第4讲 差分方程方法

1、12021年年12月月23日日 常系数线性差分方程；常系数线性差分方程； 差分方程的平衡点及其稳定性；差分方程的平衡点及其稳定性； 连续模型的差分方法；连续模型的差分方法； 案例分析：最优捕鱼问题。案例分析：最优捕鱼问题。 差分方程基本知识差分方程基本知识v 1、差分方程：、差分方程： 差分方程反映的是关于离散变量的取值与差分方程反映的是关于离散变量的取值与变化规律。通过建立一个或几个离散变量取值所满足的平变化规律。通过建立一个或几个离散变量取值所满足的平衡关系，从而建立差分方程。衡关系，从而建立差分方程。 v 差分方程就是针对要解决的目标，引入系统或过程中的离差分方程就是针对要解决的目标，引

2、入系统或过程中的离散变量，根据实际背景的规律、性质、平衡关系，建立离散变量，根据实际背景的规律、性质、平衡关系，建立离散变量所满足的平衡关系等式，从而建立差分方程。通过散变量所满足的平衡关系等式，从而建立差分方程。通过求出和分析方程的解，或者分析得到方程解的求出和分析方程的解，或者分析得到方程解的 特别性质特别性质（平衡性、稳定性、渐近性、振动性、周期性等），从而（平衡性、稳定性、渐近性、振动性、周期性等），从而把握这个离散变量的变化过程的规律，进一步再结合其他把握这个离散变量的变化过程的规律，进一步再结合其他分析，得到原问题的解。分析，得到原问题的解。引例引例1： Fibonacci 数列数

3、列 13世纪意大利著名数学家世纪意大利著名数学家Fibonacci在他的著作在他的著作算盘书算盘书中记载着这样一个有趣的问题：中记载着这样一个有趣的问题： 一对刚出生的幼兔经过一个月可长成成兔，成兔再经过一一对刚出生的幼兔经过一个月可长成成兔，成兔再经过一个月后可以繁殖出一对幼兔个月后可以繁殖出一对幼兔. 若不计兔子的死亡数，问一年之若不计兔子的死亡数，问一年之后共有多少对兔子？后共有多少对兔子？月份月份 0 1 2 3 4 5 6 7 幼兔幼兔 1 0 1 1 2 3 5 8 成兔成兔 0 1 1 2 3 5 8 13 总数总数 1 1 2 3 5 8 13 21 将兔群总数记为将兔群总数记

4、为 fn, n=0,1,2,，经过观察可以发现，数列，经过观察可以发现，数列fn满足下列递推关系：满足下列递推关系： f0 = f1 =1, fn+2 = fn+1 + fn , n=0,1,2, 这个数列称为这个数列称为Fibonacci数列数列. Fibonacci数列是一个十分有趣数列是一个十分有趣的数列，在自然科学和数学领域中都有着广泛的应用的数列，在自然科学和数学领域中都有着广泛的应用. Fibonacci数列的一些实例数列的一些实例. 1. 蜜蜂的家谱蜜蜂的家谱 2. 钢琴音阶的排列钢琴音阶的排列 3. 树的分枝树的分枝 4. 杨辉三角形杨辉三角形引例引例2：日常的经济问题中的差分

5、方程模型：日常的经济问题中的差分方程模型 假如你在银行开设了一个假如你在银行开设了一个1000元的存款账户，银行的年利元的存款账户，银行的年利率为率为7%. 用用an表示表示n年后你账户上的存款额，那么下面的数列年后你账户上的存款额，那么下面的数列就是你每年的存款额：就是你每年的存款额： a0, a1, a2, a3, , an, 设设r为年利率，由于为年利率，由于an+1=an+r an, 因此存款问题的数学模型因此存款问题的数学模型是：是： a0=1000, an+1=(1+r)an, n=1,2,3, 从从1994年开始，我国逐步实行了大学收费制度年开始，我国逐步实行了大学收费制度. 为

6、了保障子女为了保障子女将来的教育费用，小张夫妇从他们的儿子出生时开始，每年向将来的教育费用，小张夫妇从他们的儿子出生时开始，每年向银行存入银行存入x元作为家庭教育基金元作为家庭教育基金. 若银行的年利率为若银行的年利率为r，试写出第，试写出第n年后教育基金总额的表达式年后教育基金总额的表达式. 预计当子女预计当子女18岁入大学时所需的岁入大学时所需的费用为费用为100000元，按年利率元，按年利率3%计算，小张夫妇每年应向银行存计算，小张夫妇每年应向银行存入多少元入多少元? 设设n年后教育基金总额为年后教育基金总额为an，每年向银行存入，每年向银行存入x元，依据复利元，依据复利率计算公式，得到

7、家庭教育基金的数学模型为：率计算公式，得到家庭教育基金的数学模型为： a0=x, an+1=(1+r)an+x, n=0,1,2,3, 小李夫妇要购买二居室住房一套，共需小李夫妇要购买二居室住房一套，共需30万元万元. 他们已经筹他们已经筹集集10万元，另外万元，另外20万元申请抵押贷款万元申请抵押贷款. 若贷款月利率为若贷款月利率为0.6%，还贷期限为还贷期限为20年，问小李夫妇每月要还多少钱？年，问小李夫妇每月要还多少钱？ 设贷款额为设贷款额为a0，每月还贷额为，每月还贷额为x，月利率为，月利率为r，第，第n个月后的欠个月后的欠款额为款额为an，则，则 a0=200000, a1=(1+r

8、)a0-x, a2=(1+r)a1-x, an=(1+r)an-1-x, n=1,2,3,二二. 差分的概念与性质差分的概念与性质一般地，在连续变化的时间的范围内，变量一般地，在连续变化的时间的范围内，变量 y关于时间关于时间 t的变化率是用的变化率是用 dydt来刻画的；来刻画的； 对离散型的变量对离散型的变量 , y我们常用在我们常用在规定时间区间上的差商规定时间区间上的差商 yt来刻画变量来刻画变量 y的变化率的变化率.如果取如果取 1t ，则，则 (1)( )yy ty t 可以近似表示变量可以近似表示变量 y的变化率的变化率.由此我们给出差分的定义由此我们给出差分的定义.定义定义1

9、( )tyy tttyy1tytytytttyyy1)() 1()(tytytyty2.2)()()(1211212tttttttttttyyyyyyyyyyy设函数设函数，称改变量，称改变量为函数为函数的差分，也称为函数的差分，也称为函数的一阶差分，记为的一阶差分，记为，即，即 或或 一阶差分的差分一阶差分的差分称为二阶差分，即称为二阶差分，即类似地可定义三节差分，四阶差分，等等类似地可定义三节差分，四阶差分，等等.ty1nntnyintniinitntntnyCyyy0111) 1(一般地，函数一般地，函数的的阶差分的差分称为阶差分的差分称为阶差分，记为阶差分，记为，即，即 二阶及二阶以上

10、的差分统称为高阶差分二阶及二阶以上的差分统称为高阶差分.2tyttyty2ty312) 1()(222ttttyt2) 12( 1) 1(2) 12()(222ttttyt022)(23ttyy例例1 设设，求，求，解解 . 1),1()2)(1()0()( tntttttn)(nt) 1()2)(1()( ntttttynt( )( )(1)(1) (1)(11)nntytttt ttn )1()2() 1()1() 1( nntntttntt例例2 设设求求解解 设设，则，则.(1)(2)(1)t ttntn )()(为常数CyCCyttttttzyzy)（ttttttzyyzzy1)（)

11、0()1tttttttttzzzzyyzzy（差分满足以下性质：差分满足以下性质：（2）（3）（4）（1）ttty32)3() 1(3)3(222ttttttty)362(332) 1() 12(322ttttttt例例3 求求解解 由差分的运算性质，有由差分的运算性质，有.的差分的差分.1 差分方程的概念差分方程的概念ty, 0),(2 tntttyyyytF,.0),(21 nttttyyyytG定义定义2 含有未知函数含有未知函数的差分的方程称为差分方程的差分的方程称为差分方程. 或或 差分方程中所含未知函数差分的最高阶数称为该差分方程的阶差分方程中所含未知函数差分的最高阶数称为该差分方

12、程的阶差分方程的一般形式：差分方程的一般形式：定义定义3 满足差分方程的函数称为该差分方程的解满足差分方程的函数称为该差分方程的解.21ttyytyt222) 1(21ttyytttyt2CCtyt 221ttyy例如，对于差分方程例如，对于差分方程，将，将代入方程有代入方程有 故故是该方程的解，易见对任意的常数是该方程的解，易见对任意的常数都是差分方程都是差分方程的解的解.如果差分方程的解中含有相互独立的任意常数的个数恰好如果差分方程的解中含有相互独立的任意常数的个数恰好等于方程的阶数，则称这个解是差分方程的通解等于方程的阶数，则称这个解是差分方程的通解.定义定义4 若差分方程中所含未知函数

13、及未知函数的各阶差分均若差分方程中所含未知函数及未知函数的各阶差分均为一次，则称该差分方程为线性差分方程为一次，则称该差分方程为线性差分方程. 其一般形式为其一般形式为)()()()(1111tfytaytaytaytntnntnttntntyyy,1 其特点是其特点是都是一阶的都是一阶的.182021年年12月月23日日 1. 1.常系数线性齐次差分方程常系数线性齐次差分方程 192021年年12月月23日日 (1) (1) 特征根为单根特征根为单根 1.常系数线性齐次差分方程常系数线性齐次差分方程 202021年年12月月23日日 (2) (2) 特征根为重根特征根为重根 1.常系数线性齐

14、次差分方程常系数线性齐次差分方程 212021年年12月月23日日 (3) (3) 特征根为复根特征根为复根 1.常系数线性齐次差分方程常系数线性齐次差分方程 222021年年12月月23日日 2. 2.常系数线性非齐次差分方程常系数线性非齐次差分方程 232021年年12月月23日日 2. 2.常系数线性非齐次差分方程常系数线性非齐次差分方程 242021年年12月月23日日 1. 1. 一阶线性常系数差分方程的平衡点一阶线性常系数差分方程的平衡点252021年年12月月23日日 2. 2. 一阶线性常系数差分方程组的平衡点一阶线性常系数差分方程组的平衡点262021年年12月月23日日 3

15、. 3.二阶线性常系数差分方程的平衡点二阶线性常系数差分方程的平衡点 4. 4.一阶非线性差分方程的平衡点一阶非线性差分方程的平衡点272021年年12月月23日日282021年年12月月23日日 1. 1. 微分的差分方法微分的差分方法292021年年12月月23日日 2. 定积分的差分方法定积分的差分方法 302021年年12月月23日日 2. 定积分的差分方法定积分的差分方法 10)21()(nkbahkafhdxxf (1)(1)复化的矩形公式：复化的矩形公式：312021年年12月月23日日 2. 定积分的差分方法定积分的差分方法 类似地：类似地：复化辛甫生（复化辛甫生（Simpso

16、n）公式）公式;复化柯特斯（复化柯特斯（Cotes）公式等。）公式等。 （详见教材）（详见教材） （2 2）复化梯形公式：）复化梯形公式：322021年年12月月23日日 1. 问题的提出问题的提出 假设鳀鱼可分为假设鳀鱼可分为4 4个年龄组：称个年龄组：称 1 1、2 2、3 3、4 4 龄鱼。龄鱼。各年龄组每条鱼的平均重量分别为各年龄组每条鱼的平均重量分别为5.075.07，11.5511.55，17.8617.86，22.99(22.99(克）；各年龄组鱼的自然死亡率均为克）；各年龄组鱼的自然死亡率均为0.8(1/0.8(1/年）；年）；这种鱼为季节性集中产卵繁殖，产卵孵化期为每年的最这

17、种鱼为季节性集中产卵繁殖，产卵孵化期为每年的最后后4 4个月，平均每条个月，平均每条4 4龄鱼的产卵量为龄鱼的产卵量为 ( (个），个），3 3龄鱼的产卵量为这个数的一半，龄鱼的产卵量为这个数的一半，2 2龄龄和龄鱼不产卵。和龄鱼不产卵。 卵孵化并成活为卵孵化并成活为1 1龄鱼，成活率（龄鱼，成活率（1 1龄鱼条数与产卵龄鱼条数与产卵量量n n之比）为之比）为 51009.11n11111022. 11022. 1332021年年12月月23日日 渔业部门规定，每年只允许在产卵孵化期渔业部门规定，每年只允许在产卵孵化期前的个月内进行捕捞作业。如果每年投入的捕前的个月内进行捕捞作业。如果每年投入

18、的捕捞能力固定不变，即捞能力固定不变，即固定努力量固定努力量捕捞，这时单位捕捞，这时单位时间捕捞量将与各年龄组鱼群条数成正比，比例时间捕捞量将与各年龄组鱼群条数成正比，比例系数称为系数称为捕捞强度系数捕捞强度系数。 通常使用通常使用13mm13mm网眼的拉网，这种网只能捕捞网眼的拉网，这种网只能捕捞3,43,4龄鱼，其两个捕捞系数之比为龄鱼，其两个捕捞系数之比为0.42:10.42:1。 1. 问题的提出问题的提出342021年年12月月23日日（1 1）建立数学模型分析如何实现可持续性捕捞）建立数学模型分析如何实现可持续性捕捞( (即即每年开始捕捞时渔场中各年龄组鱼群条数不变），每年开始捕捞

19、时渔场中各年龄组鱼群条数不变），并且在此前提下得到最高的年收获量（总重量）。并且在此前提下得到最高的年收获量（总重量）。 1. 问题的提出问题的提出352021年年12月月23日日 2. 模型的假设模型的假设（3 3）所有鱼都在每年最后四个月内完成产卵孵化）所有鱼都在每年最后四个月内完成产卵孵化的过程，成活的幼鱼在下一年初成为一龄鱼；的过程，成活的幼鱼在下一年初成为一龄鱼；（4 4）产卵发生于后四个月之初，产卵鱼的自然死）产卵发生于后四个月之初，产卵鱼的自然死亡发生于产卵之后；亡发生于产卵之后；（1 1）只考虑鱼的繁殖和捕捞的变化，不考虑鱼群迁）只考虑鱼的繁殖和捕捞的变化，不考虑鱼群迁入与迁出

20、；入与迁出；（2 2）各龄鱼在一年的任何时间都会发生自然死亡；）各龄鱼在一年的任何时间都会发生自然死亡； 2. 模型的假设模型的假设（6 6）四龄以上的鱼全部死亡；）四龄以上的鱼全部死亡；（7 7）采用）采用固定努力量捕捞固定努力量捕捞即捕捞的速率正比于即捕捞的速率正比于捕捞时各龄鱼群的条数，比例系数为捕捞时各龄鱼群的条数，比例系数为捕捞强度系捕捞强度系数数。（5）相邻两个年龄组的鱼群在相邻两年之间的）相邻两个年龄组的鱼群在相邻两年之间的变化是连续的变化是连续的; 362021年年12月月23日日372021年年12月月23日日 3. 模型的建立与求解模型的建立与求解（1 1）无捕捞时鱼群的自

21、然增长模型）无捕捞时鱼群的自然增长模型！无捕捞时无捕捞时鱼群会无限鱼群会无限的增长吗的增长吗？No!I dont know!各龄鱼都不会无限地增长！各龄鱼都不会无限地增长！382021年年12月月23日日 （1）无捕捞时鱼群的自然增长模型）无捕捞时鱼群的自然增长模型3、模型的建立与求解、模型的建立与求解392021年年12月月23日日 (2) 固定努力量捕捞下鱼群的增长和捕捞模型固定努力量捕捞下鱼群的增长和捕捞模型3、模型的建立与求解、模型的建立与求解402021年年12月月23日日 (2) 固定努力量捕捞下鱼群的增长和捕捞模型固定努力量捕捞下鱼群的增长和捕捞模型3、模型的建立与求解、模型的建

22、立与求解412021年年12月月23日日1) 鱼群的增长规律求解求解(1)，(2)，并利用连续条件，并利用连续条件(3) tktktxEqtrxdttdxiiii),()()()( （1） 1),()(kttktrxdttdxii （2） 3 ,2, 1),1()1(,)0(1ikxkxxxiiii （3） 422021年年12月月23日日2) 2) 捕捞量捕捞量432021年年12月月23日日3) 可持续性捕捞模型442021年年12月月23日日3) 可持续性捕捞模型452021年年12月月23日日3) 可持续性捕捞模型462021年年12月月23日日3) 可持续性捕捞模型472021年年1

23、2月月23日日3) 可持续性捕捞模型482021年年12月月23日日3) 可持续性捕捞模型492021年年12月月23日日!说明说明：问题（），请自己考虑。问题（），请自己考虑。1 市场经济中的蛛网模型市场经济中的蛛网模型2 减肥计划减肥计划节食与运动节食与运动差分方程模型实例差分方程模型实例1 市场经济中的蛛网模型市场经济中的蛛网模型问问 题题供大于求供大于求现现象象商品数量与价格的振荡在什么条件下趋向稳定商品数量与价格的振荡在什么条件下趋向稳定当不稳定时政府能采取什么干预手段使之稳定当不稳定时政府能采取什么干预手段使之稳定价格下降价格下降减少产量减少产量增加产量增加产量价格上涨价格上涨供不

24、应求供不应求描述商品数量与价格的变化规律描述商品数量与价格的变化规律数量与价格在振荡数量与价格在振荡蛛蛛 网网 模模 型型gx0y0P0fxy0 xk第第k时段商品数量；时段商品数量；yk第第k时段商品价格时段商品价格消费者的需求关系消费者的需求关系)(kkxfy 生产者的供应关系生产者的供应关系减函数减函数增函数增函数供应函数供应函数需求函数需求函数f与与g的交点的交点P0(x0,y0) 平衡点平衡点一旦一旦xk=x0，则，则yk=y0, xk+1,xk+2,=x0, yk+1,yk+2, =y0 )(1kkyhx)(1kkxgyxy0fgy0 x0P0设设x1偏离偏离x0 x1x2P2y1

25、P1y2P3P4x3y332211xyxyx0321PPPP00,yyxxkkP0是稳定平衡点是稳定平衡点P1P2P3P4P0是不稳定平衡点是不稳定平衡点gfKKxy0y0 x0P0fg)(kkxfy )(1kkyhx)(1kkxgy00,yyxxkk gfKK曲线斜率曲线斜率蛛蛛 网网 模模 型型0321PPPP )(kkxfy )(1kkyhx在在P0点附近用直线近似曲线点附近用直线近似曲线)0()(00 xxyykk)0()(001yyxxkk)(001xxxxkk)()(0101xxxxkk1P0稳定稳定P0不稳定不稳定0 xxkkxfKgK/1)/ 1()/ 1(1方方 程程 模模

26、型型gfKKgfKK方程模型与蛛网模型的一致方程模型与蛛网模型的一致)(00 xxyykk 商品数量减少商品数量减少1单位单位, 价格上涨幅度价格上涨幅度)(001yyxxkk 价格上涨价格上涨1单位单位, (下时段下时段)供应的增量供应的增量考察考察 , 的含义的含义 消费者对需求的敏感程度消费者对需求的敏感程度 生产者对价格的敏感程度生产者对价格的敏感程度 小小, 有利于经济稳定有利于经济稳定 小小, 有利于经济稳定有利于经济稳定结果解释结果解释xk第第k时段商品数量；时段商品数量；yk第第k时段商品价格时段商品价格1经济稳定经济稳定结果解释结果解释经济不稳定时政府的干预办法经济不稳定时政

27、府的干预办法1. 使使 尽量小，如尽量小，如 =0 以行政手段控制价格不变以行政手段控制价格不变2. 使使 尽量小，如尽量小，如 =0靠经济实力控制数量不变靠经济实力控制数量不变xy0y0gfxy0 x0gf结果解释结果解释需求曲线变为水平需求曲线变为水平供应曲线变为竖直供应曲线变为竖直2/ )(0101yyyxxkkk模型的推广模型的推广 生产者根据当前时段和前一时生产者根据当前时段和前一时段的价格决定下一时段的产量。段的价格决定下一时段的产量。)(00 xxyykk生产者管理水平提高生产者管理水平提高设供应函数为设供应函数为需求函数不变需求函数不变, 2 , 1,)1 (22012kxxx

28、xkkk二阶线性常系数差分方程二阶线性常系数差分方程x0为平衡点为平衡点研究平衡点稳定，即研究平衡点稳定，即k, xkx0的条件的条件)(1kkyhx211kkkyyhx48)(22, 1012)1 (22xxxxkkk方程通解方程通解kkkccx2211(c1, c2由初始条件确定由初始条件确定) 1, 2特征根，即方程特征根，即方程 的根的根 022平衡点稳定，即平衡点稳定，即k, xkx0的条件的条件:12,12平衡点稳定条件平衡点稳定条件比原来的条件比原来的条件 放宽了放宽了122, 1模型的推广模型的推广2 减肥计划减肥计划节食与运动节食与运动背背景景 多数减肥食品达不到减肥目标，或

29、不能维持多数减肥食品达不到减肥目标，或不能维持 通过控制饮食和适当的运动，在不伤害身体通过控制饮食和适当的运动，在不伤害身体的前提下，达到减轻体重并维持下去的目标的前提下，达到减轻体重并维持下去的目标分分析析 体重变化由体内能量守恒破坏引起体重变化由体内能量守恒破坏引起 饮食（吸收热量）引起体重增加饮食（吸收热量）引起体重增加 代谢和运动（消耗热量）引起体重减少代谢和运动（消耗热量）引起体重减少 体重指数体重指数BMI=w(kg)/l2(m2). 18.5BMI25 超重超重; BMI30 肥胖肥胖.模型假设模型假设1）体重增加正比于吸收的热量）体重增加正比于吸收的热量每每8000千卡增加体重

30、千卡增加体重1千克；千克；2）代谢引起的体重减少正比于体重）代谢引起的体重减少正比于体重每周每公斤体重消耗每周每公斤体重消耗200千卡千卡 320千卡千卡(因人而异因人而异), 相当于相当于70千克的人每天消耗千克的人每天消耗2000千卡千卡 3200千卡；千卡；3）运动引起的体重减少正比于体重，且与运动）运动引起的体重减少正比于体重，且与运动形式有关；形式有关； 4）为了安全与健康，每周体重减少不宜超过）为了安全与健康，每周体重减少不宜超过1.5千克，每周吸收热量不要小于千克，每周吸收热量不要小于10000千卡。千卡。某甲体重某甲体重100千克，目前每周吸收千克，目前每周吸收20000千卡热

31、量，千卡热量，体重维持不变。现欲减肥至体重维持不变。现欲减肥至75千克。千克。第一阶段：每周减肥第一阶段：每周减肥1千克，每周吸收热量逐渐减千克，每周吸收热量逐渐减少，直至达到下限（少，直至达到下限（10000千卡）；千卡）；第二阶段：每周吸收热量保持下限，减肥达到目标第二阶段：每周吸收热量保持下限，减肥达到目标 2）若要加快进程，第二阶段增加运动，试安排计划。）若要加快进程，第二阶段增加运动，试安排计划。1）在不运动的情况下安排一个两阶段计划。）在不运动的情况下安排一个两阶段计划。减肥计划减肥计划3）给出达到目标后维持体重的方案。）给出达到目标后维持体重的方案。)()1()()1(kwkck

32、wkw千卡）千克 /(80001 确定某甲的代谢消耗系数确定某甲的代谢消耗系数即每周每千克体重消耗即每周每千克体重消耗 20000/100=200千卡千卡基本模型基本模型w(k) 第第k周周(末末)体重体重c(k) 第第k周吸收热量周吸收热量 代谢消耗系数代谢消耗系数(因人而异因人而异)1）不运动情况的两阶段减肥计划）不运动情况的两阶段减肥计划每周吸收每周吸收20000千卡千卡 w=100千克不变千克不变wcww025. 0100800020000wc 第一阶段第一阶段: w(k)每周减每周减1千克千克, c(k)减至下限减至下限10000千卡千卡1) 1()(kwkwk20012000 )() 1()