完全平方公式解

1、宀完全平方公式讲解第一部分概念导入1.问题：根据乘方的定义，我们知道：a2=a a，那么(a+b)2应该写成什么样的形式呢？(a+b)2的运算结果有什么规律？计算下列各式，你能发现什么规律？(1)(p+1) 2= (p+1)( p+1)=；(m+2) 2(2) ( p-1) 2= (p-1) ( p-1) =；(m-2) 2=;2 学生计算3得到结果：(1)( p+1) 2= (p+1)( p+1) =p2+2p+122(m+2)= ( m+2)( m+2) = m +4m+4(2)( p-1) 2= (p-1)( p-1) = p2-2p+122(m-2)= (m-2)( m-2=m -4m

2、+44 分析推广：结果中有两个数的平方和，而2p=2 p 1 , 4m=2- m- 2，恰好是两个数乘积的二倍。(1)( 2)之间只差一个符号。推广：计算(a+b) 2=(a-b) 2=【2】得到公式，分析公式(1) 结论：(a+b) a2+2ab+b2(a-b)2=a2-2ab+b2 即：两数和(或差)的平方，等于它们的平方和，加(或减)它们的积的2倍.(2) 公式特征左边：二项式的平方右边：二项式中每一项的平方与这两项乘积2倍的和.注意：公式右边2ab的符号取决于左边二项式中两项的符号.若这两项同号，则2ab取“ + ”，若这两项异号，则2ab的符号为“ (3) 公式中字母可代表的含义公式

3、中的a和b可代表一个字母，一个数字及单项式.(4) 几何解释图1 5图1 5中最大正方形的面积可用两种形式表示：©(a+ b) 2 a2+2ab+b2,由于这两个代数式表示同一块面积，所以应相等，即(a+ b) 2 = a2+ 2ab + b2因此，用几何图形证明了完全平方公式的正确性.【学习方法指导】例1计算(1)( 3a + 2b) 2(2)( mn n2) 2点拨：运用完全平方式的时候，要搞清楚公式中a，b在题目中分另M弋表什么，在展开的过程中要把它们当作整体来做，适当的地方应打括号，如：进行平方的时候同时应注意公式中2ab的符号.解：(1)( 3a + 2b) 2=( 3a)

4、 2+ 2 ( 3a)( 2b) + ( 2b) 2= 9a2+ 12ab + 4b2注意：(2)中n2的指数2与公式中b2的二次方所代表含义不同，所以在展开过程中不要漏掉“二次方”.例2计算(1)( m n) 2( 2)( 5a 2)( 5a + 2)点拨：(1 )可直接用完全平方公式由于一 m与一n是同号，所以公式中的 2ab取“ + ”( 2)中两个二项 式虽然不同，但若将第一个括号中的“一”提出，则剩下的两个括号里的项完全相同，可利用完全平方公式进行计 算.解：(1)( m n) 2=(-m) 2+ 2 (- m)(- n) + ( n) 2=m2 + 2mn + n2(2)( 5a

5、2)( 5a+ 2)=(5a+ 2)(5a + 2)=(5a+ 2) 2=(25a2 + 20a + 4)=25a2 20a 4小结：由(2)可知，将两个二项式相乘，两个括号里的每一项都相反的话，可先作适当调整，再利用完全平方 公式进行计算.例3计算(1) ( x 2y) 2 ( x y)( x+ y)(2) ( m n)( m2 n2)( m+ n)点拨：(1)可分别应用平方差公式与完全平方公式进行乘法运算，再化简.(2 )可先利用平方差公式将 m n与m+ n相乘，再将所得结果 m2 n2与中间括号里的 m2 n2相乘，可利用完全平方公式.解：(1)( x 2y) 2 ( x y)( x

6、+ y)= (x2 4xy+ 4y2) ( x2 y2)=x2 4xy + 4, x2 + y2=4xy+ 5y2(2)( m n)( m2 n2)( m+ n)= (m n)( m+ n)( m2 n2)= (m2 n2)( m2 n2)=(m2) 2 2 m2 n2+( n2) 2=m4 2m2n2 + n4说明：这两题在能用公式的地方尽量用公式，是因为应用公式可以简化运算，若想不到，用多乘多也可.例 4】计算：(x+ y)2( xy)22 2点拨：第一种方法是利用完全平方公式直接展开，第二种方法是可利用平方差公式逆运算：a2 b2=( a + b)(a b)，将此题转化为平方差公式进行计

7、算.解法一：(x+ y ) 2( x ) 22 22 2yy=(x2+xy+) ( x2 xy +)442 2=x2 + xy+ x2+ xy44=2xy解法二：例 5计算：(a 2b + 1)( a + 2b 1)点拨：此题“三项式乘三项式”，且这两个括号中的三项只有符号不同先找出两个括号中完全相同的项放在 一起，再把互为相反数的项放在一起，构成(a + b)( a b)的形式，利用平方差公式进行简化运算.关键：此题最重要一步就是由到的过程转化，要保证代数式在形式发生变化的同时，大小不变！随堂练习一、选择题1 下列运算中，正确的是()2.3.4.A. 3a+2b=5abB.( a- 1) 2

8、=a2- 2a+1C. a6乜3=a2下列运算中，利用完全平方公式计算正确的是（A .( x+y) 2=x2+y2(x-y) 2=x2-y2D.( a4) 5=a9C.(- x+y) 2=x2- 2xy+y 2下列各式计算结果为 2xy - x2- y2的是A . ( x-y) 2B . (- x-y) 2若等式（x-4） 2=x2- 8x+m2成立，则A . 16二、填空题5.(-x-2y)6.若(3x+4y)2= ( 3x- 4y) 2+B，贝U B=7.右 a b=3,ab=2，贝U a2+b2=8.-!y) 2=9x2-xy+.34三、解答题9 利用完全平方公式计算：（1） 20082

9、；(-x y)2=x2- 2xy+y2C.-( x+y) 2m的值是（）C.- 410. 先化简，再求值：（2x- 1）（ x+2）-（ x -2）11. 利用公式计算：196212某正方形边长13.已知 x+y=1，D.-( x-y)D. 4 或-42= a2- 6ab+16(2) 782.2 -( x+2) 2,其中 x= - 13a cm，若把这个正方形的边长减小 3 cm，则面积减少了多少?求 1 x2+xy+ 1 y2 的值.2 21 1 114. 已知a+=5，分别求a2+亍，(a-) 2的值aaa15. 为了扩大绿化面积，若将一个正方形花坛的边长增加3米，？则它的面积就增加边长.

10、39平方米，求这个正方形花坛的16小明在计算2009200822 22009200720092009-时，找不到计算器，去向小华借,2小华看了看题说根本不需要用计算器，而且很快说岀了答案你知道他是怎么做的吗?17. 已知：a + b=- 5，ab =-6，求 a2+ b2.18. 利用公式计算：992 - 119.计算(1) (ab 1)(ab1) ；(2) ( 2x 3)(2x3)；2(3) 102;(5) (a b2(4) 99 .1)(a b 1) ; (6) (m 2np)2.20. 一个正方形的边长增加3cm,它的面积就增加239 cm2 ,这个正方形的边长是多少？21.当 a1,b

11、1时,求(3a2b)(3a2b) (a22b)2的值22.求证：当n为整数时，两个连续奇数的平方差(2n 1)2(2n1)2是8的倍数23.观察下列等式：1202 1, 22123, 32225 , 42327 ,请用含自然数n的等式表示这种规律为： .2 224.已知4x Mxy 9y是一个完全平方式，求M的值.年12月1日是星期四，请问：再过20052天的后一天是星期几？答案、1. B2. C点拨：(x+y)2=x2+2xy+y2,所以 A不正确；(x y2 =x2 2xy+y2，所以 B 不正确；(x+y)2=( x)2+2( x)y+y2=x2 2xy+y2,所以C正确；(x y) 2

12、= (x+y) 2=x2+2xy+y2，所以 D 也不正确，故选 C .3. D4. D 点拨：因为(x 4) 2=2 8x+16，所以若(x 4)冬2 8x+m2成立，则m2=16,从而得m=±4,故选D.、5. x+4xy+4y2 点拨：(x 2y) 2=( x+2y) 2= (x+2y) 2=x+4xy+4y2.6. 48xy 点拨：B= (3x+4y ) 2( 3x 4y) 2=9x2+24xy+16y2( 9x2 24xy+16y2) ?=?9x2+?24xy+16y2 92+24xy 16y2=48xy .7. 13 点拨：因为 a b=3, ab=2,所以 a2+b2=

13、 (a b) 2+2ab=32+2>2=9+4=13 .312328. x;y ;a 4b;16b2294三、9. 解：(1) 20082= (2000+8) 2=20002+2X2000 >8+82 =4000000+32000+64=4032064;(2) 782= (80 2) 2=802 2 X80X2+22=6400 320+4=6084.10. 解：(2x 1)( x+2 ) ( x 2) 2 (x+2 ) 2=2x2+4x x 2( x2 4x+4) ( x2+4x+4)=2x2+3x 2 x2+4x-4 x2- 4x 4=3x 10.11当 x= 时，原式=3X （

14、 _ ） 10= 1 10= 11.3311. 思路：196接近整数200,故196= 200 4，则此题可化为（200 4） 2,利用完全平方公式计算.解：1962=(2004) 2=2002 2X 200x 4+ 42=400001600+16=38416 说明：I .可转化为完全平方的形式的数必须较接近一个整数才较易进行计算.12. 思路：先分别表示出新旧正方形的边长， 再根据“正方形面积=边长X边长”，表示出两个正方形的面积，用“大-小”即可得出所求.计 算的关键在完全平方式的展开.解：原正方形面积：a2现正方形面积：（a 3） 2面积减少了 a2( a 3) 2 =a2( a2 6a

15、 + 9)= a2 a2+ 6a 9 =(6a 9)( cm2)答：面积减少了（ 6a 9） cm2.13.解：因为 x+y=1，所以(x+y) 2=1，即 x2+2xy+y2=1 .11111所以，+ y - (x2+2xy+y2) = X1 = 22222点拨：通过平方将已知条件转化为完全平方公式，从而巧妙求值.14.因为 a+1=5,所以 a= (a+1 2)=52-2=23,a aa1所以(a)a1 12=a2+ 2 =23 2=21.2点拨：注意公式的一些变形形式,例如：a2+b2= (a+b) 2 2ab,sF+b2= (a b) 2+2ab,( a+b) 2= (a b) 2+4

16、ab,( a b) 2= (a+b) 2a4ab等等.15.解：设这个正方形花坛的边长为x米，依题意列方程得，（x+3）2 x2=39, ?即 x2+6x+9 x2=39 , 6x=30 , x=5 .答：这个正方形花坛的边长为 5米.点拨：适当引进未知数，？根据题中的相等关系得到方程，解方程即可.16. 解：知道，做法如下:2009200822009200822 2= 2 220092007200920092 (20092008 1)(200920081)22200920082 2200920082 20092008 1200920082 20092008 1 220092008212 =2

17、 200920082点拨：由 2=()2，2=() 2，运用完全平方公式化简即可17. 点拨：同时存在a+ b, ab, a2+ b2的公式为完全平方公式(a+ b) 2 = a2 + 2ab+ b2,将题目中所给条件分别看作整体，代入公式即可.注意：1.不要分别求出 a和b,运算繁琐.n.若已知a+ b (或a-b), ab, a2 + b2中的二者，都可利用完全平方公式求出第三者.解：a2 + b2=( a+ b) 2 2ab当 a+ b= 5, ab= 6 时原式=(5) 2 2X( 6)= 25 + 12= 37 .18. 点拨：可分别用完全平方公式或平方差公式两种方法得到相同的答案.

18、19. 【点拨】(1)符合平方差公式的特征，只要将 ab看成是a, 1看成是b来计算.(2) 利用加法交换律将原式变形为 ( 32x)( 32x) ,然后运用平方差公式计算 .22(3) 可将 1022 改写为 (1002)2, 利用两数和的平方公式进行简便运算 .22(4) 可将 99 改写为 (1001) ,利用两数差的平方公式进行简便运算 .解：(1) (ab 1)(ab 1)=(ab)21a2b21；( 2)( 2x 3)(2x 3)= ( 32x)( 32x)=(223)2(2x)29 4x2 ；( 3)1022 = (100 2)2=10022 1002 2210000 4004

19、10404 ；( 4)992 =(100 1)2 =10022100 11 10000 200 19801.【点拨】 (5,6)两个因式中都含有三项,把三项看成是两项,符号相同的看作是一项,符号相反的看作是一项,运用公式计算,本题 可将 (a b) 看作是一项 .先将三项看成是两项,用完全平方公式,然后再用完全平方公式计算 .解： (5) (a b1)(a b 1) =(a b)1(a b)1 (ab)21a22ab b21；2 2 2 2(6) (m 2np)2=(m 2n) p2(m 2n)22 (m2n)pp2=m2 4mn 4n2 2mp 4np p2 .【点评】 1.在运用平方差公式

20、时 ,应分清两个因式中是不是有一项完全相同 ,有一项互为相反数 ,这样才可以用平方差公式, 否则不能用； 2. 完全平方公式就是求一个二项式的平方,其结果是一个完全平方式,两数和或差的平方,等于这两个数的平方和,加上或减去这两个数2 2 2 2 2 2乘积的2倍，在计算时不要发生：(a b) a b或(a b) a b这样的错误；3.当因式中含有三项或三项以上时 要适当的分组,看成是两项，用平方差公式或完全平方公式.20. 【点拨】如果设原正方形的边长为 xcm,根据题意和正方形的面积公式可列出方程求解 .22解：设原正方形的边长为xcm,则(x 3) x 3922即 x 6x 9 x 39，解得 x=5.答:这个正方形的边长是 5cm.21. 【点拨】先用乘法公式计算,去括号、合并同类项后，再将 a、b的值代入计算出结果.解： (3a 2b)(3a 2b) (a 2b)2 9a2 4b2 (a2 4ab 4b2 )2 2 2 2 2 2