第4章_功率谱分析

1、第四章第四章 功率谱分析功率谱分析随机信号的功率谱密度随机信号的功率谱密度 随机信号是时域无限信号，不具备可积分条件，随机信号是时域无限信号，不具备可积分条件，因此不能直接进行傅里叶变换。又因为随机信号因此不能直接进行傅里叶变换。又因为随机信号的频率、幅值、相位都是随机的，因此从理论上的频率、幅值、相位都是随机的，因此从理论上讲，一般不作幅值谱和相位谱分析，而是用具有讲，一般不作幅值谱和相位谱分析，而是用具有统计特性的统计特性的功率谱密度功率谱密度(power spectral density)来作谱分析。来作谱分析。自功率谱密度函数自功率谱密度函数(Auto-power spectral d

2、ensity function)互功率谱密度函数互功率谱密度函数(cross-power spectral density function)相干函数相干函数(coherence function)与频率响应函与频率响应函数数(frequency response function)随机信号的功率谱密度随机信号的功率谱密度 设设x(t)是零均值的随机信号，且是零均值的随机信号，且x(t)中无周期性分中无周期性分量，其自相关函数量，其自相关函数 ，自相关函数满足，自相关函数满足富立叶变换条件富立叶变换条件0 xR 0 xRd 工程中对信号进行隔直工程中对信号进行隔直处理，使处理，使 。 对于含有

3、周期成分的信对于含有周期成分的信号，用窗函数号，用窗函数(window function)截断，使截断，使得得 。0 x 随机信号的功率谱密度随机信号的功率谱密度 自功率谱密度函数自功率谱密度函数(Auto-power spectral density function)定义定义根据维纳根据维纳辛钦公式，平稳随机过程的功率谱辛钦公式，平稳随机过程的功率谱密度与自相关函数是一傅里叶变换偶对密度与自相关函数是一傅里叶变换偶对(fourier transform dual pair) jxxjxxSRedRSed随机信号的功率谱密度随机信号的功率谱密度 自功率谱密度函数自功率谱密度函数(Auto-p

4、ower spectral density function)的性质的性质自功率谱密度函数是实偶函数。自功率谱密度函数是实偶函数。自功率谱密度函数是双边谱。自功率谱密度函数是双边谱。 单边功率谱单边功率谱(one-sided power spectrum)（非负（非负频率上的谱）频率上的谱） 2 2 0 xxjxGSRed随机信号的功率谱密度随机信号的功率谱密度 物理意义物理意义信号的能量在不同频率成分上的分布。信号的能量在不同频率成分上的分布。 2010lim0TxxxTRx t x tdtT 200jfxxxxxxRSf edfSf df 20 xxxxxRSf df随机信号的功率谱密度随

5、机信号的功率谱密度 Parseral定理定理信号的能量在时域与频域是相等的。信号的能量在时域与频域是相等的。 自功率谱密度函数自功率谱密度函数(Auto-power spectral density function)与幅值谱与幅值谱(amplitude spectrum)的关系的关系 22xt dtXfdf 22210lim2110limlim22TxxxTTTxxTTTRxt dtSf dfTRxt dtXfdfTT 21lim2xTSfXfT随机信号的功率谱密度随机信号的功率谱密度 功率谱估计功率谱估计 12 , 1 , 01122 NkkXNkSfXTfSxx其中单边谱单边谱 rRkS

6、kXNkXkXnxtxkXNfGxIFFTxFFTx22212平均模平方计算方法计算方法随机信号的功率谱密度随机信号的功率谱密度 工程应用工程应用1）功率谱在设备诊断中的应用）功率谱在设备诊断中的应用 汽车变速箱上加速度汽车变速箱上加速度信号的功率谱图信号的功率谱图 正常正常异常异常随机信号的功率谱密度随机信号的功率谱密度 可分析系统的可分析系统的 测量中经常用这个公式计算频率响应函数测量中经常用这个公式计算频率响应函数(frequency response function)的幅值，但无法的幅值，但无法计算它的相位、实部和虚部。计算它的相位、实部和虚部。 fH 222 yxHfHfHfYfS

7、fYfYfXfXfSfXf fXfYfH随机信号的功率谱密度随机信号的功率谱密度 互功率谱密度函数互功率谱密度函数(cross-power spectral density function)定义定义如果互相关函数满足福氏变换条件如果互相关函数满足福氏变换条件 单边互谱密度函数单边互谱密度函数(One-sided cross-power spectrum ) 12jxyxyjxyxySRedRSed xyRd 2 0jxyxyGRed 随机信号的功率谱密度随机信号的功率谱密度 单边互谱密度函数单边互谱密度函数(One-sided cross-power spectrum) 其中其中实部实部虚部

8、虚部 xyxyxyGCjQ 2cosxyxyCRd 2sinxyxyQRd 22arctanxyjxyxyxyxyxyxyxyxyGGeGCQQC随机信号的功率谱密度随机信号的功率谱密度 互谱分析的估计互谱分析的估计 离散点离散点 对应于数字信号对应于数字信号 iixyiixykYkXNkSkYkXNkS11 iiixyiiixyfYfXTfSfYfXTfS11随机信号的功率谱密度随机信号的功率谱密度 工程应用工程应用 可利用互谱求系统的可利用互谱求系统的 可在强噪声背景下分析系统的传输特性可在强噪声背景下分析系统的传输特性 fH fH f fSfSfXfXfXfYfXfYfHxxyX(t)y

9、(t) tn3系统2 tn1系统1 tn2随机信号的功率谱密度随机信号的功率谱密度正弦加随机正弦加随机随机信号随机信号随机信号的功率谱密度随机信号的功率谱密度 tntntntxty321输入输入x(t)与输出与输出y(t)的互相关函数的互相关函数(cross-correlation function )为：为： 321nxnxnxxxxyRRRRR由于噪音与输入无关，所以后由于噪音与输入无关，所以后3项为零，于是有项为零，于是有 fSfSfSfSfHxxxxxy xxxyRR随机信号的功率谱密度随机信号的功率谱密度 谱相干函数谱相干函数(spectral coherence function)的定的定义义评测输入、输出信号间的因果性，即输出信号评测输入、输出信号间的因果性，即输出信号的功率谱中有多少是所测试输入量引起的响应。的功率谱中有多少是所测试输入量引起的响应。 22xyxyxyGGG随机信号的功率谱密度随机信号的功率谱密度 频率响应函数频率响应函数(frequency response function)的的定义定义 谱相干函数的性质谱相干函数的性质 y(t)和和x(t)完全相关完全相关 y(t)和和x(t)完全无关完全无关 y(t)和和x(t)部分相关部分相关测试中有外界干扰测试中有外界干扰输出输出y(t)是输入是输入x(t)和其它输入的综合输出和其它输入的综合输出联系联