半，万世不竭” 庄周庄周1.1.引例：截丈问题引例：截丈问题 11,2x 2x nx 12nnx 0第一天截剩下的部分 第二天截剩下的部分 第 n 天截剩下的部分 3x 一、数列极限的定义一、数列极限的定义 21,2121231,21,2n 目录 上页 下页 返回 结束高等数学高等数学 称为无穷数列，简称数列数列。 其中的每个数称为数列的项， 按自然数 1,2,12,nx xx称为通

2、项(一般项)。 .nxnx如 12n12n2111,2 22n一般项这个引例反映了数列的某种特性： 对数列 无限的接近这个常数 a ， a 称为其极限， 如果存在某个常数 a ，当 n 无限增大时，nx2.2.数列的定义数列的定义 编号依次排列的一列数 ,nx数列记为 否则称为发散数列。 则称这个数列为收敛数列， 目录 上页 下页 返回 结束高等数学高等数学 如 1 2 3,2 3 41nn 1n 1n1 111,2 3n1nn1nn 21,4,9,n 2n2n11,1,1,1,n11n11n一般项 一般项 一般项 一般项 收敛到 01发散 发散 收敛数列的特性特性： 无限地接近无限地接近某个

3、常数 a nx随 n 的无限增大， 目录 上页 下页 返回 结束高等数学高等数学 3.3.数列的变化趋势数列的变化趋势极限极限 观察数列 时的变化趋势 当 111nnn 播放播放播放播放 目录 上页 下页 返回 结束高等数学高等数学 观察数列 时的变化趋势 当 111nnn 目录 上页 下页 返回 结束高等数学高等数学 观察数列 时的变化趋势 当 111nnn 目录 上页 下页 返回 结束高等数学高等数学 观察数列 时的变化趋势 当 111nnn 目录 上页 下页 返回 结束高等数学高等数学 观察数列 时的变化趋势 当 111nnn 目录 上页 下页 返回 结束高等数学高等数学 观察数列 时的

4、变化趋势 当 111nnn 目录 上页 下页 返回 结束高等数学高等数学 观察数列 时的变化趋势 当 111nnn 目录 上页 下页 返回 结束高等数学高等数学 观察数列 时的变化趋势 当 111nnn 目录 上页 下页 返回 结束高等数学高等数学 观察数列 时的变化趋势 当 111nnn 目录 上页 下页 返回 结束高等数学高等数学 观察数列 时的变化趋势 当 111nnn 目录 上页 下页 返回 结束高等数学高等数学 观察数列 时的变化趋势 当 111nnn 目录 上页 下页 返回 结束高等数学高等数学 观察数列 时的变化趋势 当 111nnn 目录 上页 下页 返回 结束高等数学高等数学

5、 观察数列 时的变化趋势 当 111nnn 目录 上页 下页 返回 结束高等数学高等数学 观察数列 时的变化趋势 当 111nnn 目录 上页 下页 返回 结束高等数学高等数学 观察数列 时的变化趋势 当 111nnn 目录 上页 下页 返回 结束高等数学高等数学 1nx 1111nnn通过对演示的观察，得 当 n 无限增大时， 11nnxn 无限接近于1。 问题问题：无限接近意味什么？如何用数学语言刻划它. 两个数 a 和 b 之间的接近程度可以用两数之差的绝对值 ba来度量， 越小，a 与 b 越接近. ba 目录 上页 下页 返回 结束高等数学高等数学 1,100给定 11,100n由

6、100,n 只要 11,100nx 有 1,1000给定 11,1000n由 1000,n 只要 11,1000nx 有 1,10000给定 11,10000n由 10000,n 只要 11,10000nx 有 0,给定 n 只要 1,nx有 定义：定义：设 nx为一数列，如果存在常数 a ，对于任意 nxa记 limnnxanxa n 或 都成立， 或者称数列 nx收敛于a . nx给定的正数 (不论它多么小)，总存在正整数 N ，使得当 时， nN则称 a 是数列 的极限， , N 1 目录 上页 下页 返回 结束高等数学高等数学 limnnxa0,使 时， nNnxa证明 1nx ( 1

7、)1nnn 1n0,欲使 即使 1,n只要 1n因此，取 1,N 则 nN时, 有 故 1limlim1nnnnnxn ( 1),nnnxn 证明数列 nx的极限为1. 例例1 1 已知 思考：思考：取 11N 可不可以？ 0,N成立 1nx成立， 即可。 ( 1)1nnn 成立。 目录 上页 下页 返回 结束高等数学高等数学 注意注意 （1） 的作用在于衡量 与 a 的接近程度，只要求 nx0（2）一经给出，暂看作是固定的，由其决定 N （3）22 ,3 , 也可用 代替， N 时,有10nq故1lim0.nnq亦即ln1.lnnq 1nq例例4 4 设 的极限为 0. 1 lnln ,nq

8、即 ln1lnNq因此，取 目录 上页 下页 返回 结束高等数学高等数学 1.1.收敛数列极限的唯一性收敛数列极限的唯一性证明： （反证法）limnnxa及lim,nnxb且ab取,2ba2nabx假设时， 1nN2nabx时， 2nN12max,NN N取nx满足的不等式矛盾，所以假设不真。定理定理1 1 收敛数列的极限唯一。0,nxa即naxa时， 110,NnN,nxb即nbxb时， 220,NnN时，nN二、收敛数列的性质二、收敛数列的性质 目录 上页 下页 返回 结束高等数学高等数学 2.2.收敛数列的有界性收敛数列的有界性有界性有界性 0,M否则无界。 2n有界，无界定理定理2 2

9、 收敛数列一定有界。 证明 设 lim,nnxa取1,N则当nN时, 从而有1,nxa有取 12max,1,1NMxxxaa则有1,2,nxMn所以数列有界。使对一切,nx有界 成立，则nxM nx如221nn11naxa nx1,a 1a max 目录 上页 下页 返回 结束高等数学高等数学 注意注意 收敛必有界，发散不一定无界无界必发散，有界不一定收敛，1( 1 )n虽有界但不收敛数列 目录 上页 下页 返回 结束高等数学高等数学 0nx ( 0),( 0).3.3.收敛数列的保号性收敛数列的保号性lim,nnxa如果 0a 且0,N则nN当 时， 定理定理3 3 0 ,0 .lim,nn

10、xa且则0a 推论：推论：如果从某项起 0nx 目录 上页 下页 返回 结束高等数学高等数学 且极限是a。 定理定理4 4 如果数列收敛于 a ，则其任一子数列也收敛， nx注意注意 如果数列 有两个子数列收敛于不同极限， nx发散。 nx则 证明数列 发散的方法： nxa. 定义 c. 找到 nx的一个发散子列 d. 找到 nx的两个有不同 11n4.4.收敛数列与其子列的关系收敛数列与其子列的关系 子列：子列：在数列中任意抽取无限多项并保持其在原数列中的 如 1 ,1都是其子列 先后次序，这样得到的数列称为原数列的子数列(或子列)。 b. 无界必发散 极限的子列 目录 上页 下页 返回 结束高等数学高等数学 1. 数列极限的 “ N ” 定义及应用2. 收敛数列的性质:唯一性 ; 有界性 ; 保号性;任一子数列收敛于同一极限小结小结 目录 上页 下页 返回 结束高等数学高等数学 练习：P30 1; 3.(2) (4)3.(2)证明 32nx 313212nn12 21n14n欲使3,2nx只要1,4n即14n则当nN时, 就有3,2nx1,4N取313lim.212nnn313lim212nnn即可0, 目录 上页 下页 返回 结束高等数学高等数学 3.(4)证明1nx 110