预科高等数学基础教学中与本科、高中知识衔接问题图

1、预科高等数学基础教学中预科高等数学基础教学中与本科、高中知识衔接问题与本科、高中知识衔接问题西南民族大学预科教育学院林屏峰林屏峰2016.4.19 大学预科教育是高等教育中一个特殊的教育层次，它既不同于中学教育，又有别于本专科教育。它是为预科学生进入大学诸多专业学习前的一种过渡性教育，具有过渡性、弥补性和延伸性等特征。因此预科教育的基本要求是做到“预补结合”，预科教育是少数民族预科学生从高中进入大学的金色桥梁，预科数学是少数民族预科学生从中学数学过渡到大学数学的纽带。 从系统论的角度看，数学教学过程可以看成是一个系统，由各教育阶段的数学教学子系统构成。各子系统之间必须相互协调，相互配合，有机衔

2、接，才能产生良好的教学效果。因此，预科数学教学必须有效地与高中数学、大学数学教学之间相互协调、配合和衔接。随着各阶段的数学教学的深入改革，特别是高中数学新课程标准的实施，使得中学数学与大学数学教学衔接中出现了许多脱节的问题。但预科数学的全面教学改革相对滞后，必然导致了预科数学教学与中学数学教学、大学数学教学的衔接也出现许多问题。 一、各阶段数学教学存在的衔接问题一、各阶段数学教学存在的衔接问题 高中数学在新一轮的课改下出现了内容编排教学模式等方面的变化，高中生在数学学习中所学到的知识面也逐渐扩大，但是对数学概念的理解以及数学的抽象思维的把握上却依然薄弱，大学数学的课程设置则主要以抽象思维能力和

3、逻辑推理能力培养为目标，这些能力的培养都是为了专业课程服务的，而预科数学的教学目标和课程设置较“过渡性”，可能在“补”与“预”的内容上分别偏向于高中数学与大学数学，在这样不同的教学目标和课程设置上就必然会导致各阶段数学教学衔接上存在一些问题。主要体现在：教学内容、教学思想和方法、学习方式方法这三个方面。教学阶段高中预科大学教学内容初等数学基本内容(缺失部分：比如反三角函数)；引入了部分高等数学的内容(比如极限、导数)“补”：初等数学部分内容；“预”：高等数学部分内容。高等数学基本内容，提及部分需要使用到的初等数学内容。 表面上看，应该不会存在教学内容衔接上的问题，但实质在预科教学中，部分“补”

4、的内容会产生重复教学，而高中缺失的部分内容又没有全面系统的进行教学，而“预”的内容在要求上又与大学教学重复，并且也没有大学数学教学那么全面系统。教学阶段高中预科大学教学思想方法以素质教育为目标，渗透数学思想。但教学中主要以传统的教学方式传授基本知识和基本技能，新课标还要求教学要紧密联系实际，帮助学生发展能力，提高对数学的价值认识。并且课程安排较多，教学内容系统和丰富，课堂教学互动性较强。以素质教育为目标，透数学思想。但以知识内容讲授为主，未能体现学生的主体地位和提高学习积极性了，更谈不上数学知识内容的实用性。课程安排较宽松，教学内容较多并且较杂乱不够系统，课堂教学互动应该比较充分。以素质教育为

5、目标 ，渗透数学思想。但以知识内容的讲授为主，通常数学教学变得很专业化，不能很好地紧密联系实际，对于数学的实用性缺乏，学生意识不到学习数学的意义，难以提高积极性。课程安排较少，教学内容较多，课堂信息量较大，缺乏与学生交流互动。 各阶段数学教学采用的教学思想方法应该是不同的。但因各阶段的目标最终不能很好地实现教学思想，变成了几乎一样的教学方法教师讲授，学生大量的练习(题海战术)，比如高中数学教学因“高考”而变，大学数学教学因“学分”而变，我们担心的是，最终预科数学因“会考”而变。这些变化，当然造成各阶段数学教学思想不能很好地衔接，比如缺少了初等数学中含有的数学思想和方法，造成难以将这些思想进一步

6、地延伸和渗透在后面阶段数学教学中，也造成多样化的数学教学方法变得单一(只有讲讲练练)。教学阶段高中预科大学学习方式方法教学要以学生为主体，提高学生学习积极主动性。学习以课堂的学习为主，并且加以大量的课后练习，需要学会思考和总结，对教师的依赖性很高。教学要以学生为主体，提高学生学习积极主动性。学习以课堂学习为主，对教师有较高的依赖性，需要培养学习自觉性，培养自主学习的能力，需要寻找自己的学习方法。教学要以学生为主体，提高学生学习积极主动性。学习以课堂学习和课余自学相结合，在教师的引导下，进行自主学习，善于总结形成自己的思维方式，有自己的学习方法。 预科数学教学中，由于预科学生的特点，学习习惯上对

7、教师依赖性较高，并且缺乏主动性，还因以前学习环境下不善于使用辅助学习材料，导致他们不能很好地寻找适合自己的学习方法，导致部分学生一年预科的学习，以及今后大学的学习还停留在高中的学习方法上，也未能培养自己自主学习的能力。 当然，在其它方面预科数学与高中数学、大学数学也存在衔接问题。特别是，教材、教辅建设以及教材教法研究方面。目前高中、大学阶段数学的教材、教辅非常丰富，并且对教材教法的研究也很全面和深入。而预科数学在这一块的建设严重脱节。二、各阶段数学教学衔接的对策与建议二、各阶段数学教学衔接的对策与建议1 1、预科数学教学内容的确定、预科数学教学内容的确定 预科数学教学内容选取非常重要，应当充分

8、做到“预补结合”，保证整个知识体系的完整性。对“补”的部分，仅对高中系统学习过的知识进行总结，对部分基础知识的理论加强和渗透数学思想、方法，对缺失的部分内容进行补充；对“预”的部分，加强系统地学习，不仅需要掌握基本理论和基本技能，还要在学习过程中不断使用中学数学的一些基本知识，即在“预”中进行“补”。并且“预”的部分要考虑到，不能与大学数学重复的内容过多，内容上也应有所区别，因此渗透基本的数学思想、方法是关键。 数学思想和方法的形成完全可以通过一门完整系统的课程做到，并且数学的各个分支使用到的基本数学思想和方法应该是相同和相通的。微积分具有丰富的数学思想和方法，并且微积分也是数学许多分支和许多

9、其他学科的理论基础。所以确定“微积分”作为预科数学的主要内容是非常合理的。2、教学中逐渐转变教学思想和方法，逐渐转变、教学中逐渐转变教学思想和方法，逐渐转变学生的学习方式和方法学生的学习方式和方法 充分利用预科阶段的过渡作用，在教学中突出学生的主体地位，注意紧密联系实际，注重各个知识的实用性，提高学生学习积极性和兴趣。在一到两年的预科数学教学中，引导学生从中学的被动式接受教育，过于依赖教师的引导，逐渐过渡到大学的主动式探索教育，甚至转变为可以自主学习；从家长的督促下学习，分配任务式的学习，转变到无人监督也能自觉学习，自己寻找目标进行学习。3 3、预科教育进行专业建设，开展教材教法研究、预科教育

10、进行专业建设，开展教材教法研究 从教育学角度，对预科教育作为教育学的一个子专业方向进行研究，无论是从预科教学理论，还是教学实践上，都将极大地推动预科教育的发展和改革。开展教材教法的研究，可以提高预科数学的教学质量，丰富预科数学的教学方法，还可以编写出合适的教材，丰富教辅参考资料，帮助培养预科学生自主学习能力。三、预科高等数学基础教学中与本科、高中三、预科高等数学基础教学中与本科、高中知识的衔接知识的衔接 随着高中新课标的实现，目前高中数学按模块式进行教学，并且引入了部分高等数学的内容。而大学的高等数学也进行了改革，但基本内容没有太大的变化。根据现行预科数学教学大纲，比照高中新课程标准和大学本科

11、数学教学大纲中相对应知识的要求，我们来看看预科数学基础教学中与本科、高中知识的衔接 。 1、初等函数部分的比对、初等函数部分的比对 集合(含义与表示、集合间的基本关系、集合的基本运算) 、函数(定义及三要素，基本表示方法，简单的分段函数,单调性、最大（小）值及其几何意义、奇偶性、周期性、运用函数图象理解和研究简单函数的性质)、基本初等函数(幂函数、指数函数、对数函数的定义、图像及性质，正弦函数、余弦函数、正切函数的定义、图像及性质，以及部分相关的三角函数公式)、反函数、复合函数、初等函数的概念(会求简单函数的反函数，会处理简单的复合函数的问题)。 高中阶段的基本内容 集合、区间、邻域；函数(概

12、念、求定义域和值域，单调性、奇偶性、周期性、有界性，幂函数、指数函数、对数函数的概念、性质及图像，三角函数(正弦、余弦、正切、余切、正割、余割)的概念、性质及图像，三角函数的常用变换公式，反三角函数(反正弦、反余弦、反正切、反余切)的概念、性质及图像)；反函数、复合函数、初等函数，函数的极坐标方程表示、参数方程表示。 对高等数学中需要使用的初等函数内容进行概括总结 预科阶段的基本内容大学阶段的基本内容 比对不难发现，高中数学作要求的这部分内容比较系统全面，预科数学教学对重叠的内容可以进行概括总结，对缺失的部分(包括区间、邻域，函数有界性，余切函数、正割函数、余割函数及三角公式，函数的极坐标方程

13、、参数方程表示)进行详细的教学。因高中数学新课程标准对反三角函数，反函数、复合函数、初等函数要求层次较低，而这部分内容在大学数学中的使用较多，因此预科数学教学需要加强对反函数、复合函数、初等函数的理解。 对初等函数这部分内容来说，预科数学教学起到了从高中数学到大学数学的过渡的作用，不仅复习了初等函数的基本内容，而且还夯实了高等数学基本的准备知识。2、极限与连续部分的比对、极限与连续部分的比对 极限与连续只是选修内容中的一部分。理解数学归纳法的原理，能用数学归纳法证明一些简单的数学命题，从数列和函数的变化趋势了解数列极限和函数极限的概念，掌握极限的四则运算法则，会求某些简单数列与函数的极限，了解

14、连续的意义，借助几何直观理解闭区间上连续函数有最大值和最小值的性质。 高中阶段教学基本内容和要求 理解数列极限概念和性质；数列极限存在的两个准则；理解极限概念和性质；掌握分段函数在分段点处极限存在性的讨论方法；掌握极限四则运算法则；理解复合函数的极限运算；掌握用两个重要极限求极限的方法；理解无穷小量、无穷大量的概念及性质；掌握利用“有界函数和无穷小的积仍是无穷小”求极限的方法；掌握无穷小量阶的比较；掌握用等价无穷小替换求极限的方法；理解增量的概念；理解函数连续性的概念；理解函数连续性与极限之间的关系；掌握分段函数在分段点处连续性的讨论方法；理解函数间断点的概念；掌握求函数间断点的方法并判断其类

15、型；理解反函数和复合函数的连续性；理解初等函数在其定义区间连续的有关结论；掌握利用函数连续性求极限的方法；理解在闭区间上连续函数的性质；掌握用零点定理判断方程根的存在性。 预科阶段教学的基本内容和要求 掌握数列、函数极限的概念及其性质；会求各种函数的极限；明确极限和无穷小的关系、无穷小的阶及无穷大的概念；掌握函数连续性概念及闭区间上连续函数的性质；会求函数的间断点及连续区间。 本科阶段教学的基本内容和要求 高中阶段仅有部分学生选修这部分内容，对于极限仅仅停留在描述性定义的水平，只是通过观察感觉猜想来理解极限的概念，没有对极限给出精确定义。 大多数预科学生在高中没有学过连续性，但是他们在高中掌握

16、了一些基本初等函数图像和性质，他们对于图形是否连续有直观的感受，但是不能给连续下精确的定义。所以预科数学教学要用极限的形式给连续函数下定义，并且多举一些学生熟知的函数作为例子，通过图象给学生以直观感受，通过初等数学中使用数 形结合的方法，来学习函数的连续，可以让学生感觉起点低易于接受和理解。 而大学阶段因课程设置较为紧张，只是系统地讲解这部分知识，学生并不一定能完全领会极限与连续的本质。因此预科数学教学需要从基本概念、基本理论到基本计算，对极限建立较为完整的理论体系，在此过程中还要注重渗透极限的思想方法。这样不仅可以有别于大学阶段的教学，而且可以完善对大学数学的这一部分知识的理解。并且在这一过

17、程中，特别是极限的计算我们还可以对初等数学的一些内容进行复习。比如，计算极限可以对部分三角函数的和差化积公式进行复习，当然也可对两角和与差三角函数公式进行复习。比如，计算极限不仅强调等价无穷小的替换不是那么随意，还可以复习同角三角函数基本关系。 在极限的教学中，一些内容和涉及的极限思想、方法可以延伸出去，引导学生自主学习。比如对等价无穷小中的“等价”进行解读，感觉等价似相等但非相等，我们可以去探索研究等价在数学中的具体含义和作用。我们知道等价这一概念对集合的分类来说非常重要，若学生能够理解到这一点，将对今后的数学学习，特别是代数的学习非常有益。3、导数及其应用部分的比对、导数及其应用部分的比对

18、 导数是高中数学选修的一部分。导数的某些实际背景；函数在一点处的导数的定义，导数的几何意义；导函数的概念；一些基本导数公式；两个函数和、差、积、商的求导法则；复合函数的求导法则(了解)，求某些简单函数的导数；从几何直观了解可导函数的单调性与其导数的关系；可导函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；一些实际问题的最大值和最小值。 高中阶段教学基本内容 导数的定义、几何意义与物理意义，函数的可导性与连续性的关系；导数的基本公式；四则运算求导法则，反函数求导法则，复合函数求导法则；隐函数求导法、对数求导法、由参数方程确定的函数的求导法； 高阶导数；微分的定义和计算，微分的几何意义，可微与可导的关系；

19、微分中值定理：罗尔定理、拉格朗日中值定理；洛必达法则及利用洛必达法则求极限；函数单调性，函数极值，最值；曲线的凹凸性、拐点；曲线的渐近线。 预科阶段教学的基本内容 导数的定义及几何意义；可导性与连续性的关系；函数的求导法则( 基本初等函数与初等函数的导数,复合函数的求导法则),高阶导数,隐函数的导数、由参数方程所确定函数的导数；微分的定义及几何意义；微分公式及微分法则；中值定理(罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理)；洛必达法则；泰勒公式；函数单调性的判定与曲线的凹凸性；函数的极值、最大值、最小值的求法；函数图形的描绘；方程的近似解。 本科阶段教学的基本内容 明显大学数学这部分内容比较丰富

20、，但教学课时较短，所以需要学生对许多知识进行自主学习。而预科数学教学主要针对基本定义和基本理论、基本计算，并且一些较抽象的内容也降低了要求，主要考虑预科学生还不具备足够的自主学习能力。在这部分内容中可以选择性的要求学生自主学习，比如曲线的凹凸性，可以类似于函数单调性的进行学习。 高中已经了解了导数的定义，只会求一些简单函数的导数，但是大多数函数的导数不会。预科数学教学重点应放在对导数定义的理解和运用上。会用导数定义解决一些问题，如用定义证明一些基本初等函数的导数，用定义 讨论分段函数在分界点的导数是否存在，已知导数求一些相关的极限，用定义寻求反函数求 导法、复合函数求导法，通过大量的运用定义可

21、以加深对导数概念的理解。高中已经学习了用求导数的方法寻找函数的单调区间，会由单调区间寻找函 数的极值点和求函数的最值，但是淡化了这些结论的理论证明。因此预科数学在导数的应用中，对于求函数的单调区间和极值应该要重视结论的推导。 加强对概念的理解和基本结论的重视，从逻辑上来说，加深了预科数学内部知识的连贯性。比如，证明求导公式 在大学数学教学中，通常处理的办法是先证明a是正整数的情形，然后按规律得到这个公式 。然而若我们能够灵活地掌握极限计算方法，这个公式的证明应该比较简单。 4、积分部分的对比、积分部分的对比 在高中数学中只有选修部分(导数、数学文化)，介绍微积分的背景和历史以及发展历程中，涉及

22、到积分，只对积分做了一个简单的介绍。 原函数与不定积分的定义，不定积分的性质，基本积分公式；不定积分法：直接积分法、第一类换元法(凑微分法)、第二类换元法、分部积分法、简单有理函数的积分法；定积分的概念及其几何意义、性质；变限积分，微积分基本定理；定积分计算：换元积分法、分部积分法、某些特殊函数的积分；定积分的应用(微元法、平面图形的面积，旋转体的体积，弧长)高中阶段教学基本内容预科阶段教学的基本内容 原函数与不定积分的概念，基本积分表，不定积分的性质，两类换元积分法，分部积分法，几种特殊类型函数的积分，积分表的使用；定积分概念与性质，微积分的基本定理，定积分的换元积分法和分部积分法，反常积分

23、；微元法，平面图形的面积，物体体积，平面曲线的弧长，定积分在物理上的应用。 本科阶段教学的基本内容 显然，大学数学在积分这部分内容较多，比较全面，但上课学时比较紧张，要求学生自主学习能力较强。预科数学对这部分内容的教学，应该注重与大学数学教学的衔接，应该重点放在数学思想的渗透和数学方法的发掘。比如，通过原函数的定义，或导数的定义不同角度来看这个等式若已知F(x),通过求导得f(x)。几何图像上来看若已知f(x)，通过原函数的定义获得F(x)。几何意义上来看 若将F(x)看成是本质，那f(x)不正好是它的表现出来的现象吗？当顺序反过来时，刚好是需要我们透过现象f(x)，看清本质F(x)。这正好表现出哲学上现象与本质是统一的关系，即本质只能通过现象表现出来，现象只能是本质的来显现 。这也正是不定积分与求导运算体现出的思想。 这部分内容涵盖的基本计算较多，并且计涉及的基本技巧比较灵活。特别是在积